РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ

При разработке методов приближенного решения необходимо, чтобы приближенные решения сохраняли все свойства исходного уравнения. Уравнение допускает разрывные решения. Разрыв может формироваться в начальный момент из-за несогласованности начальных данных и краевых условий на прилегающей границе Если начальные данные содержат разрыв, то он будет «переноситься» по характеристике:

а

ПЕРВОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Способность разностной схемы воспроизводить разрывные решения называется К-свойством. Для исследования используется метод

первого дифференциального приближения (ПДП)

un 1

un

un un

ПДП явной схемы «против потока»

j

j

C

j

j 1

0

h

Разложим решение в ряд Тейлора в окрестности точки (tn, xj):

n 1

n

2

h2

u j

u j

ut

2 utt ; unj 1 u nj h ux 2 uxx

ut

h

Г-форма ПДП:

2

utt C ux

2

uxx 0

Преобразуем выражение, используя исходное уравнение:

ut Cux ; utt

Cuxt

C(ut )x C2uxx ,

П-форма ПДП:

u

C2u

Cu

Ch u

0

t

2

xx

x

2

xx

СХЕМНАЯ ВЯЗКОСТЬ

Ch C

ut Cux uxx

Обозначим

1

2

h

. Получили:

В правой части - вторая производная (вязкость, диффузия)



r

C

1 , положительная вязкость, схема «размазывает» разрывы

h



r

C

1, вязкость =0, разрывные решения воспроизводятся точно

h



r

C

1 ,

вязкость

отрицательна. Задача некорректна. Любое

h

решение с начальными данными при t = 0 разрушается за несколько

временных шагов

Ch

C

ut Cux

ПДП неявной схемы

2

1

uxx

,

h

При любом числе Куранта положительная схемная вязкость.

Обеспечивает абсолютную устойчивость,

Разрывы размазываются

ПДП СИММЕТРИЧНОЙ СХЕМЫ

Разложение в окрестности точки ( tn 1/2 , xj 1/ 2 )

unj 1 unj 11

2

3

un

un 1

2

3

unj 1/1

2 unj 1/1/22

ut

utt

uttt ,

j

j

1

unj 1/ 2 unj 1/1/22

ut

utt

uttt ,

2

2

8

48

2

2

8

48

unj 1 unj

unj 1/ 2

unj 1/1/22

h ux h2

uxx

h3

uxxx ,

unj 11 unj 1

unj 11/ 2

unj 1/1/22 h ux

h2

uxx

h3

uxxx

2

2

2

8

48

2

8

48

un 1

un 1

un

un

un 1 un (un 1

un

)

0

Подставим в схему:

j

j 1

j

j 1 C

j

j

j 1

j 1

2

2h

u

u

2

3

u u

u

2

u

3

u

8

u

48

2

8

48

2 t

tt

ttt

t

tt

ttt

h

h2

h3

h

h2

h3

u

u

x

u

xx

u

xxx

u

u

x

u

xx

u

xxx

C

2

8

48

2

8

48

0 .

h

Г-форма ПДП:

u

Cu

C3 2

u

Ch2

u

0

,

t

x

24

ttt

24

xxx

ЧИСЛЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ

		2		2 2
П-форма ПДП:	ut Cux Ch			C	1 uxxx 0
				r2
	24

ПДП схем второго порядка аппроксимации не содержит схемную вязкость

Появился член с третьей производной по пространству

Физический смысл: численная дисперсия

Зависимость скорости распространения ( ) гармоники eikx t от длины волны (k)

В зависимости от знака дисперсии высокочастотные гармоники убегают вперед или отстают от низкочастотных

Численное решение распадется на несколько отдельных возмущений, двигающихся с различными скоростями

Численная дисперсия приводит к появлению мелких высокочастотных возмущений впереди или за разрывами решения