УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Задачи описания движения сплошных сред, теплопроводности, теории упругости, электрических и магнитных полей и др. приводят к дифференциальным уравнениям

Независимые переменные: время t и пространственные координаты x, y, z.

Зависимые переменные: компоненты скорости частиц среды, плотность, давление, температура, упругие напряжения, деформации и др. характеристики.

Пусть требуется найти решение на временном промежутке [t0, t1] в некоторой области изменения независимых переменных G(x, y, z).

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ:

Дифференциальное уравнение (Система дифференциальных уравнений),

Дополнительные условия, позволяющие выделить единственное решение

НАЧАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ

Условия, заданные при t = t0, называются начальными данными

Условия, заданные на границе области G(x, y, z), – граничные или краевые условия В качестве начальных и краевых условий задают значения искомых функций и их производных.

Задачи, у которых имеются только начальные условия, называются задачей Коши. Задачи с начальными данными и граничными условиями называют смешанной краевой задачей или нестационарной краевой задачей.

Установившиеся или стационарные, т.е. не зависящих от времени процессы: уравнения не зависят от времени.

Решение ищется в области G(x, y, z), на границе которой задаются граничные условия. Такие задачи называются краевыми.

УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Многие физические задачи приводят к решению уравнений второго порядка:

Autt Butx Cuxx Dut Eux F.

u(t, x) – искомая функция, t, x – независимые переменные, A, B, C, D, E и F – коэффициенты уравнения (могут зависеть от t, x и u)

Если все коэффициенты являются константами, то это линейное уравнение с

постоянными коэффициентами

Если коэффициенты зависят не только от искомых функций, но и от ее производных, уравнение будет нелинейным.

Если A, B, С =0, D 0 и E 0, то уравнение имеет первый порядок и называется

уравнением переноса (адвекции)

Если хотя бы один из коэффициентов A, B, С отличен от нуля, уравнение имеет второй порядок

КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 2 ПОРЯДКА

Аналогично кривым второго порядка

Связано с наличием характеристик: особых направлений, вдоль которых исходное уравнение может быть записано в виде полного дифференциала

	dx		B	B 2 4 AC
Уравнение характеристик dt				2 A	.

Количество характеристик зависит от знака дискриминанта D=B2 – 4AC

D>0: 2 характеристики, гиперболический тип

D=0: 1 характеристика, параболический тип

D<0: вещественных характеристик нет, эллиптический тип

Физические процессы, описываемые уравнениями перечисленных типов, корректные постановки начально-краевых задач и свойства решений существенно отличаются друг от друга.