Сопромат-учебное пособие

1.5. Плоская стержневая система

Стержневой системой называется конструкция (или ее расчетная схема), состоящая из структурных элементов типа стержня. Стержневая система называется плоской, если оси всех составляющих ее стержней расположены в одной плоскости. В этой же плоскости действуют внешние силы и реакции опор.

Для равновесия плоской стержневой системы на нее должны быть наложены три связи, например, с использованием неподвижной и подвижной шарнирных опор. Для стержневой системы, расположенной в плоскости yOz, реакции опор могут быть найдены с использованием трех уравнений равновесия

ΣPy = 0, ΣPz = 0, ΣMA = 0 .

Затем определяют внутренние силовые факторы в стержнях системы. В общем случае в каждом из стержней могут возникать продольная сила N, поперечная сила Q и изгибающий момент M. Поэтому для плоской стержневой системы строят эпюры продольной силы ЭN, поперечной силы ЭQ и изгибающего момента ЭM.

Правила знаков для действующих внутренних силовых факторов определены в соответствующих разделах 1.1 и 1.3.

Пример 5

Для плоской стержневой системы, показанной на рисунке 1.10, нагруженной сосредоточенными внешними силами, построить эпюры внутренних силовых факторов — продольной силы N, поперечной силы Q и изгибающего момента M. Размеры участков стержневой системы и величины действующих сосредоточенных сил приведены в таблице 1.9.

Решение

1. Изображаем реальную схему задачи с учетом длин участков стержневой системы, величин и направлений действующих сил в соответствии с данными таблицы 1.9 и задаемся системой координат yOz (рисунок 1.11, а).

31

P1 P2

l

l1

l2

l

Рисунок 1.10

Таблица 1.9

l1	l2	P1	P2
2l	2l	–3P	P

2. Определяем реакции опор RzA, RyA, RyB, используя уравнения равновесия (рисунок 1.11, б):

ΣPz = −3P + RzA = 0, ΣPy = RyА + RyB − P = 0,

ΣMA = −RyB 2l + 3P 2l + P l = 0.

Решив систему уравнений, получаем значения реакций:

RzA = 3P, RyA = −2,5P, RyB = 3,5P .

3.Стержневая система имеет четыре участка. Для построения эпюр внутренних силовых факторов используем метод сечений. Необходимо определить продольную силу N, попереч- ную силу Q и изгибающий момент M в 8 сечениях, расположенных в начале и в конце каждого из участков (рисунок 1.11, в).

Схемы равновесия отсеченной части, уравнения равновесия и полученные значения внутренних силовых факторов по сечениям приведены в таблице 1.10.

4.По полученным данным с учетом соответствующих правил знаков строим эпюры продольной силы ЭN, поперечной силы ЭQ и изгибающего момента ЭM в стержневой системе (рисунок 1.11, г, д, е).

32

3P		P

l	2l
y		2l
O	z	l
	à
	P
3,5P I	II III	IV
3P		V
		2,5P
	3P	VI
	VIII	VII

â

3P		RyB	P
B l			3
y			2l

O z RyA l

RzA A

á

3P

+

ÝN 2,5P +

3P –

ã

3,5P	2,5P	8,5Pl
		3,5Pl
+
3P	–	ÝM
ÝQ

2,5P

–

2,5Pl

ä

å

Рисунок 1.11

33

Таблица 1.10

Сечение

Схема равновесия отсеченной части, уравнения

равновесия и величины внутренних силовых факторов

3,5P

QI

A

3P

NI

MI

I

ΣP = −3P + NI = 0,

NI = 3P,

z

ΣPy

= 3,5P + QI

= 0,

QI = –3,5P,

ΣMA = MI = 0

MI = 0

3,5P

QII

A

3P

NII

MII

II

ΣP = −3P + NII = 0,

NII = 3P,

z

ΣPy

= 3,5P + QII

= 0,

QII = –3,5P,

ΣMA = −3,5P l + MII

= 0

MII = 3,5Pl

3,5P

P

QIII

A

3P

NIII

III

MIII

ΣPz

= −3P + NIII

= 0,

NIII = 3P,

ΣPy

= 3,5P − P + QIII = 0,

QIII = –2,5P,

ΣMA = −3,5P l + MIII = 0

MIII = 3,5Pl

3,5P

P

QIV

A

3P

NIV

MIV

IV

ΣPz = −3P + NIV = 0,

NIV = 3P,

ΣPy

= 3,5P − P + QIV = 0,

QIV = –2,5P,

ΣMA = −3,5P 3l + P 2l + MIV = 0

MIV = 8,5Pl

34

Продолжение таблицы 1.10

Сечение

Схема равновесия отсеченной части, уравнения

равновесия и величины внутренних силовых факторов

3,5P

P

QV

3P

MV

A

V

NV

ΣPz

= −3P + QV = 0,

NV = –2,5P,

ΣPy

= 3,5P − P + NV = 0,

QV = 3P,

ΣMA = −3,5P 3l + P 2l + MV = 0

MV = 8,5Pl

3,5P

P

3P

MVI

QVI

VI

A

NVI

ΣPz

= −3P+QVI = 0,

NVI = –2,5P,

ΣPy = 3,5P− P+ NVI = 0,

QVI = 3P,

ΣMA = −3,5P 3l +3P 2l + P 2l + MVI = 0

MVI = 2,5Pl

3,5P

P

3P

QVII

VII

A

NVII

MVII

ΣPz

= −3P+ NVII = 0,

NVII = 3P,

ΣPy = 3,5P− P+QVII

= 0,

QVII = –2,5P,

ΣMA = −3,5P 3l +3P 2l + P 2l + MVII = 0

MVII = 2,5Pl

35

	Окончание таблицы 1.10
Сечение	Схема равновесия отсеченной части, уравнения
	равновесия и величины внутренних силовых факторов

3,5P				P
	3P
										QVIII
VIII								A
				NVIII						MVIII
ΣPz = −3P+ NVIII = 0,											NVIII = 3P,
ΣPy = 3,5P− P+QVIII				= 0,							QVIII = –2,5P,
ΣMA = −3,5P 2l + P l +3P 2l + MVIII = 0											MVIII = 0

36

ЧАСТЬ 2

РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ ПРОСТЫХ ВИДАХ НАГРУЖЕНИЯ

2.1. Общие положения

Прочность — это способность элемента конструкции сопротивляться внешним силовым воздействиям, не разрушаясь.

Жесткость — это способность конструкции сохранять исходную форму в заданных (обычно весьма малых) пределах.

Основной задачей расчета конструкции является обеспе- чение ее прочности в условиях эксплуатации. Целью расчета на жесткость обычно является определение таких размеров элементов конструкции, при которых перемещения (деформации) не будут превышать заданных величин, допустимых по условиям нормальной эксплуатации.

Для количественной характеристики способности бруса выдерживать нагрузку с учетом его толщины и материала используют напряжения. Напряжение — это интенсивность внутренних сил в рассматриваемой точке сечения (рисунок 2.1).

Интенсивность нормальных к плоскости сечения внутренних сил в точке сечения называется нормальным напряжением σ, интенсивность касательных сил — касательным напряжением τ. Нормальное и касательное напряжения являются составляющими полного напряжения p:

p = {σ, τ} .

F	F
N	–
	σ
T	–
	τ
R	–
	p
Рисунок 2.1

37

Расчет прочности бруса сводится к определению в нем максимальных напряжений и сравнению их с допускаемыми напряжениями с использованием условий прочности:

σmax ≤ [σ], τmax ≤ [τ] .

Допускаемые напряжения определяют по формулам

[σ] = σпред , [τ] = τпред ,

n n

где n — нормативный коэффициент запаса, назначаемый в зависимости от класса конструкции, срока ее эксплуатации, нагрузки, материала, вида деформации и других технических и экономических факторов.

Âкачестве предельного нормального напряжения σïðåä принимают предел текучести материала σò (для пластичного материала) или предел прочности σâ (для хрупкого материала). Аналогично в качестве предельного касательного напряжения

τïðåä принимают соответственно предел текучести при сдвиге τò или предел прочности τâ.

При расчете конструкций на прочность встречаются три вида задач, различающихся формой использования условия прочности: 1) проверочный расчет; 2) проектный расчет; 3) рас- чет грузоподъемности.

Âслучае проверочного расчета для конструкции, изготовленной из заданного материала и имеющей заданные размеры сечений элементов, при известных внешних нагрузках определяют, выполняется ли условие прочности. В проектном расчете выполняют подбор сечений элементов конструкции. При определении грузоподъемности рассчитывают допускаемую нагрузку на констукцию.

Под воздействием внешних сил реальное тело изменяет свою форму и размеры, т.е. деформируется. Определение вели- чины этих изменений является сутью расчета на жесткость.

Âколичественном виде изменение формы и размеров тела описывают с использованием двух видов перемещений и деформаций — линейных и угловых (рисунок 2.2).

38

y

dy π/2

C

dx

π/2 + γxy

C′ dx + dx

x

Рисунок 2.2

Линейная деформация — это относительное изменение линейного размера отрезка dx (dy) при перемещении точки C в положение С′ после приложения нагрузки:

εx	=	dx	, εy =	dy	.
		dx		dy

Угловая деформация γxy — это изменение первоначально прямого угла между отрезками dx и dy после приложения нагрузки к телу.

Условие жесткости формулируется аналогично условию прочности.

2.2. Растяжение (сжатие) бруса

При расчетах на прочность и жесткость при растяжении (сжатии) необходимо:

1)определить продольную силу N, действующую в стержне, и построить ее эпюру;

2)определить нормальные напряжения σ, действующие в стержне, и построить их эпюру Эσ;

3)с использованием условия прочности для растяжения (сжатия) выполнить проверку прочности или определить допускаемое значение требуемого параметра;

4)для проверки жесткости определить удлинения участков стержня.

Нормальные напряжения в сечении стержня при растяжении (сжатии) определяют по формуле

39

σ= N ,

F

где N — величина продольной силы в сечении; F — площадь сечения.

Если продольная сила и площадь сечения на участке стержня постоянные, то нормальное напряжение на этом участке также будет постоянным по его длине. Если же продольная сила и (или) площадь сечения на участке стержня изменяются по какому-либо закону, то и нормальное напряжение по длине этого участка соответственно будет изменяться.

Условие прочности при растяжении (сжатии) имеет вид

σmax ≤ [σ] ,

ãäå σmax — максимальное нормальное напряжение в стержне; [σ] — допускаемое нормальное напряжение.

С использованием условия прочности (в зависимости от вида расчета на прочность) определяют требуемый параметр: допускаемое значение параметра нагрузки P (Pmax) или допускаемое значение площади сечения F (Fmin).

Удлинение (укорочение) i-го участка стержня рассчитывают по формуле

li = Nili , EFi

при условии, что по длине участка EF = const, где Ni — вели- чина продольной силы на i-м участке стержня; li — длина этого участка; Fi — площадь сечения на этом участке; E — модуль упругости материала стержня, для сталей примерно равный E = 2·105 ÌÏà.

Полное удлинение (укорочение) стержня определяют как сумму удлинений (укорочений) на всех его n участках:

n

l = ∑ li .

i=1

40