1.11.3. Интервал

В обычном пространстве расстояние между двумя точками с координатамиx_i, у₁,z₁ иx₂, у₂,z₂. определяется выражением

,

где x =x₂ ‑x₁ и т. д. Это расстояние не зависит от выбора системы координат, т. е. является инвариантом. При переходе к другой координатной системе изменяются, вообще говоря, величиныx,y иz, однако эти изменения таковы, что расстояниеостается одним и тем же.

Казалось бы, что расстояние (или, как принято говорить, интервал) между двумя мировыми точками в четырехмерном пространстве-времени должно определяться аналогичным выражением

,

где t =t₂ ‑t₁ и т. д. Однако это выражение непригодно в качестве интервала, поскольку оно не является инвариантом — при переходе к другой инерциальной системе отсчета числовое значение этого выражения изменяется. Инвариантным, как мы покажем, является выражение

,

которое называют интерваломмежду событиями. Величинаs является аналогом расстояниямежду точками в обычном пространстве.

Причина того, что интервал определяется не выражением …………. , а выражением …………, заключается в том, что, как говорят, метрика пространства-времени отличается от метрики обычного трехмерного пространства. В обычном пространстве справедлива евклидова геометрия, вследствие чего его называютевклидовым. Качественное различие между временем и пространством приводит к тому, что в выражение для интервала квадрат временной координаты и квадраты пространственных координат входят с разными знаками. Пространство, в котором расстояние между точками определяется выражением вида, называется псевдоевклидовым. Его можно написать в виде

,

где — расстояние между точками обычного пространства, в которых произошли данные события.

Допустим, что рассматриваются события, происходящие с одной и той же частицей. Тогда отношение /t дает скорость частицыv. Поэтому, вынеся из-под корняct, получим, что

.

Мы получили выражение . Оно равноτ — промежутку собственного времени частицы между событиями. Таким образом, мы приходим к соотношению

s =c·τ.

Поскольку c — константа, аτ—инвариант, интервалs также оказывается инвариантом. Убедиться в инвариантности интервала можно еще одним способом……..

1.11.4. Преобразование и сложение скоростей.

Компоненты скорости частицы v в системе K определяются выражениями

В системе K' компоненты скорости v той же частицы равны

Найдем формулы, связывающие нештрихованные компоненты скорости со штрихованными.

.

.=

.

Окончательно получим

Аналогично

1.11.5. Релятивистский импульс.

Выражение, обеспечивающее инвариантность закона сохранения импульса, может быть получено, если вместо времени t подставить собственное время τ.

Тогда .

1.11.6. Релятивистское выражение для энергии.

В релятивистской механике справедливым остается выражение

.

Это означает, что . Откуда видно, что сила не является инвариантной величиной. Кроме того, силаF и ускорениеa не коллениарны.

Легко получить выражение для кинетической энергии. Поскольку

dE_k =dA иdE_k =v·p·dt,dA =F·ds

.

Отсюда следует, что E₀ =mc² является энергией покоя. Энергия и импульс в релятивистской механике не сохраняются. Инвариантом является выражение:

Взаимосвязь массы и энергии. Границы применимости механики Ньютона.

Глава 2. Молекулярная физика и термодинамика.

Введение.

В отличие от механики, которая изучает движение отдельных частиц или тел под действием различных сил, молекулярная физика имеет дело со свойствами вещества. Как показывает опыт, всякое вещество состоит из большого числа отдельных микроскопических частиц — атомов и молекул, которые взаимодействуют между собой и находятся в непрестанном движении. Такая система частиц называется макроскопической.

Можно выделить три наиболее характерных состояния, в которых может находиться вещество, — твердое, жидкое и газообразное. Свойство тела находиться в одном из этих состояний есть его макроскопическое свойство, не зависящее от свойств отдельных частиц, образующих тело. Например, железо может существовать в кристаллическом состоянии (в виде твердого тела) или пребывать в расплавленном состоянии (в виде жидкости), или испаряться в виде газа, хотя при переходе из одного состояния в другое с самими атомами железа не происходит никаких изменений. Макроскопическими являются также свойства вещества по отношению к внешним воздействиям, например, сжимаемость. Другими словами, макроскопические свойства — это свойства тела, рассматриваемые без учета его внутренней структуры. Задача молекулярной физики — объяснение и изучение макроскопических свойств вещества исходя из известных микроскопических взаимодействий между отдельными составляющими его частицами. Простейшее взаимодействие между частицами — обычное механическое столкновение, но взаимодействия могут быть и более сложными.

С этой точки зрения рассмотрим существование твердого, жидкого и газообразного состояний. Из механики известно, что положение частицы в пространстве характеризуется ее потенциальной энергией U(r), минимум которой отвечает положению устойчивого равновесия. Величина ее кинетической энергииT служит мерой движения частицы. Таким образом, в зависимости от соотношения между величинами потенциальной и кинетической энергий частица будет или «привязана» к определенной области пространства, или совершать свободное движение.

На рис. изображена характерная кривая потенциальной энергии частицы во внешнем поле центра притяжения, имеющая глубокий минимум в точке r₀. Эта кривая отвечает взаимодействию частицы с полем, которое приводит к притяжению частицы на больших расстояниях (r >r₀) и к отталкиванию на малых (r <r₀). Двумя прямыми изображены возможные значения полной энергии частицыE=T+U. В первом случае |U| >>T, и частица не может покинуть «потенциальную яму» — эта ситуация отвечает случаю твердого тела. Во втором случае, когдаT>> |U|, частица свободно покидает яму — имеет место случай газа частиц. Промежуточный случай отвечает жидкости.

В макроскопической системе все частицы одинаковы, ни одна из них не является выделенной, и все сказанное может относиться к любой из них. С другой стороны, и потенциальная, и кинетическая энергии частиц в большой системе имеют не произвольные значения, а зависят, благодаря взаимодействию между частицами, от энергии всей системы в целом, которая, в свою очередь, определяется внешними условиями. В результате наибольшая часть частиц в макроскопической системе имеет близкие значения как потенциальной, так и кинетической энергии, поэтому вся система частиц и оказывается в одном из макроскопических состояний.

Таким образом, система большого числа частиц, образующая макроскопическое тело; благодаря взаимодействию между частицами, обнаруживает качественно новые свойства по сравнению с механической системой конечного числа частиц. Поскольку в формировании этих свойств участвуют одновременно все частицы большой системы, для их описания уже недостаточно знания характеристик какой‑либо отдельной частицы. Макроскопические свойства тела определяются суммарными и усредненными по большому числу частиц величинами. Такой способ описания является статистическим, а вычисляемые макроскопические характеристики системы называются термодинамическими переменными. Задание термодинамических переменных полностью определяет состояние системы. Пользуясь термодинамическими переменными, можно изучать процессы передачи и преобразования энергии в физических объектах, не обращаясь к микроскопической картине. Статистический и термодинамический методы — основа для изучения явлений и процессов, происходящих в системах, состоящих из большого числа частиц.

Из всего сказанного следует: несмотря на то что каждая отдельная частица подчиняется законам механики, поведение системы большого числа частиц уже не может быть описано законами механики, а подчиняется законам статистической физики и термодинамики. Возникает вопрос: насколько большим должно быть число частиц в системе, чтобы ее описание с помощью законов механики становилось уже недостаточным и система частиц проявляла бы макроскопические свойства. Для ответа на этот вопрос следует вспомнить, что говорить о существовании каких-либо физических свойств вещества можно лишь тогда, когда существует какой-либо способ их измерения. Иными словами, необходимо указать прибор, с помощью которого можно было бы произвести измерения соответствующих свойств. Процесс измерения представляет собой взаимодействие прибора с макроскопическим телом, и поэтому в процессе измерения все параметры системы изменяются на величину порядка энергии этого взаимодействия. Очевидно, что о макроскопических свойствах системы частиц можно говорить лишь в том случае, если взаимодействие мало изменяет состояние всей системы, так что средние значения всех физических величин в системе при измерении остаются практически неизменными. Если это требование выполняется, систему частиц можно считать большой. При этом точное значение числа частиц в системе не имеет никакого значения точно так же, как и характеристики отдельной частицы. Важно только, что это число частиц велико в указанном выше смысле. В реальных макроскопических телах числа частиц огромны — они составляют величину порядка 10²⁰частиц на 1 см³.