2 семестр / ПОСОБИЕ_ВычМат

11.A =

12.A =

13.A =

14.A =

15.A =

16.A =

17.A =

18.A =

19.A =

20.A =

21.A =

22.A =

é2		-1	0ù
ê		5		ú	,
ê0			2ú
ê1		-1	3ú
ë				û
é3		1	-1ù
ê1		5	-1ú ,
ê		0		ú
ê2			3 ú
ë				û
é3		0	-1ù
ê		- 5		1	ú	,
ê2					ú
ê2		- 2		6 ú
ë					û
é3		0	-1ù
ê		- 5		1	ú
ê2					ú ,
ê2		2		5 ú
ë					û
é 3		-1		1ù
ê	3	5		ú
ê				1ú ,
ê		2		ú
ë-1				4û
é- 4		2	1ù
ê	-1	5	1ú		,
ê		0		ú
ê 2			3ú
ë				û
é	5	-1		1ù
ê					ú
ê-1		3		1ú ,
ê 2		1		4ú
ë					û
é	4	2		1	ù
ê	3	5			ú	,
ê			-1ú
ê- 2		1	- 4ú
ë					û
é4		1	2ù
ê		3	ú	,
ê0			1ú
ê1		2	4ú
ë			û
é3		1	1ù
ê		- 2		ú	,
ê0			1ú
ê		-1		ú
ë2			4û
é2		-1		0	ù
ê		5		1	ú	,
ê2					ú
ê2		1	- 4ú
ë					û
é5		0	1ù
ê1		- 3	1ú ,
ê		-1		ú
ê3			5ú
ë				û

81

	é3ù
	ê	ú
b = ê7ú ,
	ê	ú
	ê	ú
	ë4û
	é- 2ù
b = êê 8 úú ,
	ê	1 ú
	ë	û
	é- 4ù
b = êê		9 úú ,
	ê	8 ú
	ë	û
	é	7 ù
b = êê- 2úú ,
	ê	1 ú
	ë	û
	é	0 ù
b = êê12úú ,
	ê-1ú
	ë	û
	é- 5ù
b =	ê- 5ú		,
	ê	ú
	ê	5 ú
	ë	û
	é- 3ù
b =	ê	-1ú	,
	ê	ú
	ê	1 ú
	ë	û
	é3ù
b = êê4úú ,
	ê6ú
	ë	û
	é- 6ù
b = êê-1úú ,
	ê- 5ú
	ë	û
	é	6 ù
b =	ê- 3ú		,
	ê	ú
	ê	-1ú
	ë	û
	é- 5ù
b = êê		2 úú ,
	ê- 7ú
	ë	û
	é11ù
b = êê 3 úú ,
	ê11ú
	ë	û

	é2ù
x = êê1úú .
	ê1ú
	ë	û
	é-1ù
x = êê		2	úú .
	ê	1	ú
	ë		û
	é-1ù
x = êê- 2úú .
	ê	1 ú
	ë		û
	é	2	ù
x = êê 1 úú .
	ê-1ú
	ë		û
	é	1	ù
x = êê		2	úú .
	ê-1ú
	ë		û
	é	1	ù
x =	ê-1ú .
	ê	1	ú
	ê		ú
	ë		û
	é-1ù
x =	ê-1ú .
	ê		ú
	ê	1 ú
	ë		û
	é	1	ù
x = êê		0	úú .
	ê-1ú
	ë		û
	é-1ù
x = êê		0	úú .
	ê-1ú
	ë		û
	é	2	ù
x = êê		1	úú .
	ê-1ú
	ë		û
	é- 2ù
x = êê		1 úú .
	ê	1 ú
	ë		û
	é2ù
x = êê0úú .
	ê1ú
	ë		û

82

ПРИЛОЖЕНИЕ В

Задания к теме «Методы приближения функций»

1) Функция f(x) определена на отрезке [1,00; 1,20](см. таблицу). Составить алгоритм и программу на языке Turbo Pascal интерполяции функции f(x) на этом отрезке полиномом Лагранжа и многочленами Ньютона по системе n равномерно расположенных узлов в точках 1,05; 1,09; 1,13; 1,15; 1,17. Значение n вводится с клавиатуры. Полученные результаты сравнить с табличными значениями. Интерполировать функцию средствами MathCAD.

Значения				Варианты
аргумента
	1	2	3	4	5	6	7
x	ex	e-x	sh x	ch x	sin x	cos x	ln x
1,00	2,7183	0,3679	1,1752	1,5431	0,8415	0,5403	0,0000
01	2,7456	0,3642	1,1907	1,5549	0,8468	0,5319	0,0100
02	2,7732	0,3606	1,2063	1,5669	0,8521	0,5234	0,0198
03	2,8011	0,3570	1,2220	1,5790	0,8573	0,5148	0,0296
04	2,8292	0,3535	1,2379	1,5913	0,8624	0,5062	0,0392
05	2,8577	0,3499	1,2539	1,6038	0,8674	0,4976	0,0488
06	2,8864	0,3465	1,2700	1,6164	0,8724	0,4889	0,0583
07	2,9154	0,3430	1,2862	1,6292	0,8772	0,4801	0,0677
08	2,9447	0,3396	1,3025	1,6421	0,8820	0,4713	0,0770
09	2,9743	0,3362	1,3190	1,6552	0,8866	0,4625	0,0862
1,10	3,0042	0,3329	1,3356	1,6685	0,8912	0,4536	0,0953
11	3,0344	0,3296	1,3524	1,6820	0,8957	0,4447	0,1044
12	3,0649	0,3263	1,3693	1,6956	0,9001	0,4357	0,1133
13	3,0957	0,3230	1,3863	1,7093	0,9044	0,4267	0,1222
14	3,1268	0,3198	1,4035	1,7233	0,9086	0,4176	0,1310
15	3,1582	0,3166	1,4208	1,7374	0,9128	0,4085	0,1398
16	3,1899	0,3135	1,4382	1,7517	0,9168	0,3993	0,1484
17	3,2220	0,3104	1,4558	1,7662	0,9208	0,3902	0,1570
18	3,2544	0,3073	1,4735	1,7808	0,9246	0,3809	0,1655
19	3,2871	0,3042	1,4914	1,7957	0,9284	0,3717	0,1740
1,20	3,3201	0,3012	1,5095	1,8107	0,9320	0,3624	0,1823

83

2) Функцию f(x), полученную, например, в результате эксперимента и определенную таблицей, аппроксимировать алгебраическими многочленами наилучшего среднеквадратичного приближения Q2(x); оценить погрешности аппроксимации. Написать программу на языке Turbo Pascal. Изобразить графики функций Q2(x) и отметить экспериментальные точки в той же системе координат. Выполнить задачу, используя электронную таблицу Excel.

1.	xi	1	2				3			4			5
	yi	1,1	1,4				1,6			1,7			1,9
2.
	xi	1		2			3			4				5
	yi	1,05		1,55			1,7			1,75				1,8
3.
	xi	2		3			4			5					6
	yi	0,4		0,55			0,13			0,09					0,07
4.
	xi	1	2				3			4			5
	yi	7,5	6,2				5,5			3,5			3
5.
	xi	1	2				3			4			5
	yi	8,2	5,9				4,9			4			3,2
6.
	xi	1	2				3			4			5
	yi	7,2	5,9				4,9			4			3,2
7.
	xi	1	2				3			4			5
	yi	7,1	6,1				4,9			4			3,1
8.
	xi	1		2			3			4					5
	yi	0,55		0,7			0,77			0,82					0,85
9.
	xi	1		2			3			4					5
	yi	1,1		1,55			1,9			2,3					2,6
10.
	xi	1			2			3					4					5
	yi	1,1			1,55			1,9			2,25							2,5
11.
	xi	1			2			3					4					5
	yi	5,1			4,4			3,2					2,7					2,55

84

ПРИЛОЖЕНИЕ Г

Задания к теме «Численное дифференцирования функций»

Составить алгоритм и программу нахождения первой и второй производной при значениях аргумента для функции, заданной таблично. Написать программу на языке Turbo Pascal. Выполнить задание, используя электронную таблицу Excel.

1.	x	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5	для
	y	10,51	10,19	9,80	9,38	8,97	8,63	8,44	8,86	9,70	x=2,86
2.	x	0,8	1,2	1,6	2,0	2,4	2,8	3,2	3,6	4,0	для
	y	2,85	3,94	4,93	5,81	6,50	7,01	7,28	7,35	8,23	x=3,24
3.	x	0,5	0,7	0,9	1,1	1,3	1,5	1,7	1,9	2,1	для
	y	4,29	4,16	3,93	3,21	2,84	2,63	2,75	3,66	3,93	x=1,49
4.	x	5,6	6,1	6,6	7,1	7,6	8,1	8,6	9,1	9,6	для
	y	3,48	5,68	6,73	764	9,25	10,48	12,56	11,01	9,34	x=7,52
5.	x	0,25	0,27	0,29	0,31	0,33	0,35	0,37	0,39	0,41	для
	y	1,12	1,55	1,90	2,36	2,62	3,81	4,15	9,28	6,34	x=0,28
6.	x	5,5	6,0	6,5	7,0	7,5	8,0	8,5	9,0	9,5	для
	y	5,13	4,46	3,24	2,72	2,55	3,48	4,32	3,12	2,16	x=7,32
7.	x	0,8	1,2	1,6	2,0	2,4	2,8	3,2	3,6	4,0	для
	y	2,85	3,94	4,93	5,81	6,53	7,31	7,28	7,01	6,32	x=3,25
8.	x	2,7	2,8	2,9	3,0	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	для
	y	22,8	23,3	23,8	24,4	25,1	25,7	23,1	24,3	24,6	x=2,83
9.	x	2,3	2,5	2,7	2,9	3,1	3,3	3,5	3,7	3,9	для
	y	6,58	7,23	6,15	4,32	5,64	7,59	8,12	9,27	9,94	x=3,26
10.	x	4,2	4,4	4,6	4,8	5,0	5,2	5,4	5,6	5,8	для
	y	1,08	0,99	0,86	0,73	0,57	0,27	0,15	0,13	0,06	x=4,72
11.	x	2,2	2,3	2,4	2,5	2,6	2,7	2,8	2,9	3,0	для
	y	5,36	4,28	6,19	5,48	7,25	6,32	8,12	7,52	6,46	x=2,59
12	x	3,1	3,3	3,5	3,7	3,9	4,1	4,3	4,5	4,6	для
	y	2,65	6,23	4,45	5,55	2,12	2,33	4,25	2,98	1,11	x=2,86
14.	x	6,1	6,5	6,9	7,3	7,7	8,1	8,5	8,9	9,3	для
	y	5,23	4,36	2,13	4,28	7,24	5,12	1,23	3,26	1,85	x=7,53
15.	x	1,3	2,3	3,3	4,3	5,3	6,3	7,3	8,3	9,3	для
	y	4,89	2,13	0,12	7,15	4,23	2,34	1,48	3,36	2,35	x=4,67
16.	x	7,1	7,2	7,3	7,4	7,5	7,6	7,8	7,9	8,0	для
	y	4,55	1,26	2,03	3,22	4,26	5,89	6,01	4,25	6,23	x=7,29
17.	x	2,5	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0	6,05	для
	y	15,6	13,2	11,5	10,3	9,12	8,22	7,33	6,26	5,23	x=4,16
18.	x	2,2	2,5	2,8	3,1	3,4	3,7	4,0	4,3	4,6	для
	y	4,56	3,12	2,14	1,25	0,12	14,3	12,3	15,6	12,6	x=2,76

85

ПРИЛОЖЕНИЕ Д

Задания к теме «Численное интегрирование функций»

Составить алгоритм и программу на языке Turbo Pascal вычисления заданных интегралов по формулам прямоугольников, трапеций и параболы, если отрезок интегрирования разбит на n равных частей. Сравнить приближенные значения интеграла с точными. Значение n вводится с клавиатуры. Решить задачу в электронной таблице Еxcel, а также используя систему MathCAD.

	1.	1		dx			(I = π ≈ 0,785).
		ò
				2
		0 1		+ x					4
	3.	π / 4							(I = 0,5).
		òsin 4x dx
		0
	5.	e					(I = 1).
		ò ln x dx
	7.	1
		π / 2
		ò x cos x dx (I = π − 1 ≈ 0,571).
	9.	0							2
		π							(I ≈ 1,57).
		òcos2 x dx
	11.	0		dx
		π / 2							(I = 1).
		ò0
				1 + sin x
	13.	1		dx			(I ≈ 0,38).
		ò
				x
		0 1		+ e
	15.	π / 4					(I =			1		ln 2 ≈ 0,346).
		ò tgx dx
	17.	0							2
		1					(I = 1).
		ò x ex dx
	19.	0		dx
		π / 2							(I = 1).
		ò0
	21.			1 + cos x
		e					(I = e − 2 ≈ 0,718).
		òln2 xdx
	23.	1										4 − π
		π / 2							(I =				≈ 0,215).
		òctg2 xdx
	25.	π / 4							4
		π / 2
		òex sin xdx I ≈ 2,90
		0

2.	1					dx							(I = ln 2 ≈ 0,693).
	0ò
4.			1 + x
	1							dx								(I = ln(1 +
	ò																																2) ≈ 0,881).
								1 + x 2
6.	0
	1
	ò ln(x + 1) dx (I = 2 ln 2 − 1 ≈ 0,386).
8.	0																															π ≈ 0,433).
	1					e		x	dx					(I = arctge −
	ò
									2x
10.	0 1 + e																															4
	π / 4							dx
															(I = ln(1 +																2) ≈ 0,881).
	ò0
12.							cos x
	òarctgx dx (I = 1 (π − 2ln 2) ≈ 0,438
	1
	0																			2
14.
		ò arcsin x dx (I = 2 (π + 4) − 1 ≈ 0,26).
	2 / 2
	0																								8
16.	π / 2																		1
	òctgx dx (I =																			ln 2										≈ 0,346).
																			2
18.	π / 4																																2 − 1) ≈ 1,22).
	ò						1 + x dx (I = 2 (2
	1
20.	0							dx								(I = 2				3
	ò																				2 − 1) ≈ 0,828).
	1
22.	0							1 + x											4 − π
	π / 4							2								(I =														≈ 0,215).
	ò tg									xdx
																				4
24.	0																								π / 2							−1 ≈ 1,905).
	òex cosxdx (I = e
	π / 2
26.	0																													2
	π									dx										2												1
	2																(I =																							≈ 0,376)
	ò0																												arctg
				2 cos x + 3
																								5														5

86

ПРИЛОЖЕНИЕ Е

Задания к теме «Численное решение дифференциальных уравнений»

Составить алгоритм и программу решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка на равномерной сетке отрезка [a, b] с шагом h, вводимым с клавиатуры, классическим методом Рунге-Кутта. Сравнить численное решение с точным. Решить задачу в электронной таблице Еxcel, а также используя систему MathCAD.

1.	y′=	1+ xy				,
2.			x2
	y′= y		-	2x			,
3.				y
	y′= x		+	3y		,
				x
4.	y′= xy ,
5.	y′=	y	2	+ xy				,
			x2
6.	y′=	1− y + ln x							,
				x

7.y′= x +x y ,

8.y′+2xy= xe-x2

9. 1 y′+ycosx= 2 sin2x

10.y′+ytgx=sin2x

11.xy′-y2lnx+y=0

12.				æ y			ö
	xy′=x+y+xexpç					÷
			ç				÷
13.				è x			ø
	2	2	æ x2 -1						ö
	x	y′-y=x	expç						÷
			ç		x				÷
			è						ø

14.(x2+1)y′+xy-1=0

15.xy′-y= lnxx

y|x=1=0,	1≤x≤2,
y|x=0=1,	0≤x≤1,
y|x=1=0,	1≤x≤2,
y|x=0=1,	0≤x≤1,
y|x=1=1,	1≤x≤2,
y|x=1=0,	1≤x≤2,
y|x=1=0,	1≤x≤2,
y|x=0=0,	0≤x≤1,
y|x=0=0,	0≤x≤1,
y|x=0=-1,	0≤x≤1,
y|x=1=1,	1≤x≤2,
y|x=1=0,	1≤x≤1.9,
y|x=1=1,	1≤x≤2,
y|x=0=0,	0≤x≤1,
y|x=e=0,	e≤x≤e+1,

	ϕ(x)=	1	æ	1	ö
			ç x -		÷ .
		2		x
			è		ø

ϕ(x)= 2x +1 .

ϕ(x)= x2(x -1) .

ϕ(x)=ex2 / 2 . ϕ(x)=x/(1-lnx).

ϕ(x)=lnx.

ϕ(x)=xlnx.

ϕ(x)= 12 x2 e-x2 . ϕ(x)=sinx+e-sin x -1.

ϕ(x)=(1-2cosx)cosx.

ϕ(x)=1/(1+lnx).

ϕ(x)=xln 2 -x x .

ϕ(x)=exp((x2-1)/x).

ϕ(x)= ln(x + x2 +1 .

x2 +1

ϕ(x)=xlnlnx.

16. xy′-y=x2sinx

17. xy′+y=x sinx

18. y′+ex-y=ex(1-x)+2x 19. xy′=y lny

20. xy′-y(ln(xy)-1)=0

21. xy′=xsin y +y

x

22.x2y′=(x-1)y

23.(x2+1)y′+xy=x(x2+1)

24.y′=3x-2y+5

25.2y′=xy

26.	y′-	y
			=xlnx
		x ln x

27.xy′=yln(y/x)

28.y′=4x-2y

29.y′+2xy=x e−x2

30 y′=cos(x)-y

87

y|x=π/2=0,

π/2≤x≤π/2+1,

ϕ(x)=-xcosx.

y|x=π/2=0,

π/2≤x≤π/2+1,

ϕ(x)=

sin x −1

-cosx.

x

y|x=0=0,

0≤x≤1,

ϕ(x)=x2.

y|x=1=e,

1≤x≤2,

ϕ(x)=ex.

y|x=1=e,

1≤x≤2,

ϕ(x)=ex/x.

y|x=1=π/2,

1≤x≤2,

ϕ(x)=2xarctgx..

y|x=1=e,

1≤x≤2,

ϕ(x)=xexp(1/x)..

y|x=

=1,

≤x≤

+1,

2

2

2

x

+1

x

ϕ(x)=

.

y|x=0=2,

0≤x≤1,

3

ϕ(x)=

e

-2x

+ 6x + 7

.

y|x=0=1,

0≤x≤1,

4

ϕ(x)=e

x

2 / 4

.

y|x=e=e2/2,

e≤x≤e+1,

2

ϕ(x)=

x

lnx.

2

y|x=1= e2,

1≤x≤2,

ϕ(x)=xe1+x

y|x=0=0,

0≤x≤1,

ϕ(x)=e-2x+2x-1.

y|x=0=0,

0≤x≤1,

ϕ(x)=

e

−x2 x

2

.

2

y|x=0=1.5,

0≤x≤1,

ϕ(x)=e−x

cos x + sin x

.

2

88

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА И РАСЧЕТЫ НА ЭВМ

Пособие для студентов специальности

36 09 01 – Машины и аппараты пищевых производств, 36 20 01 – Низкотемпературная техника дневной и заочной формы обучения

Составители:	к.ф.-м.н. Г.Н.Воробьев
	ассистент И.П.Овсянникова
Рецензент	к.ф.-м.н., доцент Гальмак А.М.

Редактор	Т.Л. Бажанова
Технический редактор	А.А. Щербакова

Подписано в печать_____________________ Формат 60х84

1/16

Печать офсетная. Усл. печ.л.______________Уч.- изд.л._____________

Тираж_______________Заказ_________________Бесплатно ЛП №226 от 12.02.2003 г.

ЛИ №604 от 03.06.2003 г.

Отпечатано на ризографе МГУП 212027 г. Могилев, пр-т Шмидта,3