4.2. Расчет временных характеристик сетевого графика и определение критических путей

Под временными характеристиками сетевого графика понимаются, прежде всего, ранний срок наступления события и поздний срок наступления события.

Под ранним сроком наступления события под номером понимается такой срок, раньше которого это событие наступить не может из-за выполнения предшествующих ему работ. Другими словами, каждое событие наступает только тогда, когда будут выполнены все предшествующие его наступлению работы.

Под поздним сроком наступления события под номером понимается такой срок, позже которого событие не может наступить, не удлиняя при этом общий срок выполнения всех работ, что приводит к так называемому срыву графика.

Для расчета временных характеристик нужно подготовить для этого построенный выше сетевой график, увеличив кружки, изображающие события, и разбив их на 3 сектора (рис. 4.6, 4.7).

Рис. 4.6. Использование секторов для записи временных характеристик: i – номер события; – ранний срок наступления событияi; – поздний срок наступления событияi

Рис. 4.7. Сетевой график, подготовленный к расчетам временных характеристик

При расчете ранних сроков нужно от событий нижнего ранга постепенно переходить к событиям последующего ранга. Рассчитаем для каждого события (рис. 4.8). Прежде всего, положим ранний срок наступления начального события графика равным нулю ().

Рис. 4.8. Расчет ранних сроков наступления событий сетевого графика

Так как второе событие наступает после работы V, продолжительность которой дням, то можно определитьпо формуле Событию под номером 3 непосредственно предшествует работа G, имеющая продолжительность дней, с толькочто определенным ранним сроком начала Отсюда

В отличие от событий 2 и 3, событию под номером 4 предшествуют две работы: E и Н, которые имеют продолжительности, соответственно, дней идней. В этом случае ранний срок наступления четвертого события должен определяться по формуле

Событию под номером 5 непосредственно предшествует работа A, поэтому Событию под номером 6 непосредственно предшествуют три работы:C, F и фиктивная работа. Отсюда ранний срок шестого события рассчитывается по формуле

.

Аналогично, продолжительности работ Q, B и D используются для расчета раннего срока седьмого события по формуле

.

Итак, ранний срок конечного события сетевого графика на рис. 4.8 равен 45 дням (). Это означает, что раньше, чем за 45 дней торговый павильон не может быть построен. Ранний срок конечного события называется критическим сроком выполнения всех работ. Он указывает минимальный срок, за который может завершиться комплекс работ при заявленных темпах их выполнения в нормальном режиме. Иными словами, критический срок строительства павильона равен 45 дням.

Расчет поздних сроков наступления событий производится в направлении от события высшего ранга к событиям нижнего ранга, начиная с конечного события под номером 7. Рассчитаем для каждого события (рис. 4.9).Прежде всего, положим поздний срок наступления конечного события графика равным только что рассчитанному для него раннему сроку (). Это означает, что если завершение строительства раньше 45 дней невозможно, то и позже этого срока оно нежелательно.

Рис. 4.9. Расчет поздних сроков наступления событий сетевого графика

Так как шестое событие является началом только одной работы D, которая заканчивается событием 7 и выполняется 10 дней, то можно определить по формуле

Аналогично, событие под номером 5 является началом фиктивной работы, которая заканчивается событием 6, отсюда

В отличие от событий 6 и 5, событие под номером 4 является началом двух работ: A и F, которые имеют продолжительности, соответственно, дней идней. В этом случае поздний срок наступления четвертого события должен определяться по формуле

.

Событие под номером 3 является началом двух работ: B и H, которые имеют продолжительности, соответственно, дня идней. Тогда поздний срок наступления третьего события должен определяться по формуле

.

Второе событие является началом двух работ: G и Q, которые имеют продолжительности, соответственно, дней идней.Тогда поздний срок наступления события номер 2 должен определяться по формуле

.

Наконец, начальное событие является началом трех работ: C, E и V, которые имеют продолжительности, соответственно, дня, дней и дней. Отсюда поздний срок наступления начального события определим по формуле

.

Найденные ранние и поздние сроки наступления событий позволяют вычислить другие важные временные характеристики сетевого графика, какими, например, являются резервы времени по работам.

Под резервом времени по конкретной работе понимается разность между поздним сроком окончания и ранним сроком начала этой работы за вычетом продолжительности ее выполнения. Например, резерв времени по работе B, обозначенный , рассчитывается по формуле:

,

т. е. резерв времени по работе B равен 5 дням.

Если резерв времени по работе равен нулю, то работа называется критической. Именно критические работы являются «узкими местами» сетевого графика и должны находиться под постоянным контролем руководителя работ. Например, работа Q является критической, так как

.

Центральным понятием сетевого планирования и управления является понятие критического пути сетевого графика.

Под путем в сетевом графике понимается последовательность работ, соединяющая два события, в которой конечное событие предыдущей работы является начальным событием последующей. Например, последовательность работ P ={(2, 3), (3, 4), (4, 6)} образует путь, соединяющий второе событие с шестым. Пути можно представить и через последовательности событий, через которые они проходят, и перечнем имен работ, лежащих на пути. Так, уже указанный путь можно обозначить таким образом:

P = {2 → 3 → 4 → 6} или P = {G, H, F}.

Полным путем называется путь, ведущий из начального в конечное событие сетевого графика. Так, путь P = {(1, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7)} является одним из полных путей для сетевого графика, изображенного на рис. 4.9.

Под продолжительностью пути понимается сумма продолжительностей составляющих его работ. Например, продолжительность названного выше полного пути будет равняться 27 + 8 + 0 + 10 = 45 дней.

Под критическим путем сетевого графика понимается полный путь, имеющий максимальную продолжительность. Продолжительность критического пути совпадает с критическим сроком выполнения всего комплекса работ. Например, для данного сетевого графика любой полный путь продолжительностью 45 дней будет являться критическим. Это означает, что критических путей может быть несколько. Работы, составляющие критический путь, являются критическими, т. е. имеющими нулевой резерв времени. Критические пути считаются разными, если они отличаются хотя бы одной работой.

Рассмотрим один из способов выявления всех критических работ и составленных из них критических путей (рис. 4.10).

Рис. 4.10. Выявление критических путей сетевого графика

Начнем с анализа резервов времени работ, которые заканчиваются конечным событием. В нашем случае это работы: B, D, Q. Ранее было установлено, что , а, найдем

.

Отсюда устанавливаем, что работы D и Q являются критическими, а через них проходят, по крайней мере, два критических пути.

Рассмотрим сначала критическую работу Q. На рис. 4.10 видно, что начальным событием работы Q является событие 2. Вычислим резервы времени работ, для которых это событие является конечным. Такой работой оказалась работа V. Легко вычислить, что

,

следовательно, работа V является критической. Таким образом, выявлен полный путь, состоящий из последовательности критических работ V и Q, который в дальнейшем будем называть первым критическим путем {V, Q}. На рис. 4.10 он выделен жирными стрелками.

В нашем случае возможны другие критические пути, которые проходят через работу D. Так как начальным событием работы D является событие 6, то сравним резервы времени работ, для которых это событие является конечным. Вычислим:

;

;

.

Отсюда заключаем, что критическими работами являются: фиктивная работа и работа F. Такой результат говорит о том, что в данном сетевом графике, кроме первого критического пути, имеются, по крайней мере, еще два критических пути. Сначала выявим критический путь, проходящий через работу F. Для этого вычислим резервы времени для работ E и H, на которые непосредственно опирается работа F. Получим:

,

.

Отсюда устанавливаем, что критическая работа E начинает второй критический путь {E, F, D}.

Выявим теперь критические пути, проходящие через критическую фиктивную работу. Фиктивная работа начинается событием 5, поэтому оценим резерв времени единственной предшествующей ей работы A, . Последнее показывает, что работаA является критической. Так как событие A начинается событием 4, которым завершается единственная выявленная ранее критическая работа E, то тем самым проявился третий критический путь {E, A, Ф, D}, где Ф – имя фиктивной работы, которое без ущерба для описания третьего критического пути можно опустить.

Ответ 1: Критический срок 45 дней строительства павильона обусловлен наличием трех критических путей: {V, Q}, {E, F, D}, {E, A, D}, которые выделены жирными стрелками на рис. 4.10. При этом стоимость строительства павильона в нормальном режиме выполнения работ составит

13,8 + 46,8 + 69,6 + 61,2 + 189 + 64,8 + 12,6 + 14,4 + 280,8 + 72 = 825 млн. руб.