2 семестр / ПОСОБИЕ_ВычМат
.pdf
71
5.9 Вычисление интегралов средствами MachCAD
Система MathCAD содержит встроенную функцию для вычисления значений определенных интегралов приближенным численным методом. Ею целесообразно пользоваться, когда надо получить значение определенного интеграла в виде числа.
В системе MachCAD выполните следующие действия:
ó
ô d
1. Щелкните по кнопке õ
в панели инструментов Calculus;
2.Введите в помеченных позициях выражение для функции, имя переменной и пределы интегрирования;
3.Введите знак равенства;
4.Получите результат
π
ó 2
ô
ô cos(x) dx = 1
õ0
Задания к данной теме приведены в приложении Д.
72
6 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
6.1 Задача Коши |
|
Требуется найти функцию Y=Y(x), удовлетворяющую уравнению |
|
Y′=f(x,Y), |
(1) |
и принимающую при x=x0 заданное значение Y0: |
|
Y(x0)=Y0,. |
(2) |
При этом будем для определенности считать, что решение нужно получить для значений x>x0.
Теорема Коши. Если правая часть f(x,y) уравнения y′=f(x,y) и ее частная производная f′y(x,y) определены и непрерывны в некоторой области G изменения переменных x, y, то для всякой внутренней точки (x0, y0) этой области данное уравнение имеет единственное решение, принимающее заданное значение y=y0 при x=x0.
Согласно теореме Коши решение Y(x) задачи (1), (2) существует и единственно.
Методы решения задачи (1), (2) распространяются на случай систем уравнений вида (1), а к ним в свою очередь можно привести также уравнения высших порядков. Например, уравнение
Z′′=ϕ(Z′,Z,x)
можно записать в виде системы уравнений относительно функции Y1,Y2:
Y′1=ϕ(Y1,Y2,x). |
(3) |
Y′2=Y1,
где Y1=Z′, Y2=Z.
6.2 Метод Рунге-Кутта для решения дифференциальных уравнений
Метод Рунге-Кутта для решения задачи Коши используют для вычисления значения yi+1 (i=0, 1, …), значения yi , а также значения функции f(x,y) при некоторых специальным образом выбираемых значениях x [xi, xi+1] и y.
Широко распространен метод Рунге-Кутта четвертого порядка:
yI+1 = yi + |
h |
(f1 + 2f2 + 2f3 + f4), |
(4) |
|
|
||||
|
6 |
|
|
|
где |
|
|
|
|
f1 |
= f(xi, yi), |
|
||
f2 |
= f(xi + h/2, yi + hf1/2), |
(5) |
||
73
f3 = f(xi + h/2, yi + hf2/2), f4 = f(xi + h, yi + hf3).
Таким образом, данный метод Рунге-Кутта требует на каждом шагу четырехкратного вычисления правой части f(x,Y) уравнения (1). Суммарная погрешность этого метода есть величина O(h4).
Метод Рунге-Кутта требует большого объема вычислений, но обеспечивает повышенную точность, что дает возможность проводить счет с большим шагом.
6.3 Алгоритм решения задачи Коши методом Рунге-Кутта
1. Задать начальные условия: x0= α, y |x 0 = y0, шаг интегрирования h , конец интервала интегрирования β.
2.Организовать цикл интегрирования.
2.1Вычислить значения f1, f2, f3, f4.
2.2Вычислить y = y0 + h(f1 + 2f2 + 2f3 + f4)/6.
2.3Увеличить значение x на h, т. е. x = x + h.
2.4Вывод текущих значений x, y.
2.5Установить значение y0 = y.
3.Конец цикла интегрирования: условие завершения x > β.
4.Конец вычислений.
Пример. Составить алгоритм и программу решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка y′ - y * ctgx = sinx, y |x=π/2 = 0 на равномерной сетке отрезка [π/2,π/2+1] с шагом h, вводимым с клавиатуры, классическим методом Рунге-Кутта. Сравнить численное решение с точным
æ |
p ö |
|
ϕ(x)=ç x - |
2 |
÷ sinx. |
è |
ø |
|
Вычисления выполнить по формулам (5)-(6).
6.4 Программа на языке Turbo Pascal для решения задачи Коши методом Рунге-Кутта
program Runge_Kutta; uses crt;
function f(x,y:real):real; {функция вычисления первой производной} begin
f:= sin(x)+y*cos(x)/sin(x); end;
function ft(x,y:real):real; {функция вычисления точного значения} begin
74
ft:=(x-pi/2)*sin(x); end;
const h=1E-1; var
x,y,y0,f1,f2,f3,f4,b,rh,r : real; begin
clrscr; {очистить экран}
x:=pi/2; y0:=0; {задать начальные условия} b:=x+1; {определить конец интервала}
repeat
{вычислить коэффициенты Рунге-Кутта} f1:=f(x,y0);
f2:=f(x+h/2,y0+h*f1/2);
f3:=f(x+h/2,y0+h*f2/2);
f4:=f(x+h,y0+h*f3);
{вычислить новые значения аргумента и функции} x:=x+h;
y:=y0+h*(f1+2*f2+2*f3+f4)/6; {печать результатов}
writeln('x=',x:10:6,' y=',y:10:6,' точное значение =',ft(x,y):10:6); y0:=y;
until x>b;
readkey;{задержка выполнения программы до нажатия клавиши} end.
6.5 Решение задачи Коши методом Рунге-Кутта средствами MS Excel
Формулы для решения задачи Коши:
|
A |
B |
C |
D |
1 |
X0 |
Y0 |
h |
f1 |
2 |
=ПИ()/2 |
0 |
0,1 |
=SIN(A2)+B2*COS(A2)/SIN(A2) |
3 |
|
|
|
=SIN(I2)+H2*COS(I2)/SIN(I2) |
4 |
|
|
|
=SIN(I3)+H3*COS(I3)/SIN(I3) |
5 |
|
|
|
=SIN(I4)+H4*COS(I4)/SIN(I4) |
6 |
|
|
|
=SIN(I5)+H5*COS(I5)/SIN(I5) |
7 |
|
|
|
=SIN(I6)+H6*COS(I6)/SIN(I6) |
8 |
|
|
|
=SIN(I7)+H7*COS(I7)/SIN(I7) |
9 |
|
|
|
=SIN(I8)+H8*COS(I8)/SIN(I8) |
10 |
|
|
|
=SIN(I9)+H9*COS(I9)/SIN(I9) |
11 |
|
|
|
=SIN(I10)+H10*COS(I10)/SIN(I10) |
12 |
|
|
|
=SIN(I11)+H11*COS(I11)/SIN(I11) |
|
75 |
|
|
|
E |
1 |
f2 |
2 |
=SIN(A2+$C$2/2)+(B2+$C$2*D2/2)*COS(A2+$C$2/2)/SIN(A2+$C$2/2) |
3 |
=SIN(I2+$C$2/2)+(H2+$C$2*D3/2)*COS(I2+$C$2/2)/SIN(I2+$C$2/2) |
4 |
=SIN(I3+$C$2/2)+(H3+$C$2*D4/2)*COS(I3+$C$2/2)/SIN(I3+$C$2/2) |
5 |
=SIN(I4+$C$2/2)+(H4+$C$2*D5/2)*COS(I4+$C$2/2)/SIN(I4+$C$2/2) |
6 |
=SIN(I5+$C$2/2)+(H5+$C$2*D6/2)*COS(I5+$C$2/2)/SIN(I5+$C$2/2) |
7 |
=SIN(I6+$C$2/2)+(H6+$C$2*D7/2)*COS(I6+$C$2/2)/SIN(I6+$C$2/2) |
8 |
=SIN(I7+$C$2/2)+(H7+$C$2*D8/2)*COS(I7+$C$2/2)/SIN(I7+$C$2/2) |
9 |
=SIN(I8+$C$2/2)+(H8+$C$2*D9/2)*COS(I8+$C$2/2)/SIN(I8+$C$2/2) |
10 |
=SIN(I9+$C$2/2)+(H9+$C$2*D10/2)*COS(I9+$C$2/2)/SIN(I9+$C$2/2) |
11 |
=SIN(I10+$C$2/2)+(H10+$C$2*D11/2)*COS(I10+$C$2/2)/SIN(I10+$C$2/2) |
12 |
=SIN(I11+$C$2/2)+(H11+$C$2*D12/2)*COS(I11+$C$2/2)/SIN(I11+$C$2/2) |
|
|
|
F |
1 |
f3 |
2=SIN(A2+$C$2/2)+(B2+$C$2*E2/2)*COS(A2+$C$2/2)/SIN(A2+$C$2/2)
3=SIN(I2+$C$2/2)+(H2+$C$2*E3/2)*COS(I2+$C$2/2)/SIN(I2+$C$2/2)
4=SIN(I3+$C$2/2)+(H3+$C$2*E4/2)*COS(I3+$C$2/2)/SIN(I3+$C$2/2)
5=SIN(I4+$C$2/2)+(H4+$C$2*E5/2)*COS(I4+$C$2/2)/SIN(I4+$C$2/2)
6=SIN(I5+$C$2/2)+(H5+$C$2*E6/2)*COS(I5+$C$2/2)/SIN(I5+$C$2/2)
7=SIN(I6+$C$2/2)+(H6+$C$2*E7/2)*COS(I6+$C$2/2)/SIN(I6+$C$2/2)
8=SIN(I7+$C$2/2)+(H7+$C$2*E8/2)*COS(I7+$C$2/2)/SIN(I7+$C$2/2)
9=SIN(I8+$C$2/2)+(H8+$C$2*E9/2)*COS(I8+$C$2/2)/SIN(I8+$C$2/2) 10 =SIN(I9+$C$2/2)+(H9+$C$2*E10/2)*COS(I9+$C$2/2)/SIN(I9+$C$2/2)
11 =SIN(I10+$C$2/2)+(H10+$C$2*E11/2)*COS(I10+$C$2/2)/SIN(I10+$C$2/2) 12 =SIN(I11+$C$2/2)+(H11+$C$2*E12/2)*COS(I11+$C$2/2)/SIN(I11+$C$2/2)
G
1 |
f4 |
2=SIN(A2+$C$2)+(B2+$C$2*F2)*COS(A2+$C$2)/SIN(A2+$C$2)
3=SIN(I2+$C$2)+(H2+$C$2*F3)*COS(I2+$C$2)/SIN(I2+$C$2)
4=SIN(I3+$C$2)+(H3+$C$2*F4)*COS(I3+$C$2)/SIN(I3+$C$2)
5=SIN(I4+$C$2)+(H4+$C$2*F5)*COS(I4+$C$2)/SIN(I4+$C$2)
6=SIN(I5+$C$2)+(H5+$C$2*F6)*COS(I5+$C$2)/SIN(I5+$C$2)
7=SIN(I6+$C$2)+(H6+$C$2*F7)*COS(I6+$C$2)/SIN(I6+$C$2)
8=SIN(I7+$C$2)+(H7+$C$2*F8)*COS(I7+$C$2)/SIN(I7+$C$2)
9=SIN(I8+$C$2)+(H8+$C$2*F9)*COS(I8+$C$2)/SIN(I8+$C$2) 10 =SIN(I9+$C$2)+(H9+$C$2*F10)*COS(I9+$C$2)/SIN(I9+$C$2)
11 =SIN(I10+$C$2)+(H10+$C$2*F11)*COS(I10+$C$2)/SIN(I10+$C$2) 12 =SIN(I11+$C$2)+(H11+$C$2*F12)*COS(I11+$C$2)/SIN(I11+$C$2)
|
H |
I |
J |
1 |
y |
x |
ϕ(x) |
2 |
=$B$2+$C$2*(D2+2*E2+2*F2+G2)/6 |
=A2+$C$2 |
=(I2-ПИ()/2)*SIN(I2) |
3 |
=H2+$C$2*(D3+2*E3+2*F3+G3)/6 |
=I2+$C$2 |
=(I3-ПИ()/2)*SIN(I3) |
4 |
=H3+$C$2*(D4+2*E4+2*F4+G4)/6 |
=I3+$C$2 |
=(I4-ПИ()/2)*SIN(I4) |
5 |
=H4+$C$2*(D5+2*E5+2*F5+G5)/6 |
=I4+$C$2 |
=(I5-ПИ()/2)*SIN(I5) |
6 |
=H5+$C$2*(D6+2*E6+2*F6+G6)/6 |
=I5+$C$2 |
=(I6-ПИ()/2)*SIN(I6) |
7 |
=H6+$C$2*(D7+2*E7+2*F7+G7)/6 |
=I6+$C$2 |
=(I7-ПИ()/2)*SIN(I7) |
76
8 |
|
=H7+$C$2*(D8+2*E8+2*F8+G8)/6 |
|
=I7+$C$2 |
|
=(I8-ПИ()/2)*SIN(I8) |
|
|
|
|||||||
9 |
|
=H8+$C$2*(D9+2*E9+2*F9+G9)/6 |
|
=I8+$C$2 |
|
=(I9-ПИ()/2)*SIN(I9) |
|
|
|
|||||||
10 |
|
=H9+$C$2*(D10+2*E10+2*F10+G10)/6 |
|
=I9+$C$2 |
|
=(I10-ПИ()/2)*SIN(I10) |
|
|
|
|||||||
11 |
|
=H10+$C$2*(D11+2*E11+2*F11+G11)/6 |
|
=I10+$C$2 |
=(I11-ПИ()/2)*SIN(I11) |
|
|
|
||||||||
12 |
|
=H11+$C$2*(D12+2*E12+2*F12+G12)/6 |
|
=I11+$C$2 |
|
=(I12-ПИ()/2)*SIN(I12) |
|
|
|
|||||||
|
Результат решения задачи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
A |
B |
C |
D |
|
|
E |
|
F |
G |
H |
I |
J |
||
|
|
X0 |
Y0 |
h |
f1 |
|
|
f2 |
|
f3 |
f4 |
y |
x |
ϕ(x) |
||
1 |
|
1,570796 |
0 |
0,1 |
1,000000 |
|
0,996248 |
0,996258 |
0,985008 |
0,099500 |
1,670796 |
0,099500 |
||||
2 |
|
|
|
|
0,985021 |
|
0,966290 |
0,966431 |
0,940306 |
0,196013 |
1,770796 |
0,196013 |
||||
3 |
|
|
|
|
0,940333 |
|
0,906857 |
0,907284 |
0,866637 |
0,286601 |
1,870796 |
0,286601 |
||||
4 |
|
|
|
|
0,866681 |
|
0,818937 |
0,819809 |
0,765227 |
0,368424 |
1,970796 |
0,368424 |
||||
5 |
|
|
|
|
0,765294 |
|
0,703994 |
0,705475 |
0,637771 |
0,438791 |
2,070796 |
0,438791 |
||||
6 |
|
|
|
|
0,637870 |
|
0,563946 |
0,566212 |
0,486406 |
0,495201 |
2,170796 |
0,495201 |
||||
7 |
|
|
|
|
0,486551 |
|
0,401136 |
0,404383 |
0,313680 |
0,535388 |
2,270796 |
0,535390 |
||||
8 |
|
|
|
|
0,313891 |
|
0,218302 |
0,222755 |
0,122515 |
0,557364 |
2,370796 |
0,557365 |
||||
9 |
|
|
|
|
0,122824 |
|
0,018527 |
0,024463 |
-0,083839 |
0,559446 |
2,470796 |
0,559449 |
||||
10 |
|
|
|
|
-0,083381 |
-0,194807 |
-0,187016 |
-0,301858 |
0,540298 |
2,570796 |
0,540302 |
|||||
11 |
|
|
|
|
-0,301162 |
-0,418088 |
-0,407896 |
-0,527818 |
0,498949 |
2,670796 |
0,498956 |
|||||
6.6 Решение задачи Коши средствами MachCAD
Для решения задачи Коши в MathCAD введена функция odesolve, которая решает задачу методом Рунге-Кутта с фиксированным шагом. Для численного решения поставленной задачи методом Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага нужно щелкнуть правой кнопкой мыши по имени функции и в всплывающем меню выбрать команду Адаптивный.
Обращение к функции odesolve имеет вид: y:= odesolve(x, b[, step]),
где y – имя функции, содержащей значения найденного решения, b – конечная точка отрезка, на котором ищется решение, step – необязательный параметр, задающий шаг. Перед обращением к функции odesolve нужно записать ключевое слово Given.
Всистеме MathCAD выполните следующие действия:
1.Ввести ключевое слово Given.
2.Ввести дифференциальное уравнение. Для ввода производных можно использовать как оператор дифференцирования, так и знак производной (комбинация клавиш Ctrl + F7). Знак равенства вводится с помощью пиктограммы панели Boolean.
y'(x) 
sin(x) + y(x)×cot(x).
3. Ввести начальное условие
y |
æ π |
ö |
|
0 |
||
|
|
|
|
|||
è 2 |
ø |
|||||
|
||||||
|
|
|
||||
4. Вызвать функцию odesolve:
|
|
|
|
77 |
|
y := odesolve |
æ |
x , |
π + 2 |
ö |
|
è |
2 |
ø |
|||
|
|
5.Задать значение х, указав начальное значение – π2 , шаг – 0.1, предельное значение π2 +1:
x := |
π |
, |
π |
+ 0.2 |
.. |
π |
+ 2 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
6. Отобразить значение переменной х х=
1.571
1.671
1.771
1.871
1.971
2.071
2.171
2.271
2.371
2.471
1.571
7.Получить решения задачи Коши в некоторых точках данного отрезка. Для этого нужно задать имя функции y, указав в скобках численное значение аргумента, и ввести с клавиатуры знак =.
y(x)=
0
0.0995
0.19601
0.2866
0.36842
0.43879
0.4952
0.53539
0.55737
0.55945
0.5403
Задания к данной теме приведены в приложении Е.
78
Рекомендуемая литература
1.Мэтьюз, Джон, Г., Финк, Куртис, Д. Численные методы. Использование Matlab, 3-е издание.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом "Вильямс", 2001.– 720 с.
2.Микляев А.П. Настольная книга пользователя IBM PC. 2-е изд., доп. "Солон", М.: 1998.– 604 с.
3.Ракитин В.И. Первушин В.Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров: Учеб. пособие. – М.: Высш. шк., 1998. – 383 с.
4.Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование: Учеб. пособие для студентов втузов. – М.: Высш. шк., 1990. – 544 с.
5.Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: "Наука", 1970. – 664 с.
6.Ивашкин Ю.А. Вычислительная техника в инженерных расчетах. – М: Агропромиздат, 1989. –335 с. – (Учебники и учебные пособия для студентов высших учебных заведений).
7.Гурский Д.А. Вычисления в MathCAD.– Мн.: Новое знание, 2003. – 814с.
8.Шушкевич Г.Ч., Шушкевич С.В.Введение в MathCAD 2000: Учеб. пособие. – Гродно: ГрГУ, 2001. – 140с.
79
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Задания к теме «Численные методы решения уравнений»
Средствами электронной таблицы Excel графически определите приближенное место расположения корней уравнения f(x) = 0. Составьте алгоритмы уточнения корня уравнения f(x) = 0 методом половинного деления, методом Ньютона, методом хорд, комбинированным методом и методом итераций с точностью ε = 10-7 . Уточните корни уравнения f(x) = 0 этими методами средствами Турбо Пас-
каль, MS Excel и средствами MathCAD.
1. 2 - ln x - x = 0.
3. x3 + 3x + 5 = 0.
5 x3 + x2 - 11 = 0 (x > 0).
7. x + ex = 0. |
|
||||||
9. |
x3 |
- |
10x + 5 = 0 (x < 0). |
||||
11. x3 |
+ 2x - 7 = 0. |
|
|||||
13. x4 |
- |
2x - 4 = 0 |
(x > 0). |
||||
15. x4 |
- |
2x - 4 = 0 |
(x < 0). |
||||
17. ex - x - 2 = 0. |
|
||||||
19. x2 |
- cos x = 0 |
(x > 0). |
|||||
21. ln x + 0,5x - 1 = 0. |
|||||||
23. |
|
|
1 |
|
|
- ln x = 0. |
|
|
1+ x2 |
||||||
25. |
|
x |
|
|
- ln x = 0. |
||
2 + x |
|
||||||
2. |
x3 - 2x - 5 = 0 (x > 0). |
4. |
x4 + 5x - 7 = 0 (x > 0). |
6. |
x3 - 2x2 - 4x + 5 = 0 (x < 0). |
8. |
x5 - x - 2 = 0. |
10..x4 - 3x - 20 = 0 (x > 0).
12..x3 - 12x - 5 = 0 (x > 0).
14.2ex + x - 1 = 0.
16. 2x3 + x2 - 4 = 0 |
(x > 0). |
|
18. |
1 ex - x - 1 = 0 |
(x > 0). |
|
2 |
|
20. x2 + ln x = 0.
22. ln x - 0,5x + 1 = 0 |
(x > 1). |
|||||
24. |
|
1 |
- |
ex |
= 0 |
(x>0). |
|
+ x2 |
2 |
||||
1 |
|
|
|
|||
80
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
Задания к теме «Решение систем линейных уравнений»
Написать программу на языке Turbo Pascal решения системы линейных алгебраических уравнений Ax = b методом Гаусса и методом итераций, в электронной таблице Еxcel – методом итераций. Решить систему уравнений средствами MathCAD. Сравнить с точным решением ξ.
é |
5 |
0 |
1 ù |
|
|
1. A = ê |
1 3 -1ú , |
|
b = |
||
ê |
|
2 |
ú |
|
|
ê- 3 |
10ú |
|
|
||
ë |
|
|
û |
|
|
é |
2 |
0 |
-1ù |
|
|
2. A = êê-1 3 |
1 úú , |
b = |
|||
ê 1 |
-1 |
4 ú |
|
|
|
ë |
|
|
û |
|
|
é2 |
0 |
-1ù |
|
|
|
3. A = êê1 - 3 1 úú , |
|
b = |
|||
ê1 |
1 |
3 ú |
|
|
|
ë |
|
|
û |
|
|
é |
5 |
1 |
-1ù |
|
|
4. A = êê-1 3 |
1 úú , |
b = |
|||
ê 1 |
- 2 |
4 ú |
|
|
|
ë |
|
|
û |
|
|
é 3 |
1 |
-1ù |
|
|
|
5. A = êê- 2 4 1 úú , |
|
b = |
|||
ê |
1 |
1 |
ú |
|
|
ë |
3 û |
|
|
||
é3 |
1 |
-1ù |
|
|
|
6. A = êê2 4 |
1 úú , |
|
b = |
||
ê1 |
-1 |
3 ú |
|
|
|
ë |
|
|
û |
|
|
é2 |
-1 |
0 ù |
|
|
|
7. A = êê2 5 - 2úú , |
|
b = |
|||
ê1 |
-1 |
3 ú |
|
|
|
ë |
|
|
û |
|
|
é |
3 |
-1 |
1 ù |
|
|
8. A = ê |
0 |
2 -1ú |
, |
b = |
|
ê |
|
1 |
ú |
|
|
ê-1 |
5 ú |
|
|
||
ë |
|
|
û |
|
|
é4 |
1 |
-1ù |
|
|
|
9. A = êê2 3 |
0 úú , |
|
b = |
||
ê1 |
-1 |
5 ú |
|
|
|
ë |
|
|
û |
|
|
|
é2 |
0 |
-1ù |
|
|
10. A = êê1 |
- 4 |
2 úú , |
b = |
||
|
ê1 |
1 |
3 ú |
|
|
|
ë |
|
û |
|
|
é11ù |
|
|
é2ù |
|||
ê |
4 |
ú |
, |
ξ = |
ê |
ú |
ê |
ú |
ê1ú . |
||||
ê 6 |
ú |
|
|
ê1ú |
||
ë |
|
û |
|
|
ë |
û |
é- 3ù |
|
|
é-1ù |
|||||
ê |
2 |
|
ú |
, |
ξ = |
ê |
0 |
ú |
ê |
|
ú |
ê |
ú . |
||||
ê 3 ú |
|
|
ê 1 ú |
|||||
ë |
|
|
û |
|
|
ë |
|
û |
é1ù |
|
|
é1ù |
|
||||
êê2úú , |
|
ξ = êê0úú . |
|
|||||
ê4ú |
|
|
ê1ú |
|
||||
ë |
û |
|
|
ë û |
|
|||
é- 5ù |
|
é-1ù |
||||||
ê |
5 |
ú |
, |
ê |
ú |
|||
ê |
ú |
ξ = ê 1 ú . |
||||||
ê 1 |
|
ú |
|
ê 1 ú |
||||
ë |
|
|
û |
|
ë |
û |
||
é-1ù |
|
|
é-1ù |
|||||
ê |
5 |
ú |
, |
ξ = |
ê |
1 |
ú |
|
ê |
ú |
ê |
ú . |
|||||
ê- 3ú |
|
|
ê-1ú |
|||||
ë |
|
|
û |
|
|
ë |
|
û |
é6ù |
|
|
|
é2ù |
|
|||
êê9úú , |
|
ξ = êê1úú . |
||||||
ê4ú |
|
|
|
ê1ú |
|
|||
ë |
û |
|
|
|
ë |
û |
|
|
é- 2ù |
|
|
é-1ù |
|||||
ê |
|
|
ú |
, |
ξ = |
ê |
0 |
ú |
ê- 4ú |
ê |
ú . |
||||||
ê 2 ú |
|
|
ê 1 ú |
|||||
ë |
|
|
û |
|
|
ë |
|
û |
é |
1 |
|
ù |
|
|
é |
1 |
ù |
ê |
3 |
ú |
, |
ξ = |
ê |
1 |
ú |
|
ê |
ú |
ê |
ú . |
|||||
ê- 5ú |
|
|
ê-1ú |
|||||
ë |
|
|
û |
|
|
ë |
|
û |
é |
7 |
ù |
|
|
é2ù |
|||
ê |
7 |
ú |
|
ξ = |
ê |
ú |
||
ê |
ú , |
ê1ú . |
||||||
ê11ú |
|
|
ê2ú |
|||||
ë |
|
û |
|
|
ë |
û |
||
é |
1 |
|
ù |
|
|
é1ù |
||
ê- 5ú |
, |
ξ = |
ê2ú . |
|||||
ê |
6 |
|
ú |
|
|
ê |
ú |
|
ê |
|
ú |
|
|
ê1ú |
|||
ë |
|
|
û |
|
|
ë |
û |
|