Сопромат-учебное пособие

касательные напряжения от кручения — по формуле

τ= Mк ,

Wp

ãäå Wx — осевой момент сопротивления круглого сечения; Wp — полярный момент сопротивления, для сплошного сече- ния равные соответственно

Wx		πd3	, Wp		πd3
	=			=		.
	32			16

Напряженное состояние в опасной точке сечения показано на рисунке 4.4.

	τ
σ	τ	σ
	τ
	τ
	Рисунок 4.4

Расчет на прочность при плоском напряженном состоянии выполняется с применением теорий прочности. Для пластичных материалов используются третья или четвертая теории прочности, для хрупких — теория Мора. Предварительно необходимо определить главные напряжения:

σ

1

σ2 + 4τ2 ,

σmax =

±

2

min

2

σ1 = σmax =

σ

+

1

σ2 + 4τ2 ,

2

2

σ2 = 0,

σ3 = σmin =

σ

−

1

σ2 +

4τ2 .

2

2

91

По третьей теории условие прочности

σ1 − σ3 ≤ [σ] ,

откуда следует, что

σ2 + 4τ2 ≤ [σ] .

По четвертой теории

σ12 + σ22 + σ32 − σ1σ2 − σ2σ3 − σ1σ3

соответственно получаем

σ2 + 3τ2 ≤ [σ] .

По теории прочности Мора

σ −

σр

σ

≤ [σ

]

,

3

р

1

σс

следовательно,

1− k

1+ k

σ2 + 4τ2 ≤ [σ

]

σ +

р

2

2

ãäå k =

σр

.

σс

Пример 13

≤ [σ] ,

,

Вал ременной передачи (рисунок 4.5) имеет круглое поперечное сечение и должен передавать мощность N (кВт) при частоте вращения ω (с–1). Из расчета на прочность необходимо определить допускаемую величину диаметра вала d.

Исходные данные: [σ] = 220 МПа; соотношение натяжений ремня в ветвях T = 2t; остальные данные приведены в таблице 4.2, размеры заданы в мм, углы — в градусах.

92

				t1	y
				α1
				T1
D1		d	D2
			z	T2	x
a	b		c
				t2	α2
			Рисунок 4.5

Таблица 4.2

N	ω	D1	D2	a	b	c	α1	α2
11	19	310	490	120	100	140	60	60

Решение

1.Изображаем реальную схему задачи (рисунок 4.6, а)

èопределяем передаваемый валом крутящий момент и силы натяжения в ветвях ремней.

Крутящий момент равен отношению передаваемой валом мощности к частоте вращения вала:

M		N		11000		= 579 (Н м) .
	к =		=
		w		19

Эпюра крутящего момента показана на рисунке 4.6, а. В сечении, где расположен ведущий шкив диаметром D1,

крутящий момент связан с силами натяжения ремня:

Mк = (T1	− t1)	D1	= (2t1	− t1)	D1	= t1	D1	,
	2			2		2

в сечении под ведомым шкивом D2

Mк = (T2 − t2 ) D2 = t2 D2 .

2 2

93

310	d	490
		z
120	100	140

579

ÝÌê

A

B

C

D

à

P1

y

y

RyD

t1

P1y

P2x

RyB

P2

RxD

T1

x

T2

P1y

x

D

C

t2

A

B RxB

P2y

P1

P1

x

x

x

P2

P2y

á

â

1164

1037

ÝMx

A

B

C

D

672

186

ÝMy

A

B

C

D

1344

1053

ÝM

A

B

C

D

ã

Рисунок 4.6

94

На основании этого получаем величины сил натяжения:

	2Mк				2 579
t1 =			=					= 3735 (Н),	T1 = 2t1 = 7470 (Н),
					0,31
		D1
		2Mк				2 579
t2 =				=				= 2363 (Н),	T2 = 2t2 = 4726 (Н).
					0,49
		D2

2. Считая ветви ремня на входе и выходе шкива параллельными, приводим внешние силы к равнодействующим:

P1 = T1 + t1 = 7470 + 3735 = 11205 (Н),

P2 = T2 + t2 = 4726 + 2363 = 7089 (Н).

Внешние силы P1 è P2 параллельны силам натяжения и приложены на оси вала в сечениях под соответствующими шкивами (рисунок 4.6, б). Проекции этих сил на оси x, y:

P1x = P1cos α1 = 11205		cos60° = 5603	(Н),
P1y = P1sin α1 = 11205		sin 60° = 9704	(Н),
P2x	= P2 cos α2 = 7089	cos60° = 3544	(Н),
P2 y	= P2 sin α2 = 7089	sin 60° = 6139	(Н).

3. Действие вычисленных внешних сил вызывает появление в опорах вала реакций RxB, RyB, RxD, RyD (рисунок 4.6, в). Величины реакций опор определяем с использованием уравнений равновесия:

ΣPx = −P1x + RxB − P2x + RxD = 0, ΣPy = P1y + RyB − P2y + RyD = 0,

ΣMxB = P1y a+ P2 yb − RyD (b + c) = 0,

ΣM yB = P1xa− P2xb + RxD (b + c) = 0.

Решая уравнения равновесия, получаем величины реакций:

RxB = 10474 Н,	RyB = −10975 Н,
RxD = −1327 Н,	RyD = 7410 Н.

95

4. Строим эпюры моментов ЭMx è ÝMy (рисунок 4.6, г). Для точек A, B, C, D вычисляем значения полного момента:

MA = 0,

MB = 11642 + 6722 = 1344 (Н м),

MC = 10372 +1862 = 1053 (Н м),

MD = 0.

Эпюра полного изгибающего момента показана на рисунке 4.6, г. Опасное сечение вала, как видно по эпюрам изгибающего и крутящего моментов, находится под левой опорой (точка B). Опасные точки находятся на внешней окружности сечения вала.

5. Определяем напряжения в опасной точке:

от изгиба

σ =

Mmax

=

32Mmax

=

13690

Н

,

πd3

W

p

d3

м2

τ =

Mк

=

16Mк

=

2949

Н

от кручения

.

πd3

W

d3

м2

p

Рассчитываем главные напряжения:

σ1,3 = σ ± 1 σ2 + 4τ2 ,

22

σ1

=

6845

+

7453

=

14298

Н

,

d3

d3

d3

м2

σ3

=

6845

−

7453

= −

608

Н

.

d3

d3

d3

м2

Вал изготовлен из пластичного металла, поэтому применяем третью теорию прочности и из условия прочности определяем допускаемое значение диаметра вала:

96

σ1 − σ3 ≤ [σ];
14298		+	608		≤ 220 106		Н			;
d 3			d3				м2
d ≥ 3		14906				= 0,041 (м).
	220 106

Минимальное допустимое значение диаметра вала равно 41 мм. Следует выбрать ближайшее большее по ГОСТу значе- ние диаметра вала: d = 45 мм.

Итак, требуемым условиям передачи мощности отвечает вал ременной передачи диаметром 45 мм.

97

ЧАСТЬ 5

УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ

Устойчивость — это способность конструкции сохранять первоначальную форму равновесия. Устойчивость формы равновесия упругого тела зависит от его размеров, материала, величин и направления действия внешних сил.

Значение силы (нагрузки, напряжения), при которой первоначальная форма равновесия становится неустойчивой, называется критической силой (нагрузкой, напряжением).

Для сжатого стержня в случае нагружения в пределах упругости критическую силу определяют по формуле

P =	π2EImin	,
кр	(μl)2

ãäå Imin — минимальный момент инерции сечения; μ — коэффициент приведения длины, величина которого зависит от вида закрепления стержня (рисунок 5.1).

P

P

P

P

μ = 1

μ = 2

μ = 0,7

μ = 0,5

Рисунок 5.1

98

Коэффициент запаса по устойчивости рассчитывают по формуле

nу = Pкр ≥ [nу ] .

P

Полученное значение коэффициента запаса не должно быть ниже нормативного [nó], задаваемого в зависимости от типа, назначения конструкции, материала. Например, для строительных конструкций [nó] = 2, для машиностроительных — 3,5...5, чугуна — 5, дерева — 3.

В практических расчетах условие устойчивости для сжатого стержня записывают в виде

σ= P ≤ [σу ] = ϕ[σ] ,

F

где ϕ — коэффициент уменьшения допускаемого напряжения, выбираемый по таблице (Приложение Ж) в зависимости от материала стержня и его гибкости; [σ] — допускаемое напряжение при расчете прочности.

Гибкость стержня λ определяют по формуле

λ = μl ,

imin

ãäå imin — минимальный радиус инерции сечения,

	imin =	Imin	.
		F

При проектировочном расчете задача решается методом последовательных приближений путем подбора значения коэффициента ϕ с проверкой по получаемой гибкости стержня.

Перечисленные выше формулы применимы для расчета устойчивости стержня при двух условиях:

1)напряжения в стержне не превышают предела пропорциональности, σ ≤ σïö;

2)гибкость стержня больше предельной, λ ≥ λïðåä.

Для разных материалов предельная гибкость имеет разные значения. Например, для стали Ст.3 λïðåä ≈ 100, чугуна — 80,

99

дерева — 110, легированных сталей — 60...70.

При невыполнении одного из условий при расчете устой- чивости применяют эмпирическую формулу критических напряжений (формулу Ф. С. Ясинского)

σкр = a − bλ ,

где а и b — коэффициенты, зависящие от свойств материала стержня и определяемые экспериментальным путем. Например, для стали Ст.3 a = 310 МПа, b = 1,14 МПа.

Указанная формула применима для стержней из малоуглеродистых сталей при гибкости от 40 до 100.

Пример 14

Стержень изготовлен из прокатного профиля и нагружен сжимающей силой P (рисунок 5.2). Из расчета на устойчивость определить:

1)геометрические размеры и номер профиля;

2)величину критической силы Pêð;

3)коэффициент запаса устойчивости nó.

Исходные данные: материал стержня — сталь Ст.3; допускаемое напряжение [σ] = 120 МПа; остальные данные приведены в таблице 5.1.

P

l					Таблица 5.1
			P, êÍ	l, ì	Сечение
			250	4	двутавр

Рисунок 5.2

Решение

Для сечения, изготовленного из стандартного профиля, при решении задачи необходимо определить его площадь сечения,

100