Конспект_ИЭЭ_14

340

Лекция 44

6.3.6. Оптическая пирометрия

Оптическая пирометрия – совокупность оптических методов измерения температур, основанных на законах теплового излучения. Приборы, которые при этом используются, называются пирометрами.

Пирометры
радиационные	оптические
регистрируют интегральное	регистрируют излучение
излучение нагретого тела	нагретого тела на узком
	участке спектра

Введём ряд энергетических характеристик излучения80.

Поток излучения Φ – средняя мощность оптического излучения за время, много большее периода световой волны.

Энергетическая освещённость – поток излучения,

приходящийся на единичный участок поверхности тела, на которое падает свет:

	E	dΦ	.
		dS

dΩ

φ

dS

Рис. 44.1

Энергетическая сила света – поток излучения тела в определённом направлении (под углом φ к нормали поверхности излучающего тела), приходящийся на единичный телесный угол:

I

dΦ dΩ

.

Энергетическая яркость – энергетическая сила света, испускаемого с единичного участка поверхности тела в направлении нормали:

B dI . dS cosφ

Смысл обозначений dS, dΩ, φ показан на РИС. 44.1.

Спектральная плотность энергетической яркости – энергетическая яркость в единичном диапазоне частот (длин волн):

b	dB	, b dB .
ω	dω	λ	dλ

Радиационная температура Tр – температура чёрного тела, при которой его энергетическая яркость равна энергетической яркости исследуемого тела:

B	0	Tр B .

80 Следует отличать вводимые ниже характеристики от аналогичных фотометрических величин, которые вводятся для видимого излучения и привязаны к чувствительности глаза к оптическому излучению.

341

Яркостная температура Tя – температура чёрного тела, при которой его спектральная плотность энергетическая яркость равна спектральной плотности энергетической яркости исследуемого тела для данной длины волны:

b	T	b
0
λ	я	λ

.

Цветовая температура Tц – температура чёрного тела, при которой относительные распределения спектральной плотности энергетической яркости исследуемого тела и чёрного тела близки в видимой области спектра:

b	λ	,T			b	λ	,T
0
λ	1	ц			λ	1		.
b	λ	,T			b	λ	,T
0
λ	2	ц			λ	2

Обычно λ1 = 660 нм (красный) и λ2 = 470 нм (зелёно-голубой).

Цветовая температура серого тела совпадает с её истинной температурой и может быть найдена из закона смещения Вина.

6.4. Электронный газ в металле

6.4.1. Общие положения. Модель свободных электронов

Электронные оболочки в узлах кристаллической решётки перекрываются, в результате этого валентные электроны обобществляются и становятся свободными. Можно считать, что сила, с которой кристаллическая решётка, а также соседние электроны действуют на электрон, равна нулю. Поэтому в первом приближении электронный газ можно представить как коллектив нейтральных частиц с массой m = me, находящихся в сосуде объёмом, равном объёму образца металла.

Свойства электронного газа

1.Электроны находятся внутри потенциального ящика. Энергия электронов квантована.

2.Электронный газ вырожден (критическая температура Tкр ~ 5 К).

	3. Спин электрона s	1
		2

Функция распределения

. Электроны подчиняются статистике Ферми-Дирака.

(плотность заполнения фазовых ячеек)

	f ε		1	.
			ε μ
	i
		e	i	1
			kT

6.4.2. Распределение электронов по энергиям

Подсчитаем число электронов с энергией от εi до εi + dε. По определению функции распределения

	f εi	dN
		ε	.
		i
		dg

(Далее индекс i опускаем.) Число фазовых ячеек, в которых энергия частицы лежит от εi до εi + dε,

dg hd3Γ2 2Vdh3Γp ,

здесь V – объём образца, dΓp – элемент фазового объёма в подпространстве импульсов;

dΓp

Выразим импульс электрона через его

342

4πp2dp .

энергию:

p

2mε

,

	dp	2mεdε			mdε
		2	ε		2mε

;

dΓp

	4π 2mε mdε
	2mε

4πm

2mεdε

;

	dg	2V				4πV	2m 3 2
			4πm	2mεdε				εdε .
		3				3
		h				h

Число электронов с энергией от ε до ε + dε

	dN			4πV 2m 3 2		εdε			.
		ε			ε μ
				h3
					e kT 1

Функция распределения электронов по энергиям

	F ε		dN	ε	,
			dε
F ε	4πV		3 2				ε
	3	2m				ε μ
	h				e	kT	1

График этой функции представлен на РИС. 44.2.

F(ε)

.

0

ε

Рис. 44.2

6.4.3. Электронный газ при T = 0 К

1. Функции распределения электронов по энергетическим ячейкам и по энергиям

В потенциальной яме имеется система энергетических уровней. При T = 0 запол-

няется

N 2

нижний уровней (N – общее число электронов). Последний заполнен-

ный энергетический уровень при T = 0 – уровень Ферми, а энергия электрона, соответствующая этому уровню, – энергия Ферми εF. При T = 0 заполнены все энергетические ячейки с εi ≤ εF. Поэтому функция распределения по энергетическим ячейкам при T = 0

343

ff



εi εi



1, εi εF ,

0, εi εF ;

график этой функции изображён на РИС. 44.3А. С другой стороны, подставляя T = 0 в функцию распределения Ферми-Дирака, получим

						1			1,	ε μ	,
	1			e			1
f ε										0
	ε μ					1
	0	1						0, ε μ ,
e	kT		T 0
						1
										0
				e

здесь μ0 – химический потенциал электронного газа при T = 0. Таким образом,

μ	ε	F
0

(в общем случае μ ≠ εF).

Функция распределения электронов по энергиям

					4πV		2m	3 2	ε , ε μ	,
	F ε	4πV	3 2		3
									0
		3	2m	ε f ε	h
		h
				0, ε μ .
							0
	График этой функции представлен на РИС. 44.3Б.
	f(ε)			F(ε)

1

0	μ0 = εF	ε 0	μ0 = εF	ε
	а		б
		Рис. 44.3

2. Расчёт энергии Ферми

Условие нормировки функции F(ε):

N dNε 0

При T = 0

F

0

ε dε

.

ε	4πV			4πV	3 2 ε		3 2		8πV
F		3 2
N			εdε 0dε
	3	2m		3	2m		F		3
0	h		ε	h		3 2			3h
			F

2m 32

ε32 F

,

		3Nh3	2 3	1		3n 2 3	h2
	εF							,	(44.1)
		8πV		2m			8m
						π

344

	где n	N	– концентрация электронов.
		V

Численная оценка

n ~ 1028 м3, m ~ 10–30 кг εF = (3 ÷ 10) эВ

3. Расчёт средней энергии электрона

Среднее значение энергии электрона

ε	εF ε dε
	0
	F ε dε
	0

При T = 0

.

N

		1	ε	4πV
			F
ε		N		3
			0	h

Так как из (44.1) следует

3 2		ε		3 2				4π					3
2m				dε					3		2m
							nh
					πε								3 2
				n			3 2		8m
						F
					3							3
												h
								3 2		ε		5 2	3
			8π 2m										3h
ε											F
				3		3 2							3 2
				5h πε					8m
					F

2 ε	5 2		8π
F
5 2			3
			5nh

	,
		3	εF .
		5

2m	ε
3 2		5
		F

2

.

Численная оценка

Средняя энергия электрона

ε

	3	5 эВ 3
	5

эВ

;

среднеквадратичная скорость электрона

v		2 ε	6
			10
кв		m

4. Внутренняя энергия электронного газа

Внутренняя энергия 1 моля электронного газа

м с

.

U

NA – число Авогадро.

NA

ε

,

Найдём эффективную температуру классического идеального газа, внутренняя энергия 1 моля которого равна внутренней энергии 1 моля электронного газа при

T = 0:

N	A	ε	N	A	ε
					ид

32kTэфф 35εF Tэфф 52 εkF .

Численная оценка

Внутренняя энергия 1 моля электронного газа при T = 0

U 6 1023 3 1,6 10 19 Дж 300 кДж .

345

Для сравнения: внутренняя энергия

T = 300 К

U
ид

1 моля классического идеального газа при

3RT 3 кДж!

Здесь R – универсальная газовая постоянная.

Эффективная температура классического идеального газа при εF = 5 эВ

			19
	T		25 1,6 10
			23
	эфф
			5 1,38 10

2 104К

.

Между классическими и квантовыми представлениями огромная разница!

6.4.4. Влияние температуры на функции распределения

При повышении температуры от абсолютного нуля до T электрон приобретает энергию

ε kT .

Повышение температуры влияет на электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми в полосе шириной kT81.

Можно получить, что химический потенциал электронного газа

		π	2			2
μ ε	1			kT
F		12			ε
					F

Так как kT << εF, можно считать, что μ ≈ εF. Функция распределения электронов по фазовым

		.

ячейкам

	f ε	1
		ε ε
		F
		e
		kT

график этой функции показан на РИС. 44.4А. Функция распределения по энергиям

F ε 4hπV3 2m 3

,

1

2			ε				,
		ε εF		1
	e kT

(44.2)

(44.3)

график на РИС. 44.4Б.

При kT ≈ εF функция распределения (44.2) превращается в функцию распределения Максвелла-Больцмана.

Критерий вырождения газа

вырожденный газ

невырожденный газ

Критическая температура электронного газа

	T		ε
			F
	кр		kT

5 104К

.

81 Это выражение нужно понимать так: энергия электронов отличается от уровня Ферми не более, чем на величину порядка kT.

	346
f(ε)	2kT
1

0

εF

ε

а

2kT

F(ε)

0

εF

ε

б

Рис. 44.4

6.4.5. Теплоёмкость электронного газа

При T ≠ 0 средняя энергия электрона

					2			2
ε	3	εF	1	5π		kT			.
	5			12			εF

Молярная теплоёмкость электронного газа

C		N		ε		3N ε		5π2 k22T		π2 kRT	,
			A T							2 ε
	эл					5	A F 12 ε2
								F		F
R = kNA.								2

По закону Дюлонга и Пти молярная теплоёмкость кристаллической решётки

Cреш 3R .

Сравним эти теплоёмкости:

Cэл π2kT .

Cреш 6εF

При низких температурах Cэл << Cреш.

347

Лекция 45

6.5. Электропроводность металлов

При возникновении в проводнике электрического поля напряжённостью E возникает электрический ток, т. е. упорядоченное движение электронов – дрейф.

Средняя скорость этого движения – скорость дрейфа u . Электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми, под действием электрического поля переходят на вышележащие уровни.

Рассмотрим малый участок проводника сечением S , который электрон со средней дрейфовой скоростью проходит за время dt (РИС. 45.1). Модуль плотности тока

j	dQ				enS udt			enu;
	S		dt		S		dt

где n – концентрация электронов; с учётом знака заряда электрона

j enu .

udt

Рис. 45.1

Численная оценка

Дрейфовая скорость

электрона (см. 6.4.3)

u 1

v
кв

мм

с

106

, среднеквадратичная скорость теплового движения

	м	vкв >> u.
	с

Найдём, как зависит дрейфовая скорость электрона от напряжённости электрического поля. Рассмотрим процесс резкого включения и выключения поля: после включения поля электроны не сразу разгоняются, а после включения не сразу останавливаются. Поэтому изменение тока запаздывает по отношению к изменению поля.

Запишем II закон Ньютона для электрона в металле:

m* dv eE F ,

(45.1)

dt с

где m* – эффективная масса электрона, v – его скорость, Fс – тормозящая сила, описывающая влияние

соударений электрона с неоднородностями и узлами кристаллической решётки (РИС. 45.2). Положим

	Fс αv .
	Спроецируем уравнение (45.1) на ось x:
	m	* dv	eE αv .
		dt

Разделим переменные и умножим уравнение на (–α):

	αdv		α	dt ;
	eE αv		m*

x

Рис. 45.2

348

	ln	eE αv		αt
		C		*
				m

C – постоянная интегрирования;

,

						αt
eE			αv Ce			*
							.
						m
При t = 0 v = 0, поэтому C = eE,
		αt				eE			αt
eE αv eEe			*	v			1	e	*
		m							m
						α

График этой функции представлен на РИС. 45.3. При t → ∞

.

v

	u	eE
		α

.

Время релаксации – время, за которое скорость электрона уменьшается в e раз,

τ		m	*	α			m	*
		α					τ
						t
						τ
	v u			1 e				.

v

0

,

t

Рис. 45.3

В векторной форме

	u	eτ	E
		*
		m

e2nτ

j m* E .

Коэффициент в последней формуле – константа, зависящая от свойств вещества:

		2	nτ
	σ	e
		m		*

– закон Ома в дифференциальной форме;

ства. Таким образом, мы подтвердили электронных представлений.

,

j σE

σ – удельная электропроводность вещесправедливость закона Ома, исходя из

Благодаря тепловому движению электрон теряет скорость, соударяясь с другими электронами. Средняя длина транспортного пробега – расстояние, после про-

хождения которого начальная скорость электрона уменьшается в e раз:

L vкв u τ vквτ .

Отсюда

349

	τ	L
		v
		кв

σ

		2
		e nL
		*
		m v
		кв

.

Электрическое поле сначала воздействует на электроны, находящиеся вблизи уровня ферми (см. РИС. 44.4Б);

		2
	σ	e nL
		F
		*
		m v
		кв

,

(45.2)

где LF – средняя длина транспортного пробега электронов, находящихся вблизи уровня Ферми. В этой формуле от температуры зависит только LF. Расчёт показывает, что при низких температурах σ ~ T–5, при высоких температурах – σ ~ T–1.

Численная оценка

Для меди при T = 300 К L = 3∙10–6 см, vкв

1,57 108

см с

; при T = 4 К L = 0,3 см.

6.6. Зонная теория проводимости твёрдых тел

Валентные электроны в кристалле движутся не вполне свободно, так как на них действует периодическое поле кристаллической решётки (РИС. 45.4). Спектр возможных значений энергии электрона деформируется и образуются зоны запрещённых и разрешённых значений энергии.

потенциальная яма

Рис. 45.4

6.6.1. Расщепление энергетических уровней валентных электронов в кристаллической решётке

Рассмотрим изолированный атом лития и кристаллическую решётку лития

(РИС. 45.5). Кристалл – единая квантовомеханическая система!

Электроны могут туннелировать сквозь потенциальные барьеры. В результаты этого каждый уровень расщепляется на N подуровней (N – число атомов в решётке) – должен выполняться принцип Паули!

Каждому энергетическому уровню изолированного атома соответствует зона разрешённых энергий (разрешённая зона): уровню 1s – зона 1s, уровню 2s – зона

2s и т. д. Зоны разрешённых энергий разделены зонами запрещённых энергий (запрещёнными зонами) εg. На внутренних оболочках взаимное влияние атомов меньше, поэтому по мере приближения к ядру зоны уже.