Оптимизатор 6 - 9

6.2.4Закладка Монитор

На закладке Монитор выводятся значения целевой функции, варьируемых переменных и функций-ограничений в процессе оптимизации. Новая информация появляется в окне только в том случае, если в результате шага оптимизации получено улучшение значения целевой функции. Значения ограничений положительны, если ограничения неравенств выполняются, и отрицательны, если не выполняются.

Закладка доступна лишь в случае, когда выбран вариант конфигурации По умолчанию.

6.2.5Методы оптимизации

В следующих разделах приведены описания различных методов оптимизации при выборе варианта расчета По умолчанию.

Задание функций

Программа оптимизации меняет значения варьируемых переменных для того, чтобы минимизировать или максимизировать значение заданной пользователем целевой функции, которое может зависеть от произвольного числа технологических переменных.

	min f (x1, x2 , x3 ,..., xn )	(6.2)
где:	x1,x2, . . . xn - технологические переменные.

Как правило варьируемые переменные не входят непосредственно в целевую функцию.

6 - 10 Оптимизатор

Варьируемая переменная x0 изменяется в заданном диапазоне:

xioLowerBound < xio < xioUpperBound с

i = 1,..., j

(6.3)

где xi - технологические переменные, используемые для задания целевой функции

xio - варьируемые переменные, значения которых меняются программой оптимизации

yi - переменные, используемые для задания функций-ограничений

ив области, определяемой ограничениями-неравенствами:

ci (y1 , y 2 , y 3 ,... , yn ) = 0,		i = 1, ... , m1
ci (y1 , y 2 , y 3 ,... , yn ) ≤ 0,	с	i = m1 + 1, ... , m2	(6.4)
ci (y1 , y 2 , y 3 ,... , yn ) ≥ 0,		i = m2 + 1, ... , m

f - целевая функция, n - общее количество варьируемых переменных, и m - общее количество ограничений. Как правило, функции-ограничения не должны содержать первичных варьируемых переменных.

Все варьируемые переменные масштабируются таким образом, что их изменение происходит в интервале от 0 до 1. Масштабирование производится на основе значений верхней и нижней границы их изменений. Поэтому следует задавать разумные значения верхней и нижней границ изменения переменной. Избегайте задания слишком малых и слишком больших величин для границ, поскольку это может привести к сложностям при масштабировании. Должна быть задана начальная точка поиска, эта точка должна находиться в реализуемой области, т.е. в области, удовлетворяющей всем ограничениям. Задание функций-ограничений не является обязательным. Не все методы оптимизации могут работать с функциями-ограничениями.

Рекомендуется вручную перебрать несколько значений варьируемых переменных для того, чтобы иметь представление о возможных границах их изменений.

Если ХАЙСИС не сможет рассчитать целевую функцию или одну из функций-ограничений, алгоритм оптимизации вернется на предыдущую итерацию, и значение шага будет уменьшено вдвое. Если и при этом не удастся рассчитать схему, оптимизационный алгоритм останавливается.

Предполагается, что оптимизатор ищет минимум целевой функции. Если необходим поиск максимума, выберите селективную кнопку Maксимум на закладке Функции. Для оптимизационного алгоритма это означает изменение знака функции.

Метод Бокса

Алгоритм в основном базируется на комплексном методе Бокса (1), симплексном методе спуска Пресса и др. (2) и методе BOX Кюстнера и Миза

(3).

Метод Бокса работает только с ограничениями типа неравенств.

Метод представляет собой последовательный алгоритм поиска, применяемый для решения задач с нелинейными функциями и нелинейными ограничениями типа неравенств. Не требуется вычисления производных. Можно использовать ограничения вида неравенств, ограничения типа равенств не допустимы. Этот метод не является эффективным с точки зрения требуемого числа расчета функции. Как правило, он требует большего числа итераций для достижения решения. Однако, если этот метод оказывается применимым, он является весьма надежным.

Оптимизатор 6 - 11

Основные этапы метода:

1На основе заданной начальной точки программа организует геометрический комплекс с n+1 вершиной, внутри которого находится начальная точка.

2В каждой из вершин рассчитывается целевая функция. Точка, которой соответствует самое худшее значение функции, симметрично отображается относительно противоположной ей грани.

3Если полученная таким образом новая точка имеет лучшее значение целевой функции, делается попытка экстраполировать решение в том же направлении. В противном случае производится одномерная интерполяция.

4Если таким образом не удается найти лучшей точки, симплекс сжимается вокруг точки, которая была лучшей на предыдущей итерации.

5Новое значение должно находиться в заданных пределах и удовлетворять функциям-ограничениям вида неравенств. Если она выходит за пределы, она помещается на соответствующую границу, если она нарушает уравнение вида неравенств, она шаг за шагом передвигается таким образом, чтобы уравнения вида неравенств оказались выполненными.

6Шаги со 2 по 5 повторяются до тех пор, пока не будет достигнута сходимость.

Метод последовательного квадратичного программирования SQR

Метод SQP может работать с функциями-ограничениями вида равенств и неравенств.

Многие считают, что метод SQP является наиболее эффективным методом минимизации при наличии общих линейных и нелинейных ограничений при условии, что для начальной точки поиска задано разумное значение и число варьируемых переменных не велико.

Заложенная процедура в целом основана на подпрограмме пакета Харвел VF13 и VE17 (4). Программа следует алгоритму Пауэла (5).

Она минимизирует квадратичную аппроксимацию функции Лагранжа, построенную для целевой функции с линейными аппроксимациями функцийограничений. Матрица вторых производных функции Лагранжа рассчитывается автоматически. Для ускорения сходимости используются метод "вочдог" одномерного поиска (Чемберлен и Пауэл, 6).

Смешанный метод

Этот метод объединяет преимущества глобальной сходимости метода Бокса и эффективности метода SQP. Процесс оптимизации начинается с метода Бокса, который использует весьма невысокие требования на точность сходимости (заданный допуск увеличивается в 50 раз). После сходимости метода Бокса используется метод SQP, который и находит оптимальную точку с требуемой точностью.

Смешанный метод может работать только с ограничениями вида неравенств.

6 - 12 Оптимизатор

Метод Флетчера-Ривса

Используется модификация Полака-Риберы градиентного метода ФлетчераРивса. Алгоритм в основном следует работе Пресса (2) с некоторыми модификациями, которые позволяют задавать верхние и нижние границы на переменные. Метод весьма эффективен для общей минимизации без ограничений. Метод, используемый для одномерного поиска, можно найти в ссылке 2.

Метод Флетчера-Ривса (сопряженных градиентов) не работает с ограничениями.

Процедура:

1В заданной начальной точке рассчитываются производные целевой функции по варьируемым переменным.

2Рассчитывается новое направление поиска как сопряженное старому градиенту.

3Проводится одномерный поиск оптимума по выбранному направлению до тех пор, пока не будет достигнут локальный минимум.

4Если переменные вышли за заданные границы, их значения устанавливаются на границах.

5Шаги с 1 по 4 повторяются до достижения сходимости.

Квази-Ньютоновский метод

Квази-Ньютоновский метод Бройдена-Флетчера-Голдфарба-Шанно (BFGS) выполнен в соответствии с работой Пресса и др. (2). С точки зрения его применимости и ограничений метод аналогичен методу Флетчера-Ривса. Новое направление поиска рассчитывается на основе аппроксимации обращенной матрицы Гесса.

Этот метод не работает с ограничениями.

Метод	Задачи без	Задачи с огранич.	Задачи с огранич.	Расчет
	ограничений	типа неравенств:	типа равенств	производных
БОКС	X	X
Смешанный	X	X		X
SQP	X	X	X	X
Флетчера-Ривса	X			X
Квази-Ньютон	X			X

6.2.6Некоторые полезные советы

1Весьма важно задавать разумные значения для верхних и нижних границ изменения переменных. Это важно не только потому, что плохие значения могут вывести технологические переменные за разумные пределы (например, можно получить перекрещивание температурных кривых в теплообменнике), но также и потому, что переменные масштабируются на интервал 0 - 1 в соответствии с заданными максимальными и минимальными значениями.

2Для метода Бокса и смешанного метода максимальное изменение варьируемой переменной на одной итерации следует уменьшить. Величина 0.05 или 0.1 является более предпочтительной.

3Смешанный метод обычно требует наименьшего количества вычисления функции (т.е. является наиболее эффективным).