- •2125 Министерство транспорта российской федерации
- •Определители
- •Определение и свойства определителя
- •Основные свойства
- •Вычисление определителей
- •4 Способ.
- •5 Способ.
- •6 Способ.
- •Задания
- •Матрицы
- •Матрицы и операции над ними
- •Линейные операции над матрицами
- •Элементарные преобразования матрицы. Ранг матрицы
- •Задания
- •Обратная матрица
- •Системы линейных алгебраических уравнений
- •Теорема Кронекера-Капелли
- •Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •А) методом Гаусса
- •Библиографический список
А) методом Гаусса
б) методом Жордана-Гаусса.
Решение:
а) Решаем методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы:
1шаг:
Элементы первой строки умножаем на 2 и сложим с соответствующими элементами 2-й строки, затем элемент 1-й строки умножим на 3 и сложим с 3-й строкой, умножим на 4 и сложим с 4-й строкой. Получим эквивалентную матрицу:
~~
2 шаг.
Поменяем местами 2-й и 4-й столбцы, отметим, в эквивалентной матрице какой переменной соответствуют столбцы.
~~
3 шаг.
Умножим элементы 2-й строки на (-1) и сложим с элементами 3-й и 4-й строк.
~~
4 шаг.
Поменяем местами 3-ю и 4-ю строки
~
теперь уже точно система приведена к треугольному виду.
Обратный ход:
Проверка. Подставим найденные значения в исходную систему.
получим тождества
Ответ:
б) Решим систему методом Жордана-Гаусса.
Запишем расширенную матрицу системы
~
1 шаг.
Умножим элементы 1-й строки на (-3) сложим с элементами 2-й строки; потом на (-2) сложим с элементами 3-й строки; затем на (-1) и сложим с элементами 4-й строки, получим эквивалентную матрицу:
~~
2 шаг.
Всю 2-ю строку разделим на (-1). Сложим элементы второй строки с элементами первой и четвертой строк и затем сложим с элементами 3-й строки:
~~~
3 шаг.
Умножим элементы 3-й строки на и сложим с элементами 2-й строки, затем просто сложим элементы 3-й строки с элементами 1-й строки, получим эквивалентную матрицу:
~~
4 шаг.
Разделим 4-ю строку на 10; затем умножим на 5 и сложим с элементами второй строки, умножим элементы 4-й строки на и сложим с элементами 1-й строки. Получим эквивалентную матрицу:
~.
получаем ответ:
Задание 3.2. Решить системы линейных алгебраических уравнений
а) Методом Гаусса
б) Методом Жордана-Гаусса.
1. ; |
2. ; |
3. ; |
4. ; |
5. ; |
6. ; |
7. ; |
8. ; |
9. ; |
10. ; |
11. ; |
12. ; |
13. ; |
14. ; |
15. ; |
16. ; |
17. ; |
18. ; |
19. ; |
20. ; |
21. ; |
22. ; |
23. ; |
24. ; |
25. ; |
26. ; |
27. ; |
28. ; |
29. ; |
30. ; |
Пример 3.3. Решить систему линейных уравнений, заданную расширенной матрицей, методом последовательного исключения неизвестных. В случае неопределенности системы найти ее общее, базисное и любое частное решение. Сделать проверку.
Решение:
Решаем задачу методом Жордана-Гаусса:
~
~~
~~
~~
~
Нулевую строку вычеркиваем.
Система неопределенная .
Базисными переменными являются:
Выражая базисные переменные, через свободные, получаем общее решение системы линейных уравнений:
Приравнивая свободные переменные к нулю, получаем базисное решение:
Задавая в общем, решении свободным переменным произвольные значения, получим частное решение:
Например, если , то
Делаем проверку, подставляя частное решение в систему линейных уравнений:
Ответ:
Общее решение:
Базисное решение:
Частное решение:
Задание 3.3. Решить систему линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса). Найти общее решение, базисное решение, частное решение. Сделать проверку.
1. ; |
2. ; |
3. ; |
4. ; |
5. ; |
6. ; |
7. ; |
8. ; |
9. ; |
10. ; |
11. ; |
12. ; |
13. ; |
14. ; |
15. ; |
16. ; |
17. ; |
18. ; |
19. ; |
20. ; |
21. ; |
22. ; |
23. ; |
24. ; |
25. ; |
26. ; |
27. ; |
28. ; |
29. ; |
30. ; |