Построение логических диаграмм базисе и-не (nand-отрицание конъюнкции)
Элемент
И-НЕ (NAND), который изображен на схеме
ниже, соответствует функции f14 из табл.1.2
и имеет обозначение в соответствии со
стандартом США (рис.1.2).
Он описывается следующим булевым выражением
Заметим, что порядок операций в этом выражении соответствует порядку булевых операций в русском названии элемента, то есть сначала выполняется логическое умножение, и лишь затем инвертирование полученного значения сигнала. Поэтому, значок инверсии (кружок) стоит на выходном контакте элемента в обозначении элемента на схеме. Английское название элемента NOT AND , или сокращенно NAND не должно Вас вводить в заблуждение по вопросу порядка выполнения операций "И " и "НЕ".
Данный элемент является универсальным, то есть функционально полным. Это означает, что для любого логического выражения можно построить логическую диаграмму только используя элемент И-НЕ или, как говорят, в базисе И-НЕ. Такое приведение полезно, если Булеву функцию требуется реализовать в виде электрической схемы, то есть в "железе", тогда вся схема будет состоять из однотипных элементов.
Поскольку, мы знаем, что для любое булево выражение может быть построено с использованием основных элементов И, ИЛИ, НЕ, то для доказательства универсальности элемента И-НЕ получим на его основе схемы, реализующие таблицы истинности основных Булевых операций.
Отрицание (логическое НЕ)
с использованием И-НЕ:
Конъюнкция (логическое И)
____
|
X |
Y |
F |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
Дизъюнкция (логическое ИЛИ)
|
X |
Y |
F |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
Следовательно, мы доказали универсальность элемента И-НЕ, так как получили на его основе схемы, реализующие таблицы истинности основных Булевых операций.
Однако, построение схем на основе И-НЕ не сводится к механической замене основных элементов на приведенные выше схемы замещения, так как в этом случае потребуется излишнее количество универсальных элементов.
Для приведения произвольного Булевого выражения к базису И-НЕ используется специальная методика, заключающаяся в последовательном применении законов де Моргана к исходному (после упрощения) выражению.
Пример 4. Выше, в примере 3 мы получили следующее минимальное выражение для заданной таблично Булевой функции f:
.
Требуется построить для f логическую диаграмму в базисе И-НЕ.
Преобразуем выражение, для этого вначале применим двойное инвертирование, а затем нижнее инвертирование преобразуем по де Моргану:
________________________
__________________________
Далее строим логическую диаграмму с конца, то есть справа-налево, размещая вначале в правом углу схеме элемент И-НЕ, соответствующий последней по старшинству операции И-НЕ. Элементу И-НЕ в Булевой формуле соответствует конструкция вида:
Тогда схема устройства в базисе И-НЕ имеет вид:
Построение логических диаграмм базисе или-не (nor-отрицание дизъюнкции).
Элемент
ИЛИ-НЕ (NOR), который изображен на схеме
ниже, соответствует функции f8 из табл.1.2
и имеет обозначение в соответствии со
стандартом США (рис.1.2).
Он описывается следующим булевым выражением
Данный элемент также является универсальным , то есть функционально полным. Это означает, что для любого логического выражения можно построить логическую диаграмму только используюя элемент ИЛИ-НЕ.
Для приведения произвольного Булевого выражения к базису ИЛИ-НЕ используется специальная методика, заключающаяся в последовательном применении законов де Моргана к исходному (после упрощения) выражению подобно тому, как это делалось при приведении к базису И-НЕ, только законы де Моргана применяются в противоположном направлении.