Сопромат-учебное пособие

на основании чего по таблицам прокатного сортамента (Приложение Е) установить номер профиля, его размеры и геометрические характеристики.

Для заданного вида закрепления стержня коэффициент приведения длины μ = 2 (см. рисунок 5.1). Задачу решаем по шагам методом последовательных приближений.

1. Задаемся значением коэффициента ϕ = 0,5. Из условия устойчивости определяем площадь поперечного сечения:

	F =	P	=		0,	25	= 41,7 10−4 (м2 ) = 41,7 (см2 ) .
		[σ]ϕ		120		0,5

По таблицам прокатного сортамента получаем, что ближайшее большее значение площади имеет двутавр ¹ 27а —

F = 43,2 ñì2. Для этого профиля радиус инерции imin = 2,8 ñì èëè 0,028 ì.

Для выбранного двутавра определяем его гибкость:

λ = μl = 2 2,5 = 179 . imin 0,028

По таблице Приложения Ж для полученного значения гибкости с учетом материала стержня методом линейной интерполяции находим новую величину коэффициента уменьшения допускаемого напряжения: ϕ = 0,233.

Определяем предельную нагрузку на стержень для выбранного номера профиля:

Pmax = [σ]Fϕ = 120 0,00432 0,233 = 0,12 (МН).

Она существенно меньше заданной по условию задачи, стойка «перегружена», следовательно, значение ϕ = 0,5 завышено.

2. В интервале 0,233 < ϕ < 0,5 выбираем значение ϕ = 0,35. Вычисляем площадь сечения:

	F =	0,25	= 59,5 10−4 (м2 ) = 59,5 (см2 ) .
		120 0,35

По таблицам Приложения Е выбираем двутавр ¹ 36: F = 61,9 см2, imin = 2,89 ñì.

101

Новые значения гибкости и коэффициента ϕ:

λ = 2 2,5 = 173, ϕ = 0,251 . 0,0289

Рассчитываем предельную нагрузку:

Pmax = 120 0,00619 0,251 = 0,186 (МН) .

Стойка вновь «перегружена», значение ϕ завышено.

3.В интервале 0,233 < ϕ < 0,35 выбираем значение ϕ = 0,28

èснова выполняем расчеты:

	F =	0,25	= 74,4 10−4 (м2 ) = 74,4 (см2 ) .
		120 0,28

Выбираем двутавр ¹ 45: F = 83,0 см2; imin = 3,12 см. Новые значения гибкости и коэффициента ϕ:

λ = 2 2,5 = 160, ϕ = 0,29 ; 0,0312

предельная нагрузка:

Pmax = 120· 0,00083·0,29 = 0,289 (ÌÍ).

Предельная нагрузка оказалась выше заданной. Теперь стойка «недогружена», недогрузка составляет

(0,289 − 0,25) 100% = 13,5% , 0,289

значение ϕ занижено.

4. В интервале 0,28 < ϕ < 0,35 выбираем значение ϕ = 0,3:

	F =		0,	25	= 69,4 10−4 (м2 ) = 69,4 (см2 ) .
		120		0,3

Выбираем двутавр ¹ 40: F = 71,4 см2; imin = 3,05 см. Новые значения гибкости и коэффициента ϕ:

λ = 2 2,5 = 164, ϕ = 0,278 ; 0,0305

102

предельная нагрузка:

Pmax = 120 · 0,00714 · 0,278 = 0,238 (ÌÍ).

Теперь нагрузка оказалась немного ниже заданной, стойка «перегружена» незначительно, перегрузка составляет

(0,25 − 0,238) 100% = 5% , 0,238

что вполне допустимо.

Итак, при заданной нагрузке устойчивость стержня обеспечивается при выборе двутавра ¹ 40.

5. Рассчитываем величину критической нагрузки, предварительно определив по таблице Приложения Е минимальный момент инерции двутавра:

Imin = 666 (см4 ),
	π2E Imin		π2 2 105 666 10−8
P =		=		= 0,526 (МН).
кр	(μl)2		(2 2,5)2

Наконец, получаем коэффициент запаса устойчивости:

nу =	Pкр		0,526	= 2,1.
		=
			0,25
	P

Итак, по расчету на устойчивость заданную нагрузку с коэффициентом запаса nó = 2,1 выдержит стойка, изготовленная из двутавра ¹ 40.

103

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов.

Ì.: Âûñø. øê., 1989. 624 ñ.

2.Степин П. А. Сопротивление материалов: учебник для вузов. 6-е изд., перераб. и доп. М. : Высш. шк., 1979. 312 с.

3.Скопинский В. Н., Захаров А. А. Сопротивление материалов: учеб. пособие. М. : МГИУ, 1999. Ч. 1. 128 с.

4.Пособие к решению задач по сопротивлению материалов / И. Н. Миролюбов [и др.]. М. : Высш. шк., 1985. 399 с.

5.Баловнев Г. Г., Чернов Ю. В. Сборник задач по сопротивлению материалов. М. : МСХА, 1993. 256 с.

6.Ицкович Г. М., Минин Л. С., Винокуров А. И. Руководство к решению задач по сопротивлению материалов: учеб. пособие для вузов / под ред. Л. С. Минина. 3-е изд., перераб. и доп. М. : Высш. шк., 2001. 592 с.

104

Приложение А

Пример оформления титульного листа задания

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЧЕЛЯБИНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АГРОИНЖЕНЕРНАЯ АКАДЕМИЯ»

Факультет: Механизация сельского хозяйства

Кафедра: Сопротивление материалов

СЕМЕСТРОВОЕ ЗАДАНИЕ ¹ 1

Построение эпюр внутренних силовых факторов при простых видах нагружения

Вариант 28

Студент: Петров В. В.

Группа: 225

Руководитель: проф. Игнатьев А. Г.

2010

105

Приложение Б

Пример оформления семестрового задания

Задача 7

Расчет на прочность и жесткость при растяжении (сжатии)

Для консольного стержня переменного сечения

1)построить эпюры продольной силы, нормального напряжения и продольного перемещения;

2)из условия прочности определить допускаемое значение параметра нагрузки P;

3)для найденного значения нагрузки вычислить наибольшее перемещение.

F1	F2	P2	F
	P1		P3
l	l1		l2

Äàíî:

l1/l	l2/l	P1/P	P2/P	P3/P	F1/F	F2/F	Материал
2	2	–2	2	–1	3,0	0,5	Сталь 08

l = 0,1 ì, F = 10 ñì2, n = 1,5

Решение

Определение реакции опоры (заделки).

ΣPz = Rz − 2P + 2P − P = 0, Rz = P

106

Построение эпюры продольной силы методом сечений. Сечение I:

P NI

ΣPz = NI + P = 0

NI = –P

z

Сечение II:

P 2P

NII

ΣPz = NII + P – 2P = 0

NII = P

z

Сечение III:

P 2P

2P

N

ΣPz = NIII + P – 2P + 2P = 0

III

NIII = –P

z

Определение нормальных напряжений на участках стержня.

Участок 1:

NI

−P

1 P

σI =

=

= −

.

FI

3F

3 F

NII

P

= 2

P

Участок 2:

σII =

=

.

0,5F

FII

F

Участок 3:

NIII

P

σIII =

= −

.

FIII

F

Определение допускаемого значения параметра нагрузки P из условия прочности для стержня:

σmax = 2 P ≤ [σ] = σт .

F n

Предел текучести стали 08 — σò = 200 ÌÏà.

107

σт F 200 10 10−4

Pдоп =

=

= 0,067 (МН) = 67 (кН) .

2n

2 1,5

Определение удлинений участков стержня

Участок 1:

l1

=

N1l1

= −

1

Pl

.

EF1

3 EF

Участок 2:

l2

=

N2l2

=

2Pl

= 4

Pl

.

EF2

0,5EF

EF

Участок 3:

l3

=

N3l3

= −2

Pl

.

EF3

EF

Определение максимального перемещения по длине

стержня.

δz max =

11

Pl

=

11

0,067 0,1

= 1,2 10−4 (м) = 0,12 (мм) .

3 EF 3 2 105 10 10−4

108

	3F		0,5F	2P	F	P
	2P
	l		2l		2l
	Rz	2P		2P		P
	P	2P		2P		P
	I	2P	II	2P III		P
	P
		P	+
		–			–	ÝN
	P			P
		P
	2
		F	+
	1 P			P	–	Ýσ
	3 F			F
			11 Pl
			3 EF
						5 Pl
				+		3 EF
		–	1 Pl			Ýδz
			3 EF

109

Приложение В

Единицы измерения

Термин	Обозна-		Примечание
	чение
Международная система единиц (СИ)
Единицы длины, массы, времени
(основные):
ìåòð	ì
килограмм	êã
секунда	ñ
Дольные единицы длины:
сантиметр	ñì
миллиметр	ìì
Единица силы:
ньютон	Í	1	Í =0,102 êà ≈ 0,1 êÃ
Дольные единицы силы:
килоньютон	êÍ	1	êÍ = 103 Í
меганьютон	ÌÍ	1	ÌÍ = 103 êÍ = 106 Í
Единица напряжения и давления:
паскаль	Ïà	1	Ïà = 1 Í/ì2 ≈
		≈ 10–5 êÃ/ñì2
Дольная единица напряжения:
мегапаскаль	ÌÏà	1	ÌÏà = 106 Ïà =
		106 Í/ì2 =1 ÌÍ/ì2 ≈
		≈ 10 êÃ/ñì2
Единица работы:
джоуль	Äæ	1	Äæ = 1 Í·ì ≈ 0,1 ê÷ì
Единицы мощности:
âàòò	Âò	1	Âò = 1 Í·ì/ñ
киловатт	êÂò	1êÂò = 103 Âò
Техническая система единиц (МКГСС)
Килограмм-сила		1 êà ≈ 10 Í
	êÃ
Единица напряжения и давления	êÃ/ñì2	1	êÃ/ñì2 ≈ 105 Í/ì2 ≈
		≈ 0,1 ÌÍ/ì2

110