- •2125 Министерство транспорта российской федерации
- •Определители
- •Определение и свойства определителя
- •Основные свойства
- •Вычисление определителей
- •4 Способ.
- •5 Способ.
- •6 Способ.
- •Задания
- •Матрицы
- •Матрицы и операции над ними
- •Линейные операции над матрицами
- •Элементарные преобразования матрицы. Ранг матрицы
- •Задания
- •Обратная матрица
- •Системы линейных алгебраических уравнений
- •Теорема Кронекера-Капелли
- •Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •А) методом Гаусса
- •Библиографический список
Задания
Задание 2.1. Найти ранг матрицы
Методом единиц и нулей;
Методом окаймляющих миноров.
1. ; |
2. ;
|
3. ; |
4. ; |
5. ; |
6. ; |
7. ; |
8.; |
9. ; |
10. ; |
11. ; |
12. ; |
13. ; |
14. ; |
15. ; |
16. ; |
17. ; |
18. ; |
19. ; |
20. ; |
21.; |
22. ; |
23. ; |
24. ; |
25. ; |
26. ; |
27. ; |
28. ; |
29. ; |
30. . |
Обратная матрица
Квадратная матрица порядка называетсяневырожденной, если её определитель (детерминант).
В случае, когда , матрицаназываетсявырожденной.
Только для квадратной невырожденной матрицывводится понятие обратной матрицы.
Матрица называетсяобратнойдля квадратной невырожденной матрицы, если, где- единичная матрица порядка.
Для матрицы существует единственная обратная матрица, которая определяется по формуле:
или,
где или-союзнаяилиприсоединённаяматрица, её элементами являются алгебраические дополнениятранспонированнойматрицы, т.е. матрицы, полученной из данной матрицызаменой её строк столбцами с теми же номерами.
, т.е.
Пример 2.2.Найти обратную матрицу двумя способами: с помощью алгебраических дополнений и путем элементарных преобразований. Сделать проверку.
Дана матрица .
Найти: .
Решение:
1 способ. С помощью алгебраических дополнений.
Найдем обратную матрицу по формуле ,
где - определитель матрицы;
- союзная или присоединённая матрица, состоящая из алгебраических дополнений транспонированной матрицы.
Согласно формуле можно сказать, что если , то обратная матрица не существует.
Найдем:
,
значит обратная матрица существует.
Составим союзную матрицу, для этого найдем алгебраические дополнения по формуле
-
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Отсюда:
.
2 способ. Основан на элементарных преобразованиях вспомогательной матрицы, которая получается путём приписывания к данной матрице единичной матрицы того же порядка. Схематически это выглядит так:
Итак, запишем матрицу:
~~
~~~
~~
~~
~
Итак:
Проверка. Сделаем проверку исходя из свойства. Остановимся на произведении. Для удобства умножения матрицзапишем в виде:
.
Тогда:
- верно (смотри определение)
Задание 2.2. Найти обратную матрицу двумя способами: с помощью алгебраических дополнений и путем элементарных преобразований. Сделать проверку.
-
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Системы линейных алгебраических уравнений