П13_14

Одношаговые методы решения ОДУ

Неявный метод второго порядка:

y

= y

+

h

[ f (x

, y

) + f (x

, y

)]

i +1

i

i

i +1

i +1

2

i

Метод предиктор–корректор:

~ =	yi	+	h	f	(	xi , yi	)	«предсказываем»
y		2

yi +1 = yi	~	«исправляем»
	+ h f (xi +1 2 , y )
где	xi +1 2 = xi + h / 2

11

Одношаговые методы решения ОДУ

МЕТОДЫ РУНГЕ-КУТТЫ

Многоэтапные методы повышенного порядка точности

«Этап» - вычисление правой части уравнения

k1 = f (xi , yi )				k2 = f (xi + α 2 h, yi + β 21k1h )
k3	= f (xi + α 3h, yi				+ β 31k1h + β 32 k2 h )
…………………………………………….
						n −1
kn	=		+	α n h, yi	+
		f xi				∑βnj k j h
				n		j =1
		yi +1 = yi + h∑c j k j
αn, βnj, cn,				j =1
	– параметры, которые подбирают так,

чтобы метод был как можно более точным 12

ПРИМЕРЫ МЕТОДОВ РУНГЕ-КУТТЫ

Двухэтапный метод (второго порядка точности)

i

= f (x i

y i ),

i

h

h

i

k

,

k

2

=

f x i

+

, y i

+

k

1

2

2

1

y

i

+1

= y

i

+ hk i

,

i = 0 , 1, 2 ,...

2

Трехэтапный метод (третьего порядка точности)

k1= f (xi ,yi ), k2= f (xi+h/ 2,yi+hk1/ 2), k3 = f (xi+h,yi -hk1+2hk2 )

yi +1 = yi + h (k1 + 4k2 + k3 ), i = 0,1, 2,...

6

Четырехэтапный метод (четвертого порядка точности)

	k1= f (xi ,yi ), k2= f (xi+h/ 2,yi+hk1 / 2),
k3 = f (xx+h/ 2,yi+hk2 / 2),				k4 = f (xi+h,yi+hk3 ),
yi +1	= yi +	h	(k1 + 2k2 +	2k3 + k4 ), i = 0,1, 2,...	13
		6

Пример 1: решение в MathCAD

Метод предиктор-корректор

50

40

v 30

u( t) 20

10

0

2

4

6

8

10

12

z , t

z := pr_corr(1, 10, 10, 1, f) 0

v := pr_corr(1, 10, 10, 1, f) 1

Пример 1: решение в MathCAD

Трехэтапный метод Рунге-Кутты

ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА ЭЙЛЕРА НА СИСТЕМУ ОДУ

	dy j			(		)				Все условия
		=	f j		x, y1		j	=	1, 2,..., n	заданы в
	dx					, y2 ,..., yn ,				одной точке!
y j (x) − искомые						функции,		y j ( x0 ) = y 0j		начальные условия

ЗАДАЧА КОШИ → ИСПОЛЬЗУЕМ МЕТОД ЭЙЛЕРА

ПРИМЕР: Система 2х ОДУ первого порядка:

y′ = f ( x, y, z)				.
	,	x [a, b]; y(a) = y 0 ,
z′ = g (x, y, z)
Обобщение метода Эйлера:
Реализация:
	y =y0, z		0	=z0,
	0

yi+1=yi+h f(xi , yi ,zi),

z(a) = z 0

yi +1 − yi = f (xi , yi , zi ), h

zi +1 − zi = g (xi , yi , zi ). h

zi+1=zi+h g(xi, yi, zi). i=0, 1,..., M-1.	16

ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДОВ РУНГЕ-КУТТЫ НА СИСТЕМУ ОДУ

Система 2х ОДУ первого порядка:

y′ = f (x, y, z)	, x [a, b]; y(a) = y 0 , z(a) = z 0
z′ = g (x, y, z)

Обобщение двухэтапного метода Рунге-Кутты:

			.
k1 = f (xi , yi , zi ),			l1 = g (xi , yi , zi ),
k2 = f (xi + h, yi + hk1 , zi + hl1 ),
l2 = g (xi + h, yi + hk1 , zi + hl1 )
y	= y + h	k1 + k2	, z		= z		+ h	l1 + l2	.
				i +1		i
i +1	i	2					2
										17

УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА:

y′′ + p(t) y′ + q(t ) y = r(t ), t [a, b]

2 дополнительных условия на функцию y заданы в одной точке x=a

	0	′	0	- начальные данные
y(a) = y ,
		y (a) = z
Задача Коши с помощью замены: z(t)=y′(t), z′(t)=y′′(t)
			.
сводится к системе 2х ОДУ первого порядка:
y′ = f (t, y, z) ≡ z
z′ = g (t, y, z) ≡ − p(t )z − q(t ) y				− r (t )
y(t), z(t) – искомые функции;
f ( t, y, z ), g (t ,y ,z) –функции правых частей;
y0, z0– начальные данные				18

ПРИМЕР 2. Постановка задачи

Задача Коши для ОДУ 2 порядка

d 2u

+ 2

du

+ u(x) = x, u(0) = 1,

du

(0) = 0

dx 2

dx

dx

Точное решение

u(x) := 3 e− x + 2 x e− x + x − 2

Проверка точного решения

Подставляем в

d2

d

u(x) + 2

u(x) + u(x) − x → 0

dx2

уравнение

dx

Подставляем в	u(0)	= 1 x := 0	d	u(x) → 0
начальные
			dx

данные

ПРИМЕР 2. Решение методом Эйлера

Приводим к системе 2х ОДУ. Правые части:

F(x, y , z) := z G(x, y , z) := x − 2 z − y

Решаем систему методом Эйлера

y	1

u( t)

0.9

0.8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

x, t

x := euler(0, 1, 10, 1, 0, F, G) 0

y := euler(0, 1, 10, 1, 0, F, G) 1