Конспект_ИЭЭ_14

310

dψ		C			r		ψ		2	ψ			C				r
			e		r			,	d						e		r
1					0		1				1						0
dr		r					r		dr		2		r	2
		0					0						0

Подставим эти выражения в уравнение (39.6):

ψ1

r02

.

ψ			2	ψ		2m		W	Ze	2		ψ 0
	1			1
r	2		r	r		2		1	4πε r			1
0				0						0
							2

(ψ1	≠ 0). Домножив это уравнение на	2m

2 2 W1 2 2

2mr0 2mr0r

, получим

Ze	2		1		2		Ze	2
									.
4πε0r			r	mr0			4πε0

Это равенство должно выполняться при любых r, в т. ч. при r → ∞. В таком случае правая часть этого равенства стремится к нулю, а, следовательно, и левая часть должна быть также равна нулю:

2 2mr02

W1 0

	W	2
		2
	1
		2mr
		0

.

При r ≠ 0 должны выполняться равенства

	2			W 0,
			2
	2mr				1
		0
	2			Ze	2
						0.
mr				4πε
	0				0

Из этой системы уравнений получим

	2		m		Ze	2	2
r	4πε0	, W						.
0	Ze2m	1	2 2		4πε0

Численное значение

При Z = 1 W1 = 13,6 эВ; r0 = 0,529 Å – 1-ый боровский радиус.

Вероятность обнаружения электрона в тонком сферическом слое радиуса r и толщиной dr

2r

2

r

2

2

2

;

dP ψ1

4πr dr C e

0

4πr dr

2r

dP

C24πr2e r0 .

dr

График

этой

функции

изображён на

РИС. 39.6. Максимум плотности вероятности

обнаружения электрона имеет место при

0

r0

r

r = r0 (доказать самостоятельно).

Общее

решение уравнения

Шрёдингера

Рис. 39.6

(39.5) можно представить в виде

ψ r,θ,φ R r Θ θ Φ φ .

311

Подставив эту функцию в уравнение (39.5), получим три уравнения, имеющих аналитические решения, которые достаточно сложны76.

76 Заметим, что в состоянии ψ1 азимутальное квантовое число l = 0 (см. РАЗДЕЛ 5.6.4), т. е. электрон не вращается.

312

Лекция 40

5.6.3. Энергетический спектр атома водорода

При W > 0 (электрон свободный) энергия электрона может принимать любые значения.

При W < 0 (когда электрон входит в состав атома) энергия электрона квантована:

W	m		Ze	2	2	1	, n 1,2,
n	2 2		4πε0			n2

(n ≠ 0!), n – главное квантовое число.

Энергетический спектр атома водорода дискретный. Дискретные значения энергии электрона показаны на графике потенциальной энергии (РИС. 40.1).

U

0

W3

W2

W1

Рис. 40.1

Основное состояние: n = 1.

r n = 3 n = 2

n = 1

При переходе системы из одного стационарного состояния в другое (при n1 > n2) должен выполняться закон сохранения энергии:

W	W	ω	,
n	n
2	1

где ħω – энергия фотона, излучаемого при переходе электрона из состояния с n1 в состояние с n2;

ω	m		Ze	2	2		1		1
										.
	2						2		2
	2		4πε0			n1			n2

При переходе на более высокий энергетический уровень (при n2 > n1) происходит поглощение энергии.

Постоянная Ридберга

R*	m		e	2	2
						,
	3		4πε0
	2

R* = 2,07∙1016 с–1.

n Название серии

n1 = 1 Серия Лаймана

313

									Таблица 40.1
Диапазон								Энергетическая диаграмма
							0			n → ∞
										n = 4
										n = 3
			УФ							n = 2
ω R		*		1		1
				2		2
				1		n
						2
n	2,3,4,
2

n1 = 2 Серия Бальмера

n1 = 3 Серия Пашена

0

Видимый свет

ω R	*		1		1		,
			2		2
			2		n
					2

n2 3,4,5,

0

ИК

ωR* 312 n12 ,

2

n2 4,5,6,

n = 1

n → ∞ n = 4

n = 3 n = 2

n = 1

n → ∞

n = 4 n = 3

n = 2

n = 1

																				314
При Z = 1
															ω R				*	1							1
																												.
																							2				2
																						n					n
																							1				2
Так как ω = 2πν,
																						1					1
																ν R						2					2	,
																					n					n
																						1					2
где R			R*	3,29 1015							1 .
										с
			2π
Длина волны					λ		c	;
							ν
											1		ν		R		1				1				R			1
																	2					2							2
											λ		c		c
																	n				n								n
																	1					2							1
R	R	1,10			7		1
					10	м			.
	c

		1
		2
		n
		2

 

,

Линии излучения (поглощения) атомов объединяются в серии. Три первые спектральные серии атомарного водорода представлены в ТАБЛИЦЕ 40.1.

5.6.4. Момент импульса электрона в атоме

Момент импульса любой квантовомеханической системы

L

l l 1

,

l 0,1,

,n 1

(см. РАЗДЕЛ 5.4.4), l – азимутальное квантовое число.

При переходе из одного состояния в другое должен выполняться закон сохранения момента импульса. Так как модуль момента импульса фотона Lф = ħ, возможны лишь переходы, при которых

l 1

– правило отбора.

Проекция момента импульса на избранное направление

Lz m	, m l, l 1 ,	, 1,0,1,	,l 1,l

,

m – магнитное квантовое число.

5.6.5. Состояние электрона в атоме

Каждому главному квантовому числу n соответствует n2 состояний с одинаковы-

ми энергиями Wn. Число n2 – степень вырождения.

ПРИМЕР

При n = 2 степень вырождения n2 = 4. Говорят, что уровень n = 2 четырехкратно вырожден.

При внешнем воздействии на атом энергия Wn (для состояний с разными l и m) может ненамного измениться, тогда вырождение снимается (например, при эффекте Зеемана). Таким образом, состояние электрона в атоме определяется тремя (на самом деле ЧЕТЫРЬМЯ) квантовыми числами: n, l, m.

315

Классификация состояний электрона в атоме

(Эта классификация относится не только к атому водорода, но и к многоэлектронным атомам.)

l = 0	–	s-состояние
l = 1	–	p-состояние
l = 2	–	d-состояние
l = 3	–	f-состояние и т. д.

Запись 2s означает, что n = 2, l = 0 и т. п.

В ТАБЛИЦЕ 40.2 рассмотрены возможные состояния электрона на уровнях 1 и 2.

							Таблица 40.2
	Энергия	Квантовые числа			Волновая	Обозначение состояния	Степень
		n	l	m	функция		вырождения
	W1	1	0	0	ψ100	1s	1
		2	0	0	ψ200	2s
	W2	2	1	+1	ψ21+1	2p	4
		2	1	0	ψ210	2p
		2	1	–1	ψ21–1	2p

Переходы между состояниями

При переходах из одного состояния в другое должны выполняться законы сохранения энергии и момента импульса:

	ω W W				,
			2	1
	l	l	1.
	2	1

Таким образом, спектральная серия Лаймана может быть получена при переходах

2p

3p 1s ;

4p

серия Бальмера – при переходах

3p 4p 5p

2s

,

3s 4s 5s

2p

,

3d
4d	2p
5d

.

Эти переходы изображены на энергетической диаграмме РИС. 40.2.

На РИС. 40.2 видно, что состояние 2s оказывается метастабильным: в нём электрон задерживается значительно дольше, чем в других возбуждённых состояниях.

			316
W	l = 0 (s)	l = 1 (p)	l = 2 (d)	l = 3 (f)	l = 4 (g)
0

n = 5 n = 4

n = 3

серия Бальмера

n = 2

серия Лаймана

n = 1

Рис. 40.2

5.7. Многоэлектронные атомы. Принцип Паули

5.7.1. Спин

Из уравнения Шрёдингера следует, что состояние электрона описывается тремя квантовыми числами: n, l, m. Но это уравнение – нерелятивистское. Учёт релятивистских эффектов даёт ещё одно квантовое число: спин – собственный момент импульса.

Модуль собственного момента импульса частицы

Ls

Для электрона

s s 1

.

s 12

L		3
s		2

.

Проекция собственного момента импульса частицы на физически выделенное направление

Lsz ms ;

для электрона

ms 12 .

Итак, состояние электрона описывается четырьмя квантовыми числами: n, l, m, ms.

Полный момент импульса частицы

317

L	j

j j 1

;

j

l s,l

s

.

5.7.2. Принцип неразличимости. Принцип Паули

Принцип неразличимости тождественных частиц: тождественные частицы неразличимы.

Пусть имеется система из двух тождественных частиц. Рассмотрим волновую функцию ψ(ξ1, ξ2), где ξ1 и ξ2 – совокупности координат соответственно частиц 1 и 2. Так как частицы неразличимы, перестановка ξ1 и ξ2 не должна изменять свойств

системы, т. е. ψ2 должен быть одинаковым:

ψ ξ	,ξ		2	ψ ξ	,ξ		2
1	2			2	1

При этом возможно два случая (ТАБЛ. 40.3).

.

Таблица 40.3

Свойство волновой функции

ψ ξ

1

,ξ

2

ψ ξ

2

,ξ

1

ψ ξ

1

,ξ

2

ψ ξ

2

,ξ

1

Спин

целый

полуцелый

Класс частиц

(с точки зрения квантовой

бозоны

фермионы

статистики)

Статистика

Бозе-Эйнштейна

Ферми-Дирака

Число частиц в одном состоянии

не ограничено

≤ 1

фотон, ядра с целым

электрон, протон,

Примеры частиц

нейтрон, ядра с полу-

спином

целым спином

Принцип Паули: в одной квантовомеханической системе не может быть двух частиц с полуцелым спином, обладающих одинаковой совокупностью квантовых чисел.

Фермионы подчиняются принципу Паули, а бозоны – нет.

5.7.3. Многоэлектронные атомы

В состоянии с данным квантовым числом n в каждом атоме могут находиться не более 2n2 электронов. Совокупность электронов, имеющих одинаковые значения n, образует оболочку; одинаковые n и l – подоболочку.

Конфигурация оболочек и подоболочек на первых трёх энергетических уровнях приведена в ТАБЛ. 40.4.

ПРИМЕР

Построение электронной оболочки атома (в основном состоянии)

Водород	1H	1s1	Бериллий	4Be	1s22s2
Гелий	2He	1s2	Бор	5B	1s22s22p1
Литий	3Li	1s22s1	Углерод	6C	1s22s22p2
и т. д.
Калий	19K	1s22s22p63s23p64s1

318

					Таблица 40.4
Спектроскопическое
обозначение	n	l	m	s		Подоболочка
оболочки
K	1	0	0	↑↓		1s
		0	0	↑↓		2s
L	2		–1	↑↓
		1	0	↑↓		2p
			1	↑↓
		0	0	↑↓		3s
			–1	↑↓
		1	0	↑↓		3p
			1	↑↓
M	3		–2	↑↓
			–1	↑↓
		2	0	↑↓		3d
			1	↑↓
			2	↑↓

5.8. Спонтанное и вынужденное излучение. Лазеры

5.8.1. Время жизни состояния

Стационарным (т. е. сколь угодно долго живущим) является только основное состояние атома (это релятивистский эффект).

Время жизни возбуждённого состояния – время, за которое число атомов, находящихся в данном возбуждённом состоянии, уменьшается в e раз.

Для возбуждённого состояния время жизни	τ ~ 10–1 с;
для возбуждённого метастабильного состояния	τ ~ 10–1 с;
для невозбуждённого (основного) состояния	τ → ∞.

319
Лекция 41
5.8.2. Спонтанное и вынужденное излучение
Излучение
спонтанное	вынужденное
(самопроизвольное)	(индуцированное)

Спонтанные переходы всегда происходят сверху вниз (т. е. энергия атома уменьшается и излучается фотон).

Коэффициент спонтанного излучения Amn – вероятность спонтанного перехода атома из состояния m в состояние n (m > n).

Если в состоянии m находится Nm атомов, то за время dt в состояние n перейдёт

	dNm AmnNmdt Nm N0me	A t	,
		mn

где N0m – число атомов в состоянии m в начальный момент времени (t = 0). При

N	e	1				Amnt 1
m			t = τ – время жизни состояния m,					,
N
0m
				A		1	.
				mn		τ

Коэффициент вынужденного излучения Bmn – вероятность вынужденного пе-

рехода атома из состояния m в состояние n; коэффициент вынужденного поглощения Bnm – вероятность вынужденного перехода атома из состояния n в состояние m;

B	B	.
mn	nm

Схемы вынужденных переходов представлены на РИС. 41.1А, Б.

Amn, Bmn, Bnm – коэффициенты Эйнштейна.

	а	m		а	m			б
			Bnm			Bmn
		n			n
		Вынужденное излучение			Вынужденное поглощение
			а			б

Рис. 41.1

На РИС. 41.1Б волна а когерентна волне б.

5.8.3. Двухуровневая система

Пусть пучок света проходит через вещество, атомы которого могут находиться в двух состояниях: m и n. Падающий свет будет вызывать два процесса: переходы сверху вниз и снизу вверх. Первый процесс ведёт к усилению света, второй – к ослаблению.

В ТАБЛИЦЕ 41.1 представлены две возможные ситуации заполнения уровней m и n: обычная и инверсная заселённость.