Конспект_ИЭЭ_14

330

dg

V4πp2dp h32

.

Перейдём от p к ε:

p	2m ε
	0

,

dp	2m	dε			m
					0
	0	2	ε		2

dε ε

;

	V 4π 2m		ε	m	dε			3 2
dg							16πVm		εdε .
		0		0				0
	3	2		2	ε		3	2
	h						h

Число частиц, учитывая вид функции распределения (42.1),

	3 2		ε μ
dN f ε dg 16πVm		0	εe kT dε .
ε	h3 2

Найдём химический потенциал из условия нормировки		dNε

N

:

N

2

3 2

ε μ

4πV 2m

3 2

μ

ε

16πVm

εe

dε

e

εe

dε

3

0

kT

3

kT

kT

0

0

h

2

0

h

4πV 2m

3 2

π

3 2

3 2

μ

2V 2πm kT

μ

0

e

kT

kT

0

e

kT

;

3

3

h

2

h

	3
μ kT ln	Nh
	3	2
	2V 2πm kT
	0

;

2

dN	ε

			μ			3
		e	kT			Nh		,
							3 2
				2V 2πm kT
						0
	3 2			3			ε		2N
16πVm		Nh					kT dε
3	0	2V 2πm kT			3 2	εe			3 2
	2
h									π kT
				0

			ε
	εe		kT	dε

.

Введём функцию распределения частиц по энергиям как плотность вероятности попадания частицы в данный интервал энергий:

	F ε	dN			2			ε
			ε			εe		kT
		Ndε			3 2
					π kT

.

Графики этой функции при разных температурах газа представлены на РИС. 42.4.

Среднее значение энергии частицы

ε	εF ε dε
	0
	F ε dε
	0

3kT

2

1

.

331

F(ε)

T1

T2 > T1

0	Рис. 42.4	ε

332

Лекция 43

6.3. Тепловое излучение. Фотонный газ

6.3.1. Тепловое излучение и его характеристики

Тепловое излучение – электромагнитное излучение, испускаемое телами за счёт их внутренней энергии. Оно свойственно всем телам при любой температуре. Речь пойдёт о равновесном излучении, т. е. находящемся в термодинамическом равновесии с излучающим телом.

Энергетическая светимость (интегральная излучательная способность) – энергия, испускаемая телом в единичный промежуток с единичного участка поверхности тела по всем направлениям:

R		dW
T		dSdt

,

RT

Вт м2

.

Спектральная излучательная (испускательная) способность – энергия, ис-

пускаемая с единичного участка поверхности тела в единичный промежуток времени по всем направлениям в единичном интервале частот78 (длин волн):

rω,T

dW

, rλ ,T

dW

;

dSdtdω

dSdtdλ

r

Вт с

, r

Вт

.

2

3

ω,T

λ ,T

м

м

Связь интегральной и спектральной излучательных способностей:

rω,T		dR		, rλ ,T			dR	;
			T				T
			dω				dλ
RT			rω,T dω			rλ ,T dλ .
	0				0

Связь rω, T и rλ, T:

			dλ
rω,Tdω rλ,Tdλ	r	r	dω
	λ ,T	ω,T
			dλ

здесь v – скорость света в среде.

d

2πv

2πv

dω

;

ω

2

ω

2

2

v

2

r

dω ω

4π

2

ω,T

2πvdω

2πvλ

2πv

r
ω,T

	2πv	r
	2
		ω,T
	λ

,

(43.1)

Спектральная поглощательная способность – безразмерная величина, равна доле энергии, падающей на поверхность тела в интервале частот от ω до ω + dω, которая поглощается этим телом:

adWпогл . ω,T dWпад

Плотность энергии излучения – энергия излучения в единичном объёме:

78 В этом параграфе частота – это циклическая частота ω. Все формулы, содержащие эту величину,

можно записать через частоту ν 2ωπ .

333

w			dW	, w		Дж	.
	T					3
			dV	T
						м

Спектральная плотность энергии излучения– плотность энергии излучения,

приходящаяся на единичный интервал частот79:

		dw	, u			Дж c
u		T					.
ω,T						3
		dω	ω,T
						м

Связь uω, T и wT:

wT

	u	dω
	ω,T
0

.

Связь rω, T и uω, T:

rω,T

Доказательство

v uω,T

4

.

(43.2)

Пусть на чёрную (см. 6.3.2) стенку летит поток фотонов, падающих по нормали к поверхности тела. Плотность потока фотонов равна n, т. е. на единичный участок стенки падает в единичный промежуток времени vn фотонов. При поглощении

	каждый фотон передаёт стенке импульса		p		ε	, где ε – энергия фотона. Общий
					v
	импульс, т. е. давление света на стенку,
	P np	nε		n ω		.
		v		v

Пусть в единичном объёме полости, заполненной равновесным тепловым излучением, находится dnω фотонов с частотой от ω до ω = dω. Энергия этих фотонов

dW εdn
ω

ωdnω

u	dω
ω,T

.

Фотоны летят внутри полости по всем направлениям. Число ударов фотонов о

стенку в единичный промежуток времени равно

dW 4v ωdnω .

Эта же величина равна rω, Tdω. Из этого следует

1 4

vdnω

. Поэтому

r	dω	v
ω,T		4

ωdn		v	u	dω
ω		4	ω,T

rω,T v , ч. т. д.

uω,T 4

Спектральная и интегральная плотность энергии равновесного теплового излучения не зависят от природы излучающего тела, а зависят только от температуры и частоты.

6.3.2. Чёрное и серое тело. Закон Кирхгофа

Серое тело – тело, поглощательная способность которого не зависит от частоты (длины волны) падающего излучения, притом что она меньше единицы:

aω,T aT 1.

79 Аналогично можно ввести uλ, T, aλ, T.

334

Чёрное тело (абсолютно чёрное тело) – тело, поглощающее всё падающее на него излучение:

0	0
aω,T	aT 1 .
Модель чёрного тела
Абсолютно чёрных тел в природе не бывает, но мож-
но создать объект, по своим оптическим свойствам
сколь угодно приближенный к чёрному телу. В за-
крытом сосуде (лучше с зачернённой внутренней по-
верхностью) нужно сделать малое по сравнению с
размерами сосуда отверстие (РИС. 43.1). Если на это
отверстие падает свет, то, проходя через отверстие,
он либо поглощается внутренней поверхностью со-
суда, либо отражается от неё, затем снова падает на
внутреннюю поверхность, опять поглощается или		Рис. 43.1
отражается и т. д. Таким образом, свет,	падающий на

отверстие, практически не выходит из него, т. е. отверстие является чёрным телом.

Демонстрация: Модель абсолютно чёрного тела

Закон Кирхгофа: отношение спектральной поглощательной и излучательной способностей тела не зависит от его природы, а является универсальной функцией частоты (длины волны), равной спектральной излучательной способности чёрного тела;

rω,T r0 .

aω,T ω,T

Доказательство

Пусть внутри чёрной оболочки помещено нечёрное тело (РИС. 43.2). Так как оба тела находятся в равновесии с излучением, энергия, поглощённая участком поверхности нечёрного тела площадью dS в любом малом интервале частот dω за время dt, равно излучённой энергии в том же интервале:

dWпогл dWизл .

По определению спектральной поглощательной способности

dWпогл aω,TdWпад ,

чёрное тело

нечёрное тело

Рис. 43.2

где dWпад – энергия излучения в том же диапазоне, падающего на ту же площадку в тот же промежуток времени; по определению спектральной излучательной способности

dWизл rω,TdωdSdt .

На участок поверхности чёрного тела площадью dS падает за время dt столько же излучения, что и на участок поверхности нечёрного тела той же площади:

dWпад dWпад0 .

335

Но чёрное тело поглощает всё падающее на него излучение и, следовательно, столько же излучает:

dW0 пад

dW0 погл

dW0 изл

r0 dωdSdt

ω,T

.

Из этих равенств следует, что

rω,TdωdSdt aω,Trω0,TdωdSdt arω,T rω0,T , ч. т. д.

ω,T

Демонстрация: Кубок Лесли

6.3.3. Фотонный газ. Подсчёт числа фотонов с энергией от ε до ε + dε

Так как фотоны – бозоны (спин фотона s = 1), они подчиняются статистике БозеЭйнштейна; функция распределения по фазовым ячейкам

f ε				1
			ε	μ
i
		e	i		1
			kT

.

Разберёмся, чему равен химический потенциал μ фотонного газа. Число частиц N ≠ const, так как фотоны непрерывно поглощаются и излучаются. Фотонный газ стремится к минимуму внутренней энергии U за счёт изменения N:

	U	0.
	N

Но по определению химического потенциала

μ 0	.

U
μ
	N
		V const
			S const

. Поэтому

С учётом равенства нулю химического потенциала функция распределения запишется как

f ε	1
		ε
	e		1
		kT

(здесь и далее в этом разделе мы опускаем индекс i). По определению функции распределения

f ε

где dNε – число фотонов с энергией от ε щих этой энергии.

Число фазовых ячеек в фазовом объёме

ε + dε,

dg

		dN	,
		ε
		dg

до ε + dε, dg – число ячеек, соответствую-

dΓ, в котором энергия частиц лежит ε до

dΓ h32 ,

так как h3/2 – объём фазовой ячейки. Поскольку энергия фотона не зависит от координаты,

dΓ	dxdydz dpxdpydpz VdΓp ,
	V

336

где V – объём полости, в которой находится фотонный газ, dΓp – элемент объёма в подпространстве импульсов. Так как энергия фотона зависит только от модуля импульса, а не от его направления, выбираем dΓp в виде тонкого сферического слоя радиуса p и толщины dp (РИС. 42.3):

dΓp

4πp2dp

.

Так как энергия фотона ε = cp (c – скорость света в вакууме; если излучение распространяется в среде, в всех формулах этого параграфа можно заменить c на v),

ε

dε

2

dε

p

,

dp

dΓ

4πε

;

3

c

c

p

c

dg

V 2 4πε2dε

8πV

ε2dε ;

c

3 3

c

3 3

h

h

8πV

2

dN

ε dε

ε

3

3

ε

c h

e

kT

1

или

V

ε

2

dε

dN

.

ε

π

2

c

3

3

ε

1

e

kT

6.3.4. Спектральная излучательная способность чёрного тела

Энергия фотонов с энергией ε до ε + dε в объёме V

dW εdNε .

Так как ε = ħω, спектральная плотность энергии излучения

uω,T

dW

ωdN

ε

.

Vdω

Vdω

Подставив сюда выражение (43.3), получим

ω

V

2

2

dω

3

uω,T

ω

ω

.

V

2

3

3

ω

2

3

ω

π c

1

π c

e

kT

1

e

kT

dω

Из соотношения (43.2) следует, что

c

3

r

u

ω

.

2

2

ω

ω,T

4

ω,T

c

4π

e

kT

1

Из (43.1)

r

2πc r

2πc

8π3c3

4π2c2

1

4π2c2λ2

λ5

λ ,T

λ2 ω,T

λ3

2π c

2π c

1

e λkT

1

e λkT

4π2c2

1

2πc2h

1

.

λ5

2π c

1

λ5

hc

1

e λkT

eλkT

Итак,

(43.3)

337

				3		2πc	2	h	1
rω,T			ω		, rλ ,T
	2πc	2	ω			5			hc
		e		1		λ
			kT					e	λkT	1

– формула Планка.

График функции rω, T представлен на РИС. 43.3, а функции rλ, T – на РИС. 43.4. rω, T

0

ω

Рис. 43.3

(43.4)

6.3.5. Законы излучения чёрного тела

1.Закон Кирхгофа

2.Закон Планка

3.Закон Стефана-Больцмана: интегральная излучательная способность чёрного тела пропорциональна четвёртой степени термодинамической температуры:

где σ 5,67 10	8	Вт
		К

Доказательство

R	σT	4	,
T

– постоянная Стефана-Больцмана.

Интегральная излучательная способность чёрного тела

	RT rω,T dω
	0
	Обозначим	ω
		kT

ω

1

4

3

ω

1

ω3

1

dω

kT

ω

1

ω

ekT

ekT

d

.

2πc

2

2πc

2

0

0

kT

kT

ξ ;

k4

eξ 1 1 dξ .

RT

T4 ξ3

2πc

3

0

Интеграл в этом выражении – это константа, табличная величина. Поэтому RT ~ T4, ч. т. д.

338

4.Закон смещения Вина: длина волны, соответствующая максимуму спектральной излучательной способности чёрного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре;

λmT b

где b = 2,90∙10–3 м∙К – постоянная Вина.

Доказательство

,

Условие максимума спектральной излучательной способности

из формулы Планка

		5λ		hc
			e
		6		kTλ
				hc
		5e
				kTλ
Обозначим	hc	x ; получим
	kTλ
				xe

drλ ,T 0. dλ

				hc
1	λ e
		5		kTλ
5		hc		hc
			e
				kTλ
		kTλ

x	5e	x	5	0

hc
2
kTλ
0	.

.

0

,

Это трансцендентное уравнение, имеющее корень x0:

x			hc	, λ T	hc		const , ч. т. д.
	0		kTλ	m	kx	0
			m

На РИС. 43.4 показано, как изменяется спектральная излучательная способность rλ, T в зависимости от температуры излучающего чёрного тела. Более нагретое тело излучает больше во всём диапазоне длин волн; максимум его спектральной излучательной способности смещён в сторону более коротких волн.

rλ, T

T2 > T1

T1

0

λ2m λ1m

λ

Рис. 43.4

Демонстрация: Закон Вина

5. Формула Рэлея-Джинса

339

Из классических соображений можно получить формулу

		2
r		ω kT
			2
ω,T		2πc

– формула Рэлея-Джинса. Из этой формулы следует

R			r	dω
T			ω,T
		0

– «ультрафиолетовая катастрофа». Получается, что энергия излучения тела бесконечно велика, что противоречит закону сохранения энергии.

Ультрафиолетовая катастрофа была преодолена Планком, который при выводе формулы для спектральной излучательной способности воспользовался гипотезой о том, что энергия гармонического осциллятора может принимать только дискретный ряд значений: ħω, 2ħω, 3ħω и т. д., кратных кванту энер-

гии.

Формула Рэлея-Джинса – частный случай формулы Планка при малых часто-

тах излучения

	ω
kT

	1
r
ω,T

:

			3				3		2
		ω					ω kT		ω kT
2πc	2	ω			2πc	2	ω		2πc	2
			1
	e	kT

.