Сопромат-учебное пособие

Пример 6

Для консольного стержня переменного сечения (рисунок 2.3) требуется:

1)построить эпюры продольной силы, нормального напряжения и продольного перемещения;

2)с использованием условия прочности определить допускаемое значение параметра нагрузки P;

3)для найденного значения параметра нагрузки вычислить

наибольшее продольное перемещение δz.

Исходные данные: параметр длины стержня l = 0,1 м; параметр площади сечения F = 10 см2; коэффициент запаса n = 1,5; остальные данные приведены в таблице 2.1.

F1	F2	P2	F
	P1		P3
l	l1		l2
	Рисунок 2.3

							Таблица 2.1
l1/l	l2/l	P1/P	P2/P	P3/P	F1/F	F2/F	Материал
2	2	–2	2	–1	3,0	0,5	Сталь 08

Решение

1.Изображаем реальную схему задачи с учетом длин уча- стков стержня, величин и направлений действующих сил в соответствии с данными таблицы 2.1 (рисунок 2.4, а).

2.Используя метод сечений, по аналогии с примером 1 получаем эпюру продольной силы ЭN (рисунок 2.4, б).

41

3F
	0,5F	2P	F	P
2P
l	2l		2l

à

	P
		+
			ÝN
P	–	P	–
		á
	P
	2
	F
		+
			Ýσ
1 P		P	–
3 F		F

â

	11 Pl
	3 EF
		5 Pl
	+	3 EF
		Ýδz
–	1 Pl

3 EF

ã

Рисунок 2.4

42

3. Определяем нормальные напряжения на участках стержня (таблица 2.2). Так как продольная сила и площадь сечения стержня на каждом из участков постоянные, то нормальное напряжение на каждом из участков также будет постоянным (рисунок 2.4, в).

				Таблица 2.2
		Площадь	Продольная сила	Нормальное
	Участок			напряжение
		F	N
					σ
	1	3F	–P		1 P
				−
					3 F
	2	0,25F	P				P
				2
							F
	3	F	–P				P
				−			F

Максимальное нормальное напряжение (без учета знака), как видно из таблицы 2.2, наблюдается на 2-м участке:

σmax = 2 P .

F

Этот участок стержня является опасным.

4. Записываем для 2-го участка условие прочности:

σmax = 2P ≤ [σ] .

F

Сталь 08 относится к пластичным материалам, одинаково работающим на растяжение и сжатие, поэтому допускаемое напряжение определяем как

[σ] = σт , n

43

ãäå σò — предел текучести стали, в соответствии со справоч- ными данными (Приложение Г) равный σò = 200 ÌÏà.

Тогда условие прочности для стержня записываем в виде

2P ≤ σт ,

F n

откуда получаем формулу для определения значения параметра нагрузки P:

P ≤ σт F .

2n

Допускаемым будет максимальное значение параметра нагрузки P, т.е.

Pmax = σт F .

2n

Подставляя значения входящих в формулу величин, определяем требуемое значение параметра нагрузки P:

	200 10 10−4
Pmax =		= 0,067 (МН) .
	2 1,5

Итак, допускаемое значение параметра нагрузки Pmax равно 0,067 МН или 67 кН.

5. Определяем удлинения участков стержня (таблица 2.3). Эпюру продольного перемещения δz (рисунок 2.4, г) строим с учетом следующих соображений. В начале 1-го участка

(в заделке) продольное перемещение поперечного сечения стержня равно 0. В конце 1-го участка поперечное сечение перемещается на величину, равную удлинению этого участка:

δ1к	= −	1		Pl	.
	3			EF

По длине 1-го участка продольное перемещение изменяется по линейному закону, т.к. продольная сила N на участке постоянная. В начале 2-го участка продольное перемещение равно перемещению в конце 1-го участка:

44

		Длина	Площадь	Продольная	Удлинение
	Участок	участка	сечения	ñèëà	участка
		l	F	N				l
	1	l	3F	–P		1 Pl
					−
						3 EF
	2	2l	0,5F	–P			Pl
					4
						EF
	3	2l	F	–P				Pl
					−2
							EF

δ2н = δ1к	= −	1		Pl	.
	3			EF
В конце 2-го участка поперечное сечение перемещается на

величину, равную сумме перемещения в начале δ2í и удлинения этого участка:

δ2к	= −	1		Pl	+ 4	Pl	=	11		Pl	.
	3			EF		EF		3 EF

По длине 2-го участка продольное перемещение также изменяется по линейному закону. В начале 3-го участка продольное перемещение равно перемещению в конце 2-го участка:

δ3н = δ2к	=	11		Pl	.
		3 EF

В конце 3-го участка поперечное сечение перемещается на величину, равную сумме перемещения в начале δ3í и удлинения этого участка:

δ3к	=	11		Pl	− 2	Pl	=	5		Pl	.
		3 EF				EF	3			EF

45

6. Максимальное перемещение в соответствии с полученной эпюрой наблюдается в конце 2-го участка. Определим его величину при действии предельно допустимой нагрузки:

	δmaxz	=	11		0,067 0,1	= 1,2 10−4 (ì).
			3 2 105 10 10−4

Итак, наибольшее продольное перемещение в стержне равно 1,2·10–4 ì èëè 0,12 ìì.

2.3. Геометрические характеристики плоских сечений

При центральном растяжении (сжатии) прочность и жесткость стержня зависят от площади его попречного сечения. Площадь является простейшей геометрической характеристикой сечения.

При кручении, изгибе, сложном нагружении бруса используются другие геометрические характеристики сечений — статический момент, полярный, осевой и центробежный моменты инерции, полярный и осевой моменты сопротивления. Это связано с тем, что сечение при этих видах нагружения сопротивляется неравномерно, наибольший вклад в общее сопротивление сечения обычно вносят его наиболее удаленные от центра тяжести области.

Статическим моментом сечения относительно оси x или y называется определенный интеграл вида

Sx = ∫ ydF	èëè Sy = ∫ xdF ,
F	F

где x, y — координаты элемента площади dF.

Свойство статического момента заключается в том, что относительно оси, проходящей через центр тяжести, он равен нулю. Оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются центральными. Если известно положение центра тяжести сечения (xc, yc), то статические моменты сечения могут быть подсчитаны по простым формулам:

Sx = yc F, Sy = xc F .

46

Для сложного сечения, состоящего из n простейших фигур, координаты центра тяжести сечения в системе координат xOy определяют с использованием статического момента по формулам

		n		n
		∑ Fi xi		∑ Fi yi
	xc =	i=1	, yc =	i=1	,
		n		n
		∑ Fi		∑ Fi
		i=1		i=1

ãäå Fi — площадь i-го элемента сечения; xi, yi — координаты центра тяжести i-го элемента.

Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется определенный интеграл вида

I p = ∫ ρ2dF ,

F

где ρ — расстояние от произвольной точки сечения до полюса.

Осевыми моментами инерции сечения относительно осей x и y называются определенные интегралы вида

Ix = ∫ y2dF ,	I y = ∫ x2dF ,
F	F

где x, y — расстояние от произвольной точки сечения до соответствующей оси.

Центробежным моментом инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей х и y называется определенный интеграл вида

Ixy = ∫ xydF .

F

В формулах для определения прочности и жесткости конструкции используются моменты инерции, вычисленные относительно осей, которые являются не только центральными, но и главными. Главными осями называются две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю. Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями, а моменты инерции относительно этих осей — главными центральными моментами инерции.

47

Полярным моментом сопротивления называется отношение полярного момента инерции к расстоянию от центра тяжести сечения до наиболее удаленной его точки:

I

Wp = p .

ρmax

Осевым моментом сопротивления называется отношение осевого момента инерции сечения относительно главной центральной оси к расстоянию от этой оси до наиболее удаленной точки поперечного сечения:

	Wx		Ix	, Wy		I y	.
		=			=
			ymax			xmax

Формулы для определения полярного момента инерции и полярного момента сопротивления некоторых характерных видов сечений приведены в таблице 2.4, для определения осевых моментов инерции и осевых моментов сопротивления — в таблице 2.5.

Для балок, изготовленных из стандартных прокатных профилей (уголка, швеллера, двутавра), геометрические характеристики сечений (осевой момент инерции и осевой момент сопротивления) определяют по справочным таблицам прокатного сортамента (Приложение E).

Когда сечение состоит из n простых элементов (составное сечение), момент инерции определяют как сумму моментов инерции элементов относительно главной центральной оси:

n	n
I xc = ∑ I xci ,	I yc = ∑ I yci .
i=1	i=1

При этом момент инерции i-го элемента относительно центральной оси сечения вычисляют по выражению

Ixci = Ixi + a2Fi ,	I	yci	= I	yi	+ b2F	,
i					i i

ãäå Ixi, Iyi — моменты инерции элемента относительно собственных центральных осей; ai, bi — расстояния между соответствующими центральными осями элемента и всего сечения; Fi — площадь элемента.

48

							Таблица 2.4
Сечение			Полярный момент			Полярный момент
			инерции			сопротивления
				πd 4				πd3
	d		I p =			Wp
							=
			32				16

d0	πd 4	d0	4		Wp =	πd3	d0	4
I p =	1	−				1	−
	32	d				16	d
d

			Таблица 2.5
	Сечение	Осевые моменты	Осевые моменты
		инерции	сопротивления

I xc

πd 4

Wx

πd3

=

64

=

32

d

πd 4

πd3

I yc

Wy

=

64

=

32

Ixc

πd 4

d0

4

Wx

πd3

d0

4

=

1

−

=

1

−

d0

64

d

32

d

d

I yc

πd 4

d0

4

Wy

πd3

d0

4

=

1

−

=

1

−

64

d

32

d

yc

bh3

bh2

Ixc

Wx

h

=

12

=

6

xc

I yc

hb3

Wy

hb2

b

=

12

=

6

49

2.4. Кручение бруса

При расчетах на прочность и жесткость бруса при круче- нии необходимо:

1)определить крутящий момент Mê, действующий в брусе, и построить его эпюру;

2)определить касательные напряжения τ и построить их

эпюру;

3)с использованием условия прочности выполнить проверку прочности или определить допускаемое значение требуемого параметра;

4)для проверки жесткости определить углы закручивания участков бруса.

Касательное напряжение при кручении определяют по формуле

τ= Mк ,

Wp

ãäå Mê — величина крутящего момента в сечении; Wð — полярный момент сопротивления сечения на этом участке.

Эта формула позволяет определять максимальное в сече- нии значение касательного напряжения в наиболее удаленной от центра тяжести точке. Формулы для определения полярного момента сопротивления некоторых характерных видов сече- ний приведены в таблице 2.4.

Если крутящий момент и полярный момент сопротивления, зависящий от диаметра вала, на участке бруса не изменяются, то касательное напряжение на этом участке также будет постоянным по его длине. Если же крутящий момент и (или) полярный момент сопротивления на участке бруса изменяются по какому-либо закону, то и касательное напряжение по длине этого участка будет соответственно изменяться.

Условие прочности при кручении имеет вид

τmax ≤ [τ] ,

ãäå τmax — максимальное касательное напряжение (в опасном сечении бруса), [τ] — допускаемое касательное напряжение.

50