Практическая работа 5. Тема. Аппроксимация. Среднеквадратичное приближение функций

Задание: Используя метод наименьших квадратов, постройте мате-матические модели (уравнения регрессии), описывающие зави-симости, полученные в результате численного эксперимента в практических работах ( n=n(ε) или σ=σ(n)).

В качестве аппроксимирующих функций возьмите уравнения регрессии 1-го, 2-го и 3-го порядков, т.е. полиномы:

_(5.1)

Порядок выполнения работы

1. Подготовьте таблицу, как показано на рис.5.1. В ячейки А9:В15 введите результаты численного эксперимента (лаб.раб. №1 или лаб.раб №4).

Рис.5.1.Расчетная схема для определения коэффициентов УР

2. Подготовьте ячейки (тонированные), в которых будут получены коэффициенты уравнений регрессий с помощью надстройки Поиск решения, это изменяемые ячейки. Введите в них значения начальных приближений для этих коэффициентов. Для контроля последующих расчетов рекомендуется ввести в них единицы.

3. В столбцах Прямая, Парабола и Куб.парабола. вычислите значения аппроксимирующих функций, соответственно , , . Коэффициенты этих уравнений регрессии находятся в ячейках, описанных выше (тонированы). Для начального приближения они равны единицам, так было рекомендовано выше. Проверьте расчеты на этом этапе, прежде чем идти дальше.

4. В следующих столбцах вычислите квадраты отклонений между экспериментальными и расчетными значениями y_i для всех x_i,:

(5.2)

5. Вычислите суммы квадратов отклонений для каждой аппроксимирующей функции.

6. Минимизацию сумм квадратов отклонений реализуйте с помощью надстройки Поиск решения (рис.5.2).

Рис.5.2. Окно Поиск решения. Определение коэффициентов кубической параболы.

7. Вычислите средние квадратичные отклонения для каждого приближения (ячейки F17:H17):

(5.3)

8. Сделайте обоснованный вывод о «наилучшем» приближении.

9. Постройте диаграммы аппроксимирующих функций, нанесите множество экспериментальных точек.

10. Геометрический смысл точности аппроксимации проиллюстрируйте соответ-ствующим рисунком 5.3, выбрав в качестве y=(x) «наилучшее» приближение.

Рис.5.3. Геометрический смысл точности аппроксимации.

11. Проверьте правильность ваших расчетов, используя надстройку «Линия тренда».

Контрольные вопросы к практической работе №5

1. Понятие численного эксперимента, пример такого эксперимента по результатам предыдущих практических работ.

2. Понятие аппроксимации (приближения). Когда возникают задачи аппроксимации.

3. Среднеквадратичное приближение. Суть метода наименьших квадратов (МНК).

4. Построение линейной регрессии с помощью МНК.

5. Среднее квадратичное отклонение. Выбор «наилучшего» приближения.

6. Геометрический смысл точности аппроксимации исследуемого процесса.

Практическая работа 6.

Тема: Аппроксимация. Эмпирические формулы с двумя параметрами. Метод выравнивания.

Задание. Используя метод выравнивания, постройте эмпирическую формулу с двумя параметрами, описывающую полученную в процессе эксперимента некоторую зависимость величины у от величины х,

Вид эмпирической формулы и экспериментальные данные(x_i, y_i), i=1,2,..,n выберите в соответствии с вариантом в приложении 4 (табл.4.1, 4.2, 4.3).