Министерство образования Российской Федерации
Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»
(Горный университет)
Расчетно-графическое задание №1 По дисциплине: Сопротивление материалов.
(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)
Тема: Метод начальных параметров.
Вариант № 55
Выполнил: студент гр. ЭРС-12-1 ______________ /Толкачев С. О,/
(подпись) (Ф.И.О.)
ОЦЕНКА: _____________
Дата: __________________
Проверил: Преподаватель: профессор ____________ /Яковлев а.А./
(подпись) (Ф.И.О.)
Санкт-Петербург
2014
Вариант № 55
Дано:
Балка медная
,
диаметр трубчатый, внешний диаметр
,
внутренний диаметр
.
Рассмотрим однопролетную статически - неопределенную балку, нагруженную силой P, моментом М и распределенной силой q.
q 0
М
х
0
Р
Р111
Ср
См
y
Выпишем для неё уравнение упругой линии, удерживая в нем необходимые члены. Из частного решения остаётся:
Уравнение упругой линии имеет вид:
Выпишем 4 граничных условия для балки:
В общем интеграле 2 начальных параметра оказываются равными нулю:
Следовательно уравнение упругой линии (1) будет иметь вид:
Задача будет
считаться решённой, если будут найдены
2 оставшихся начальных параметра
и
.
Эти начальные параметры определяются
из двух граничных условий на правом
конце балки при
.
Найдём первую производную:
вторую производную:
третью производную:
Подставим зависимости
(4) и (5) в граничные условия, при этом
заменим
на
и примем
:
(6)
(7)
,где значки
и
можно
опустить, так как они показывают, что
соответствующий член учитывается при
x
> C,
а в нашем случае
.
Из уравнения (7) получается:
Из уравнения (6) получается:
Подставим значение
и
в уравнение (2) и получим:
Вынесем за скобки члены таким образом, чтобы в выражении в скобках остались безразмерные величины:
Проверим, будут
ли прогибы равны 0 при
и при
.
Для этого подставим в уравнение (10) и
(11) сначала
,
а затем
.
Получим соответственно:
при
:
при
:
Итак, заданные граничные условия выполняются.
Посчитаем значения
осевого момента сечения
и жёсткости балки
:
Подставим данные значения и найденные значения в уравнение (2):
Дифференцируем уравнение (11) три раза:
Подставим выражения
для
и
в
формулы
и
и получим:
По зависимостям
(11), (12), (15), (16) строим эпюры
по длине заданной балки.
q 0
М
0
Р
Р111
Ср
См
y
Таблица значений
от длины балки (x)
с шагом 0,125м :
|
x |
V |
V' |
M |
N |
|
0 |
0 |
0 |
12 |
3 |
|
0,125 |
-0,00001 |
-0,00009 |
12,35168 |
2,62781 |
|
0,25 |
-0,00002 |
-0,00018 |
12,65719 |
2,26125 |
|
0,375 |
-0,00005 |
-0,00028 |
12,91723 |
1,90031 |
|
0,5 |
-0,00009 |
-0,00038 |
13,13250 |
1,54500 |
|
0,625 |
-0,00015 |
-0,00048 |
13,30371 |
1,19531 |
|
0,75 |
-0,00021 |
-0,00058 |
13,43156 |
0,85125 |
|
0,875 |
-0,00029 |
-0,00068 |
13,51676 |
0,51281 |
|
1 |
-0,00038 |
-0,00078 |
13,56000 |
0,18000 |
|
1,125 |
-0,00049 |
-0,00088 |
13,56199 |
-0,14719 |
|
1,25 |
-0,00060 |
-0,00098 |
13,52344 |
-0,46875 |
|
1,375 |
-0,00073 |
-0,00108 |
13,44504 |
-0,78469 |
|
1,5 |
-0,00087 |
-0,00118 |
13,32750 |
-1,09500 |
|
1,625 |
-0,00103 |
-0,00128 |
13,17152 |
-1,39969 |
|
1,75 |
-0,00119 |
-0,00138 |
12,97781 |
-1,69875 |
|
1,875 |
-0,00137 |
-0,00148 |
12,74707 |
-1,99219 |
|
2 |
-0,00156 |
-0,00157 |
12,48000 |
-2,28000 |
|
2,125 |
-0,00177 |
-0,00166 |
12,17730 |
-2,56219 |
|
2,25 |
-0,00198 |
-0,00175 |
11,83969 |
-2,83875 |
|
2,375 |
-0,00220 |
-0,00184 |
11,46785 |
-3,10969 |
|
2,5 |
-0,00244 |
-0,00193 |
11,06250 |
-3,37500 |
|
2,625 |
-0,00269 |
-0,00201 |
10,62434 |
-3,63469 |
|
2,75 |
-0,00294 |
-0,00209 |
10,15406 |
-3,88875 |
|
2,875 |
-0,00321 |
-0,00216 |
9,65238 |
-4,13719 |
|
3 |
-0,00348 |
-0,00223 |
9,12000 |
1,62000 |
|
3,125 |
-0,00376 |
-0,00230 |
9,30762 |
1,38281 |
|
3,25 |
-0,00406 |
-0,00237 |
9,46594 |
1,15125 |
|
3,375 |
-0,00436 |
-0,00244 |
9,59566 |
0,92531 |
|
3,5 |
-0,00467 |
-0,00251 |
9,69750 |
0,70500 |
|
3,625 |
-0,00499 |
-0,00259 |
9,77215 |
0,49031 |
|
3,75 |
-0,00531 |
-0,00266 |
9,82031 |
0,28125 |
|
3,875 |
-0,00565 |
-0,00273 |
9,84270 |
0,07781 |
|
4 |
-0,00600 |
-0,00281 |
9,84000 |
-0,12000 |
|
4,125 |
-0,00635 |
-0,00288 |
9,81293 |
-0,31219 |
|
4,25 |
-0,00672 |
-0,00295 |
9,76219 |
-0,49875 |
|
4,375 |
-0,00709 |
-0,00303 |
9,68848 |
-0,67969 |
|
4,5 |
-0,00747 |
-0,00310 |
9,59250 |
-0,85500 |
|
4,625 |
-0,00786 |
-0,00317 |
9,47496 |
-1,02469 |
|
4,75 |
-0,00827 |
-0,00324 |
9,33656 |
-1,18875 |
|
4,875 |
-0,00867 |
-0,00331 |
9,17801 |
-1,34719 |
|
5 |
-0,00909 |
-0,00338 |
9,00000 |
-1,50000 |
|
5,125 |
-0,00952 |
-0,00344 |
8,80324 |
-1,64719 |
|
5,25 |
-0,00995 |
-0,00351 |
8,58844 |
-1,78875 |
|
5,375 |
-0,01040 |
-0,00357 |
8,35629 |
-1,92469 |
|
5,5 |
-0,01085 |
-0,00363 |
8,10750 |
-2,05500 |
|
5,625 |
-0,01131 |
-0,00369 |
7,84277 |
-2,17969 |
|
5,75 |
-0,01177 |
-0,00375 |
7,56281 |
-2,29875 |
|
5,875 |
-0,01224 |
-0,00381 |
7,26832 |
-2,41219 |
|
6 |
-0,01272 |
-0,00386 |
4,96000 |
-2,52000 |
|
6,125 |
-0,01321 |
-0,00390 |
4,63855 |
-2,62219 |
|
6,25 |
-0,01370 |
-0,00393 |
4,30469 |
-2,71875 |
|
6,375 |
-0,01419 |
-0,00396 |
3,95910 |
-2,80969 |
|
6,5 |
-0,01469 |
-0,00399 |
3,60250 |
-2,89500 |
|
6,625 |
-0,01519 |
-0,00402 |
3,23559 |
-2,97469 |
|
6,75 |
-0,01569 |
-0,00404 |
2,85906 |
-3,04875 |
|
6,875 |
-0,01620 |
-0,00406 |
2,47363 |
-3,11719 |
|
7 |
-0,01671 |
-0,00408 |
2,08000 |
-3,18000 |
|
7,125 |
-0,01722 |
-0,00409 |
1,67887 |
-3,23719 |
|
7,25 |
-0,01773 |
-0,00410 |
1,27094 |
-3,28875 |
|
7,375 |
-0,01824 |
-0,00411 |
0,85691 |
-3,33469 |
|
7,5 |
-0,01875 |
-0,00411 |
0,43750 |
-3,37500 |
|
7,625 |
-0,01927 |
-0,00412 |
0,01340 |
-3,40969 |
|
7,75 |
-0,01978 |
-0,00411 |
-0,41469 |
-3,43875 |
|
7,875 |
-0,02030 |
-0,00411 |
-0,84605 |
-3,46219 |
|
8 |
-0,02081 |
-0,00410 |
-1,28000 |
-3,48000 |
Проверку балки на прочность и жёсткость производим по известным формулам сопротивления материалов, то есть по условиям прочности и жёсткости:
,
где
Значения
,
и
возьмем из таблицы расчетов:
- условие прочности
выполняется
-условие
прочности выполняется
- условие жёсткости
выполняется
Вывод: в данной расчетно-графической работе я решала статически-неопределимую задачу методом начальных параметров; построила эпюры прогиба балки, угла поворота балки, перерезывающей силы и изгибающего момента; проверила балку на выполнение условий прочности и жёсткости.