Конспект_ИЭЭ_14

300

Важнейшие операторы физических величин

1.Оператор координаты

xψ x,

x x ; y,z xψ x,

y,z

74.

2.Оператор импульса

px i

x ,

p	y	i

p i

y

,

, pz i z ;

здесь i – мнимая единица.

3.Оператор момента импульса

L

rp

;

			i
	L		x
		i
			x

	L	i		y		z
					z		y
	x

		j
		y
	i
			y
		i
			z

		k
		z
	i
			z
		y
	y			z

;

 

и т. д.

4.Оператор кинетической энергии

2

1

x

y

z

2

2

T

p

2

2

2

2

2m

2m

p

p

p

2m

2m

здесь

2

– оператор Лапласа, m – масса частицы.

,

5.Оператор полной энергии – гамильтониан

	H T U x, y,z,t ,
U x, y,z,t	– силовая функция – описывает действие других объектов на ча-
стицу.

5.4.3. Возможность одновременного измерения двух величин

Пусть имеются два оператора A и B . Коммутатор операторов A и B

A,B AB B A .

Операторы A и B коммутируют, если
	A,B		0	,

т. е. AB BA .

74 Волновую функцию, зависящую от времени, мы обозначаем Ψ, а её стационарную часть (см. 5.4.5), не зависящую явно от времени, – ψ = ψ(x, y, z).

301

Если операторы не коммутируют, т. е.

A,B

0

, то величины a и b одновременно

не измеримы. (Для этих величин можно записать соотношение неопределённостей.)

ПРИМЕРЫ

1) Измеримы ли одновременно координата и соответствующая проекция импульса?

Найдём коммутатор операторов x торами на функцию Ψ:

x		x
		p ψ

и	px		; для простоты воздействуем этими опера-
x		i		ψ	i	x	ψ	;
							x
				x

x			i
p	xψ
xpx px			x ψ

x

i

xψ ψ

i

ψ i

xp p x
x	x

	x	ψ	;
		x
	i	0.

Координата и соответствующая проекция импульса одновременно не измеримы, что подтверждается соотношениями неопределённостей (37.4).

2) Измеримы ли одновременно py и x?

Действуем аналогично тому, как В ПРЕДЫДУЩЕМ ПРИМЕРЕ:

	x
y	p ψ
		px

y		i		ψ
				x
yψ i y
		x			0
	p		, y

	i
	ψ	;
	x

.

y

ψx

;

Координата y и проекция импульса на ось x одновременно измеримы.

Дополнительное задание

Доказать, что проекции момента импульса не коммутируют:

	x
	L

,Ly

0

, а также

что каждая из проекций момента импульса коммутирует с квадратом момента импульса: Lx ,L2 0 .

5.4.4. Квантование физических величин

Если физическая величина принимает дискретный ряд значений, т. е. собственные значения соответствующего оператора дискретны, то говорят, что данная величина квантуется.

ПРИМЕР

Квантование момента импульса

Уравнение для собственных значений оператора квадрата момента импульса

L2ψ L2ψ.

302

Решение этого уравнение трудное, поэтому приведём только результат ственные значения оператора квадрата момента импульса

L		l			,
				l 1
2	2

l = 0, 1, 2, …

- соб-

(38.1)

Уравнение для собственных значений оператора проекции момента импульса

Lzψ

Lzψ

.

Это уравнение мы решим – найдём собственные значения и собственные функции. В сферических координатах оператор проекции момента импульса записывается как

	Lz i		.
		φ

Уравнение для собственных функций и собственных значений

	i	ψ	Lzψ .
		φ

Будем искать решение этого уравнения в форме

(38.2)

			ψ e		αφ	.
Подставим эту функцию в уравнение (38.2):
i	αφ			αφ	L		i			α .
	αe	L e
			z			z
Отсюда
		L		iL				iL
								z
	α	z		z	,	ψ e			φ	.
		i

Функция ψ должна быть однозначной. Для этого необходимо

	ψ φ 2π		ψ φ		L	m,
					z
	m – целое;
		L	m	,
		z

m = 0, ±1, ±2, … Так как проекция вектора не может быть больше его модуля,

m		2
		l l 1 m = 0, ±1, ±2, …, ±l.

5.4.5. Уравнение Шрёдингера

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики:

			2	ΔΨ UΨ i		Ψ
			2m			t
	или
				HΨ i	Ψ
					t

(38.3)

(38.4)

– временнόе уравнение Шрёдингера.

Уравнение Шрёдингера не выводится из других соотношений, оно постулируется.

303

Если силовое поле стационарно – U ≠ U(t), то решение уравнения Шрёдингера разделяется на два множителя:

Ψ x, y,z,t ψ x, y,z e	i	W	t
				,	(38.5)

где W – полная энергия частицы. Подставим (38.5) в уравнение Шрёдингера

(38.4):

	2		i	W	t
		e
	2m

ψ U x, y,z ψe	i	W	t	i

Hψ Wψ

			iW		i	W	t
ψ				e				,

(38.6)

– уравнение Шрёдингера для стационарных состояний (стационарное уравнение Шрёдингера).

Это уравнение мы будем чаще писать в другом виде:

	ψ	2m	W
		2

U ψ 0

.

(38.7)

5.5. Некоторые квантовомеханические задачи

5.5.1. Свободная частица с энергией W

Рассмотрим одномерное движение. Лапласиан имеет вид

ция U = 0. Уравнение Шрёдингера:

	2	ψ			2m
	d					Wψ 0	.
	dx		2		2

Будем искать решение в виде ψ = Aeikx, где k – неизвестная ные волновой функции

dψ

2

ψ

2

ikx

d

ikx

2

ikAe

ikψ

,

ik

Ae

ψ

dx

dx

2

k

Подставим эти производные в уравнение (38.8):

2

ψ

2m

Wψ 0

;

k

2

k

2

2mW

k

2mW

;

2

		d	2
					; силовая функ-
		dx		2

(38.8)

константа. Производ-

.

ψ Ae	i	2mW	x

,

A – постоянная нормировки. Полная волновая функция

	Ψ x,t Ae	i	Wt		x	.
				2mW

Действительная часть этой функции

Re Ψ x,t		Acos Wt		x
			2mW

– уравнение бегущей волны. Вероятность обнаружения частицы

304

Ψ	2	A

везде одинакова.

5.5.2. Частица в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины

	Потенциальная яма – область простран-			U
	ства, в которой находится минимум по-
	тенциальной энергии частицы. В данной
	задаче	рассматривается	потенциальная
	яма бесконечной глубины,		т. е. в области	I
	длиной	l потенциальная	энергия мини-	UI → ∞
	мальна (равна нулю), а во всём остальном
	пространстве она стремится к бесконеч-
	ности. График потенциальной энергии			0
	приведён на РИС. 38.1.
	В областях I и III, где потенциальная энер-
	гия бесконечно велика, вероятность обна-
	ружения частицы должна быть равна нулю, т. е.

			ψ		0,
				I
				ψ			0.
				III
Уравнение Шрёдингера для области II
2	ψ			2m
d						Wψ			0
		II								.
dx		2			2		II
Введём обозначение
		k	2		2m		W	,
						2

тогда уравнение (38.9) примет вид

II	III
UII = 0	UIII → ∞

l x

Рис. 38.1

(38.9)

2	ψ
d
		II
dx		2

Решение этого уравнения

k	ψ
2
	II

0

.

ψ	x
II

Acos kx

φ

.

Постоянные A и φ найдём из свойств волновой функции. Волновая функция должна быть непрерывна во всём пространстве, в том числе на стенках ямы:

ψ		0 0,					π
			Acosφ 0 φ
	II						2
		l 0
ψ					φ 0
	II		Acos kl
			k πn , n = 1, 2, …
				l
Поэтому
			ψII		πn
				Asin	l	x .

Энергия частицы

,

sinkl 0;

305

		2	k	2
	W
		2m

π2n2 l2

2 2m

, n = 1, 2, …

Видно, что энергия частицы имеет дискретный ряд значений, т. е. квантуется.

Условие нормировки:

l		x
	ψ
	II
	2
0
Итак,

Графики функций (38.10) и

ψII

l

πn

2

2

sin

2

x

dx 1

A

.

dx A

l

l

0

ψ

2

sin

πn

x

,

(38.10)

II

l

l

ψ

2

2

2

πn

x

.

(38.11)

sin

II

l

l

(38.11) для n = 1 и 2 представлены на РИС. 38.2А, Б. n = 1

n = 1

n = 2

0	l x
	n =2
	0	l	x
	а	б
	Рис. 38.2

Интервал энергий между соседними уровнями

	π	2	2	n 1	2				π	2	2	2n 1
W						n
						2
	2ml		2						2ml		2

при достаточно больших n.

Энергетическая диаграмма частицы в бесконечной потенциальной яме изображена на РИС. 38.3.

π2 2

ml2 n

W

n = 2

n = 1

0

l

x

Рис. 38.3

306

Лекция 39

5.5.3. Потенциальный барьер. Туннельный эффект

Потенциальный барьер – область пространства, в которой находится максимум потенциальной энергии частицы. Рассмотрим потенциальный барьер прямоугольной формы, шириной l и высотой U0 (РИС. 39.1).

	U							U
	U0							U0
	I	II	III					I	II
	UI = 0	UII = U0	UIII = 0					UI = 0	UII = U0
0		l	x				0			x
		Рис. 39.1							Рис. 39.2
Рассмотрим сначала бесконечный барьер (l → ∞), см. РИС. 39.2:
				U	I	0,
						U	.
				U	II
						0

Пусть на него налетает (из области I) частица массы m с энергией W < U0. Запишем стационарное уравнение Шрёдингера в виде (38.7). (Задача одномерная, поэтому

		d	2
					.)
		dx		2

Область I

d2ψ	2m	Wψ 0 .
I
dx2	2	I

Обозначим

k2 2m2 W .

Область II

d2ψII 2m W U0 ψII 0 .

dx2 2

Обозначим

α2 2m2 U0 W .

Получим систему дифференциальных уравнений

ψ k2ψ 0,
	I	I
ψ α2ψ 0.
	II	II

Ищем решение каждого из этих уравнений в общем виде ψ = eλx. Тогда ψˊ = λeλx,

ψˊˊ = λ2eλx;

2

λ x

2 λ x

0,

λ e

I

k e

I

I

2

λ

x

2

λ x

0;

λ e

II

α e

II

II

λ

k

2

0,

λ

ik

2

I

I

2

α

2

0;

λ

α

λ

II

II

ψ A eikx B e ikx ,

I

1

1

ψ A eαx B e αx .

II

2

2

Здесь i – мнимая единица, A1, B1, A2, B2 – постоянные.

, ;

(39.1)

307

Коэффициент A1 характеризует набегающую волну (налетающую частицу), B1 – отражённую волну (отлетающую от барьера частицу), A2 и B2 характеризуют вероятность нахождения частицы внутри барьера. Так как эта вероятность не может расти при погружении вглубь барьера, A2 = 0.

Найдём коэффициенты A2 и B1. Условие непрерывности волновой функции на границе барьера:

ψI 0 ψII 0 A1 B1 B2 .

(39.2)

Условие непрерывности производных волновой функции:

ψ 0 ψ 0

I II

ikA1 ikB1

αB2

.

(39.3)

Из (39.2) и (39.3) получим

	B	2ik	A .	(39.4)
		ik α
	2		1

Вероятность нахождения частицы в точке с координатой x = 0 определяется выражением ψI 0 2 ~ A12 .Вероятность (плотность вероятности) нахождения частицы внутри барьера на расстоянии x от его границы

	ψ	x		2			B		e	αx
	II						2

	~e
2		2αx

.

Теперь «обрежем» барьер на ширине x = l. Прозрачность (коэффициент прозрачности) барьера – вероятность прохождения барьера частицей:

ψ

l

D

II

2

.

ψ

0

2

I

Подставим сюда функции (39.1). С учётом (39.4) получим

B

2

e

2αl

2ik

2

2αl

4k

2

2αl

4W

D

e

e

2

2

ik α

k

2

α

2

U

A

1

4W

1. Тогда D ≈ e–2αl,

0

В большинстве реальных задач

U

0

e	2αl

.

D e		2	2m U	W l
			0

.

Мы доказали, что даже имея энергию, меньшую, чем высота потенциального барьера, частица может преодолеть этот барьер. В этот состоит туннельный эф-

фект.

Численная оценка

Если U0 – W = 5 эВ, то при l = 1	Å	D = 1∙10–1;
l = 2	Å	D = 8∙10–5;
l = 5	Å	D = 5∙10–7.

Туннельный эффект широко применяется в технике. Большой ток при холодной эмиссии электронов объясняется в т. ч. туннельным эффектом.

308

5.5.4. Гармонический осциллятор

Гармонический осциллятор – частица, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы Fx = –kx. При этом потенциальная энергия силового поля

	U	kx	2
			.
		2

График U(x) представлен на РИС. 39.3. Собственная частота осциллятора

	2	x	2
U	mω		.
	2

Стационарное уравнение Шрёдингера:

	ω	k
		m

;

2	ψ			2m
d
dx		2		2	W

	2	2
	mω x
	2

	ψ

0

,

здесь W – полная энергия осциллятора. Это уравнение имеет точное аналитическое решение. Собственные функции слишком сложны, чтобы их здесь приводить.

Собственные значения энергии гармонического осциллятора

W		n	1		ω , n 0,1,2,
n			2

Энергия гармонического осциллятора квантуется, Уровни энергии эквидистантны, т. е. отстоят друг от друга на одинаковую величину

W ω hν .

Минимально возможная энергия гармонического ос-

циллятора – нулевая энергия

W	ω	.
0	2

Таким образом, доказана гипотеза Планка о том, что осциллятор излучает порциями – квантами.

5.6. Атом водорода

5.6.1. Модель атома Резерфорда-Бора

U

W2

W1

W0

0 x

Рис. 39.3

Атом состоит из положительно заряженного ядра, окружённого облаком электронов75. (С классической точки зрения это невозможно – электрон упал бы на ядро!)

Для атома водорода (РИС. 39.4) масса протона mp намного больше массы электрона me:

mp

1836me

,

поэтому ядро можно считать неподвижным.

75 По полуклассической теории Бора электроны вращаются вокруг ядра по орбитам. По квантовомеханическим представлениям же об орбитах говорить бессмысленно.

309

U
0	r

mp	r
W0
p		me

Рис. 39.4

Рис. 39.5

Потенциал электростатического поля ядра

	φ	Ze
		4πε r
		0

,

где Z – заряд ядра (число протонов в ядре), r – расстояние от ядра до электрона. Потенциальная энергия электрона в этом поле

		Ze	2
	U
		4πε r
			0

.

График зависимости U (r) представлен на РИС. 39.5.

Для атома водорода Z = 1. При Z ≠ 1 система, состоящая из ядра и одного электро-

на, – водородоподобный ион.

5.6.2. Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний и его решение

Стационарное уравнение Шрёдингера

ψ	2m
	2	W

		Ze	2
		4πε r
			0

	ψ

0

,

где m – масса электрона (данное обозначение используется в этом и следующем разделах).

Так как поле – центральное, перейдём к сферической системе координат. Стационарное уравнение Шрёдингера запишется в виде

1

2

ψ

1

ψ

1 2ψ

2m

Ze2

r

sinθ

W

ψ 0 . (39.5)

r

2

r

2

r

2

2

2

r

r

sinθ θ

θ

sinθ φ

4πε0r

Предположим, что существует такое симметричное состояние, в котором ψ = ψ1(r), с энергией W1. Тогда

2	ψ
d
		1
dr		2

2 dψ1 r dr

	2m			Ze	2
			W				ψ
	2
			1	4πε r			1
					0

0

.

(39.6)

r

Будем искать решение этого уравнения в виде ψ1 Ce r0 . Производные этой функции