0. Теорема Кронекера-Капелли

Для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений относительнонеизвестных;; …

(1)

была совместной(имела хотя бы одно решение) необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы (1)

и ранг так называемой расширенной матрицы системы (1)

были равны, т.е..

Далее, если и(числу неизвестных), то система (1) имеет единственное решение, т.е.определена. Если, то система (1) имеет бесконечное множество решений, зависящее отпроизвольных параметров, т.е.неопределена.

Система называется однородной, если все её свободные членыравны нулю. Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то система называетсянеоднородной.

Для однородной системы уравнений , поэтому она всегда совместна.

0. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

1. Метод Крамера (Формулы Крамера).

Если определитель системы не равен 0, то система совместна и определена, имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

;;; …

Здесь - определитель системы, состоит из коэффициентов при неизвестных;

- определители для неизвестных, составляются из определителя системы путем замены соответствующего столбца на столбец свободных членов, что будет показано позднее в примере.

Так как необходимо вычислять определители, то метод желательно применять для систем, состоящих из двух или трех уравнений.

2. Метод обратных матриц (матричный метод).

Этот метод также желательно применять для системы, состоящей из трех уравнений с тремя неизвестными. Т.е. .

Запишем систему в матричном виде:

,

где - основная матрица системы, состоит из коэффициентов при неизвестных;

- матрица-столбец для неизвестных;

-матрица-столбец свободных членов.

Выведем формулу решения:

- решение системы в матричном виде.

3. Метод Гаусса.

Этот метод широко применяется для решений систем любого порядка. Заключается он в том, что из системы выписывается расширенная матрица и с помощью элементарных преобразований матрица приводится к треугольному виду, т.е. последовательно исключаются неизвестные путем обнуления коэффициентов при них (если система имеет единственное решение).

Если же система совместна и неопределена, то появятся так называемые зависимыеинезависимыепеременные. Общим решением таких систем является зависимость одних переменных от других. Чтобы найтибазисноерешение, нужно все независимые переменные приравнять к 0.Частнымназывается любое решение при определенных значениях независимых переменных.

4. Метод последовательных исключений Жордана-Гаусса.

Этот метод также рассмотрим в дальнейшем на примере.

Пример 3.1.Дана система 3-го порядка. Решить систему:

а) Методом Крамера (по формулам Крамера);

б) С помощью обратной матрицы (матричным методом).

1).

а) Решаем по формулам Крамера. Найдем:

,

значит система имеет единственное решение, которое найдем по формулам Крамера:

;;.

Составим определители для неизвестных и найдем их:

;

;;.

Проверка. Подставим найденные значения в исходную систему:

б) Решим систему матричным методом.

Решением будет .

Найдем обратную матрицу по формуле .

- согласно предыдущему способу. Составим, для этого найдем алгебраические дополнения:

;	;	;
;	;	;
;	;	.

Ответ: ;;.

2).

Найдем определитель системы:

Так как система неоднородная и , то система несовместна (не имеет решения).

3).

Найдем определитель системы:

Определители для неизвестных , так как имеют нулевой столбик. Значит система совместна и определена, имеет единственное нулевое решение:

4).

Найдем определитель системы:

Система совместна и неопределена, так как она однородная. Запишем систему в виде:

- уберем второе уравнение (убирать можно любое).

Далее запишем:

Решим методом Крамера:

Итак - общее решение,

где и- зависимые переменные;

- независимая переменная.

Найдем частное решение. Т.е. положим .

Получим: .

Сделаем проверку:

- верно.

Задание 3.1. Решить системы линейных алгебраических уравнений

а) Методом Крамера (по формулам Крамера);

б) С помощью обратных матриц.

Сделать проверку.

№1.

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. ;
9. ;	10. ;
11. ;	12. ;
13. ;	14. ;
15. ;	16. ;
17. ;	18. ;
19. ;	20. ;
21. ;	22. ;
23. ;	24. ;
25. ;	26. ;
27. ;	28. ;
29. ;	30. .

№2.

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. ;
9. ;	10. ;
11. ;	12. ;
13. ;	14. ;
15. ;	16. ;
17. ;	18. ;
19. ;	20. ;
21. ;	22. ;
23. ;	24. ;
25. ;	26. ;
27. ;	28. ;
29. ;	30. .

№3.

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. ;
9. ;	10. ;
11. ;	12. ;
13. ;	14. ;
15. ;	16. ;
17. ;	18. ;
19. ;	20. ;
21. ;	22. ;
23. ;	24. ;
25. ;	26. ;
27. ;	28. ;
29. ;	30. .

№4.

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. ;
9. ;	10. ;
11. ;	12. ;
13. ;	14. ;
15. ;	16. ;
17. ;	18. ;
19. ;	20. ;
21. ;	22. ;
23. ;	24. ;
25. ;	26. ;
27. ;	28. ;
29. ;	30. .

Пример 3.1. Дана система линейных алгебраических уравнений.

Решить ее: