2902 РГР ТОЭ

31

ЧАСТЬ II

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача № 1. Анализ разветвленной цепи постоянного тока

Дано: R1 = 6 Ом; R2 = 12 Ом; R3 = 9 Ом; R4 = 5 Ом; R5 = 20 Ом; R6 = 20 Ом;

E1 = 20 В; E2 = 21 В; E3 = 22,5 В; J = 2 А.

Определить токи ветвей: I1, I2, I3, I4, I5, I6.

Выбор независимых контуров. Выберем независимые контуры (рис. 1) по окнам 1−4 с указанием направления их обхода и расставим произвольно положительные направления токов.

Определение числа уравнений. В схеме количество узлов у = 5; число ветвей b = 8, из них содержащих источник тока bJ = 1.

Рассчитаем число независимых уравнений по законам Кирхгофа:

по первому закону N1 = y − 1 = 5 − 1 = 4;

по второму закону N2 = [(b− bJ) − N1] = 7− 4 = 3.

←

2

Составим уравнения по законам Кирхгофа:

I2

E2

I6

I4

для узла 1

I1− I2+J = 0;

I11

I22

R2

R6

1

R4

2

для узла 2

I2− I4 − I6 = 0;

R1

I1

R5

I5

для узла 3

–I1+I4+ I5− I7 = 0;

4

для узла 4

–I3− I5+I6 = 0;

1

I7

I33

3

I44

1 контур

R1I1+R4I4+R2I2 = E2;

↑ E1

3

↑

4

E3

2 контур

−R4I4+R5I5+R6I6 = 0;

>>

J

5

R3

I3

3 контур

R3I3 − R5I5 = E3− E1 .

Рис. 1

Расчет методом контурных токов. Известен контурный ток I44 = J. Система уравнений для трех оставшихся независимых контуров имеет вид:

Определим коэффициенты при контурных токах: - контурные сопротивления

R11 = R1 + R4 + R2 = 6 + 5 + 12 = 23 Ом;

R22 = R4 + R5 + R6 = 5 + 20 + 20 = 45 Ом;

R33 = R3 + R5 = 9 + 20 = 29 Ом;

- сопротивления смежных контуров

R12 = R21= − R4 = −5 Ом;	R23 = R32 = − R5 = −20 Ом;
R13 = R31 = 0;	R24 = R42 = 0;
R14 = R41= − R1 = − 6 Ом;	R34 = 0;

32

- контурные ЭДС

E11 = E2 = 21 В; E22 = 0; E33 = E3− E1 = 22,5 − 20 = 2,5 В.

Решим исходную систему матричным способом, для чего представим ее в виде:

		[R][I] = [E] .					(*)
Здесь матрица сопротивлений:					23	5	0
[R]=				=
					5	45	20
Матрица столбец ЭДС					0	20	29

[E]=			=	33
				0
				2,5

Эквивалентный источник ЭДС в контуре с источником тока J:

E11−R14 I44= 21− (−6)·2 = 21+12 = 33 В.

Решая матричное уравнение (*), получаем искомые контурные токи

I11 = 1,5А; I22 = 0,295 А; I33 = 0,29 А.

Реальные токи в ветвях:
I1	= I11	− I44 = 1,5 − 2 = −0,51 А;	I2 = I11 = 1,5 A; I3 = I33 = 0,29 A;
I4	= I11− I22 = 1,5 − 0,295 = 1,2 А;		I5 = I22 − I33 = 0,295 − 0,29 = 0,005 А;
I6	= I22	= 0,295 А;	I7 = I44− I33 = 2 − 0,29 = 1,7 А.

Расчет методом узловых потенциалов. За базовый узел примем узел 5, потенциал которого равен φ5 = 0. Тогда φ4 = φ5 + Е1 = 20 В.

Для трех неизвестных значений потенциалов узлов φ1, φ2, φ3 составим уравнения:

G11φ1 + G12φ2 + G13φ3 + G14φ4 = J11 ;

G21φ1 + G22φ2 + G24φ3 + G34φ4 = J22 ;

G31φ1 + G32φ2 + G33φ3 + G34φ4 = J33.

Найдем значения соответствующих проводимостей системы

1 1					1	1		0,167		0,083	0,25	См	;
					6	12								См
				1	1	1		0,083		0,2	0,05	0,33			;
12					5	20			См
1					1	1		0,21		;
				9	20	20	24
G12 = G21 = − G2 = −0,083 См;						G = G42 = − G4 = −0,2 См ;
								33

G13=G31= 0;	G23 = G32 = − G6 = −0,05 См ;
G14 = G41 = − G1 = −0,167 См;	G34 = G43 = − G5 = −0,05 См.

Решение потенциальной системы из трех уравнений также определим матричным способом:

[G]×[φ]=[J] ,

(**)

для которой

[G]=				0,25	0,083	0	;
				0,083	0,33	0,05
				0	0,05	0,21

φ 3,08

[J]=			φ	2,26	;
			φ	3,15
J11 = E2G2		– J = 21·0,083 – 2			= −0,257	А;
J11	− G14φ4 = −0,257 − (−0,167)·20 = −0,257 + 3,34 = 3,08 А ;
J22	= −E2G2 = −1,74 А ;
J22	– G24 φ4 = −1,74 − (−0,2)·20 = 2,26					А ;
J33	= E3G3	= 22,5·0,11 = 2,5А ; J33 − G34φ4 = 2,5 − (−0,05)·20 = 3,5А.

Решая систему (**), находим значения потенциалов

φ1 = 17,1 В, φ2 = 14,2 В, φ3 = 20,1 В.

Токи в ветвях:
				φ	φ	17,1				20			0,485								,
						6						17,1					21					18,16
									14,2																	1,51		,
									0			12											12
										20,1			22,5								2,39					0,27 ,
							20		14,2			9	5,8							1,16		9	,
						20							5
						20			20,1			0,1					0,005						,
						20						20
						20,1			14,2				5,9						0,296				,
	7+I3		–J = 0,			I7 = J				I3 = 2				0,27			=
I						20								20
									−			−							1,73 A.
																	Таблица сравнения
		Метод						I1, A				I2, A								I3, A						I4, A		I5, A	I6, A	I7, А
		контурных						−0,5				1,5									0,29					1,2		0,005	0,295	1,71
		токов
		Метод
		узловых					−0,485					1,51									0,27					1,16		0,005	0,296	1,73
		потенциалов
																					34

Баланс мощностей Pотд = Рпотр.

Мощность, выделенная источниками:

Ротд= E1I7 + E2I2+E3I3+U51J = 20·1,71 + 21·1,5 + 22,5·0,29 − 17·2= = 34,2 + 31,5 + 6,53 − 34 = 38,2 Вт;

R1I1 + U51= −E1 U51= −E1− R1I1= −20 − 6·(−0,05) = −17 B.

Потребленная мощность:

Pпотр = R1I12 + R2I22 + R3I32 + R4I42 + R5I52 + R6I62 =

=6·(−0,5)2 + 12·152 + 9·0,292 + 5·1,22 + 20·0,0052 + 20·0,2952 = =1,5+ 27 + 0,76 + 7,2 + 0,0005 + 1,74 = 38,2 Bт.

Расчет тока I1 методом эквивалентного генератора (рис. 2)

а) Определение напряжение холостого хода EЭГ = U14ХХ.

I2 ← Е2

2 I6

Запишем уравнения для независимых контуров (без

источника тока):

,

(1)

R2

I33

I4

I11

R6

R4

здесь

коэффициенты

перед контурными

токами

1

4

R5

I5

3

определяются:

U14Х I7

I22

R11= R4+R5+R6 = 45,

R22 = R3+R5 = 29,

→

→

Е3

J

Е1

R12 = R21 = −R5 = −20,

R13= −R4 = −5,

R23 = 0,

I33=J.

>>

5

I3

R3

В матричной форме [R]×[I] = [E] аналогично (*) можем

записать:

45

20

Рис. 2

[R]=

,

[E] =

201029

E11 = 0;

2,5

E22 = E3− E1 = 2,5;

в которой коэффициенты матрицы,

-столбца ЭДС определяются:

E11− R13I33 = 0 − (−5)×2 =10;

E22 − R23I33 = 2,5 + 0 = 2,5 .

Решая систему (1), находим контурные токи:

I11= 0,376 A,

I22=0,345 A.

Токи соответствующих ветвей определяются:

I2 = I33 = J = 2 А,

I4 = I33 − I11= 2− 0,376 = 1,62 А.

Найденные значения токов I2 и I4 позволяют записать уравнение для определения

напряжения в разрыве ветви 1−4:

R2I2 + U14ХХ + R4I4 = E2 ,

откуда

U14ХХ= E2 −R2I2 −R4I4 = 21−12·2−5·1,62 = 21− 24 − 8,1= −11,1 B.

б) Определение входного сопротивления r1-4 = RВХ14 (рис. 3):

2

R6

ВХ

20·9

6,21

;

;

R2

R4

R5 3

Ом

1

4

RВХ14

R8 = R7 + R6

5

R3

= 6,21+20 =

Рис. 3

29

26,1 Ом;

5

26,1

4,2

Ом

;

RВХ14

= R2+ R9

= 12 + 4,2 =

31,1

35

16,2 Ом.

в) Искомый ток ветви

ВХ	эг		ВХU XX

11,1	11,1	0,5 A.
16,2 6	22,2

Расчет потенциальной диаграммы. Примем за базовый узел – узел 5, потенциал которого φ5 = 0.

По закону Ома для участка цепи потенциал узла 4 отличается на величину ЭДС Е1,

поэтому для узла 4 запишем
φ	= φ +E = 0+20 = 20 В.
Потенциал узла 1 отличается от предыдущего на величину падения напряжения на
элементе R1 соответственно:
φ	= φ + R I = 20 + 6·(−0,5) = 17 B.
Рассуждая подобным				образом,	запишем оставшиеся уравнения для определения
потенциалов узлов 2, 3 и 5:
φ = φ + R I =17+12·1,5 = 35 B;
φm	= φm− E2= 35−21 = 14 B;
φ	= φ2+ R6 I6 = 14+20·0,295 = 19,9 B;
φk = φ − E = 19,9−22,5 = −2,6 В;
φ	= φk+ R I = −2,6+9·0,29 = −2,6+2,61					0.
При		построении	потенциальной диаграммы (рис. 4) зададимся масштабом по
соответствующим осям: m = 5 В/см,					mR = 2,5 Ом/см.
			ϕ,	В	ϕm
			35
			30
			25		− E2		ϕ3
			20
			15	ϕ1	ϕ2
			10	E1		− E3	R3
			5					ϕ5
				R1	R2	ϕk		R, Ом
						R6

Рис.4

Задача № 2.

	h	L1
		W
e1	→	M12
	d	i1
R1		1

Рис. 5

Расчет разветвленной цепи синусоидального тока.

									Дано : L1 = 246 мГн; L2 = 1,74 мГн;
		1		L3					L3 = 0,87 мГн; C2 = 2,01 мкФ;
							f		C3 = 4,02 мкФ; R1 = 17 Ом;
								e3
i2				M13	→				ƒ = 1100 Гц;
				L2					Ė1m = 56,5 + j98 В;
					i3		m		Ė	= 46,2 − j32,4.
				2						3m
								C3	Определить: i1(t), i2(t), i3(t) .
				C2
									Решение. Зададимся условно положительными

2направлениями токов в ветвях схемы и выберем направления обхода контуров по окнам (рис. 5).

36

Составим уравнения электрического равновесия по законам Кирхгофа для узла 1: а) для мгновенных значений:

−i1+i2−i3 = 0 ;

1

;

1				1	.

б) в символической форме:

0 ;

1

;

1

1

.

Комплексные сопротивления ветвей:

Z =R +jωL ;

1 ;

1 .

Перепишем уравнение (**) в виде

− m+ m− m= 0 ;

Z m+Z m=Ė m ; Z m+Z m=Ė m

и представим последнюю систему уравнений, используя матричный метод:

1

1

1

0

0

(1)

0

Определим комплексные значения элементов схемы:

XL1

= ωL = 2πƒ·L = 6,28·1100·2,46·10-3 = 17 Ом; где ω = 2πƒ = 6908 с-1;

-3

= 12 Ом;

XL2 = ωL = 6908·1,74·10-3

X

6908·0,87·10

= 6

Ом;

L3

= ωL3 =-1

72

XС2 = (ωС2)

=

Ом;

XС3 = (ωС3)-1 =

,

Ом;

Z = R + jХLI

= 17+ j,

17

36

Ом;

Z = j(ХL2 −ХC2) = j(12−72) = −j60 Ом;

Z3 = j(ХL3

−

ХC3) = j(6

− 36) = −j30 Ом;

39,96 69,30 ;

j60°

; Ė3 =

3m

= 46,2 j32,4 = 56,43e

Ė1m

= 56,5 + j98 = 113e

;

Ė

−

-j90°

32,67− j22,91 , здесь

.

√

37

Подставляя найденные значения Z и Ėm в систему уравнений (1), определим комплексы токов ветвей:

1m = 0,262 + j7,08 А;			1= 0,186 + j5,02 A.
2m = 0,447 + j2,87 А;			2 = 0,32 + j2,03 A.
3m = 0,186 − j4,21 А;			3 = 0,13 − j2,98 A,		здесь				.
Вычислим показания ваттметра:							√
P = Re{ w		w} = Rе{(36,84 − j15,84)×(−0,186 + j5,02) = −3,17 + j2,95 + j185 + 79,5 =
R1 1 +	w =	1;		= 76,3 + j188 = 76,3 Bт.
	1 − R1I1 = 40 + j69,5 − 17×(0,186 + j5,02) = 40 + j69,5 − 3,16 − j85,34 = 36,84 − j15,84 В.
*w = − 1= − 0,186 − j5,02 А;				I*w= − 0,186 + j5,02 А.
Топографическая диаграмма. Примем потенциал узла 1 равным нулю, т.е.											= 0 и
определим соответствующие потенциалы характерных точек схемы (рис. 6):
ƒ =	1 + jХL3 3 = 0 + j6×(0,13 − j2,98) = 17,88 + j0,78 ;
m =	ƒ − Ė3 =17,88 + j0,78 − 32,67 + j22,91 = − 14,79 + j23,69 ;
2 =	m + (−jХC3) = − 14,79 + j23,69 − j36×(0,13 − j2,98) =
		= −14,79 + j23,69 − j4,68 − 107,28 = −122,07 + j19,01;
d =	2 − R1	1 = −122,07 + j19,01−17× (0,186 + j5,02) =
		= −122,07 + j19,01−3,162− j85,34 = −125,232 − j66,33;
h =	+ Ė1 = −125,232 − j66,33 + 39,96 + j69,30 = −85,272 + j2,97;
1 =	h − jωL1 1 = (−85,272 + j2,97) – j17× (0,186 + j5,02)=
		= −85,27 + j2,97 − j3,162 + 85,34 = 0,07 − j0,19 ≈ 0.
			φ	j	см	А
					см	В

φ

φ

φ φ

0	φ	+1

Рис. 6

Баланс мощностей отд= потр

отд = Ė1 1 + Ė3 3 = (39,96 + j69,30)×(0,186 − j5,02) + (32,67 − j22,91)×(0,13 + j2,98) = = 7,44 + j12,93 − j200,8 + 348,9 + 4,26 − j3,09 + j97,7 + 70,8 = 431,4 − j92,3 (Вар);

потр= 1 12 + 2 22 + 3 32 = (17 +	j17)×5,022 + (−j60)×2,052 +(−j30)×2,982 =
= 428,5 + j428,5 − j266,4= 428,5 − j89,9	(Вар).
Погрешность менее 2 %.
	38

График изменения тока i1

во времени

1m=7,1·ej88°

i1(A)

или

i1 = 7,1×sin(6098t + 88°) A

представлен на рис. 7.

2A

Уравнения

электрического

равновесия

для

мгновенных значений в цепи при наличии магнитных

ωt

связей, указанных на рис. 5:

1

0

−i1 + i2 − i3 = 0 ;

+ M

+ M

= e ;

ϕU = 88°

R i +L

+ M

+

L

M

Рис. 7

+ M

+

i dt+ L

= e

L

i dt

+

или в комплексной форме:

− 1m +

2m −

3m = 0 ;

R1 1m + jωL1 1m + jωM12 2m + jωM13 3m + jωL2 2m + jωM12 1m = 1m ;

jωL2 2m + jωM12 1m +

2m +

3m + jωL3 3m + jωM13 1m =

3m .

Решая данную систему методом контурных токов, последняя может быть

представлена в символической форме:

11 +

22 =

11 ;

11

12

21

11 +

22

=

22 .

Направление контурных токов I11 и I22 выберем совпадающими с указанным на рис.

5 направлением обхода

контуров. Коэффициенты при контурных токах

и значения

контурных ЭДС представляются выражениями:

11 = 1 + Z2 + 2jωM12 ;

22 =

2 +

3 ;

12 = 21 = 2 + jωM12 + jωM13 ;

11 =

1 ;

22 =

3.

Задача № 3.

Расчет трехфазной цепи (рис. 8).

К симметричному трехфазному генератору через сопротивления R1 подключены два

приемника, соединенные в звезду и треугольник. Вследствие аварии произошел обрыв

фазы СА третьего приемника (место разрыва указано рубильником на схеме).

Дано: UЛ = 380 В; R1 = 6 Ом;

А

XC2 = 10 Ом; R3 = 9 Ом; XL3 = 9 Ом.

→

W

a

Требуется:

Iab

Ica

все

токи

–

В

1. Расчитать

b

линейные и фазные.

O

→

W

Ibc

2. Найти показания ваттметров

С

и

мощность,

потребляемую

c

→

приемниками.

XL3

векторную

диа-

R1

R3

3. Построить

XC2

грамму токов всех ветвей и

Рис. 8

O′

топографическую

диаграмму

на-

пряжений.

39

Ia3

Решение.

Преобразуем нагрузку (второй приемник),

a

соединенную

звездой

в

эквивалентный

треугольник.

Ib3

Z3

Поскольку емкостные сопротивления фаз этого приемника

b

XC2

равны по условию, то по правилу преобразования можем

записать:

Z3

4 = –j3XC2 = –j30 Ом.

эквивалентного

комплексного

c

Ic3

Найдем

значение

Ib2

сопротивления третьего приемника, состоящего из

последовательного соединения катушки индуктивности L3 и

Ic2

резистора R3.

Ia2

Z4

Z3 = R3 + jXL3 = 9 + j9 Ом.

Рис.

9

В результате участок цепи, включающий в себя второй и

третий потребители, преобразуется в схему (рис. 9).

Соединенные параллельно сопротивления Z3 и Z4 между узлами а и b; b и с заменим

соответствующими

комплексными

сопротивлениями

5

=

6,

численные

значения

которых в показательной и алгебраической формах записи представляются в виде:

3

30 9

9

380,7

,

16,66

,

= 15,47+j6,19 Ом.

3

30

9

9

22,8

IA

a

Получившийся новый треугольник преобразуем в

Z5

эквивалентную звезду,

в лучах которой будут находится

IB

соответствующие комплемплексные сопративления Z6, Z7 и

b

6

8

Z4 Z8, численные значения которых находим по выражениям

7

IC

(рис. 10):

,

Z6

c

,

277,56

Рис. 10

16,66

,

,

16,66

,

,

7,79

2,24

7,46

Ом .

2 15,47

6,19

30

35,6

,

16,66

,

30

14,04

,

11

8,74

Ом .

35,6

,

В результате выполненных преобразований

А

IА

a

Z6

исходная схема (рис. 8) принимает вид (рис. 11).

→

Определим сопротивления фаз преобразо-

O

В

IB

b

Z7

ванной схемы:

→

O′

A = R1

+

= 6 + 11 − j8,74 = 17 − j8,74 =

6

С

R1

IC

c

Z8

= 19,12e-j27,2° Ом;

→

B = R1 +

7 = 6 + 2,24 + j7,46 = 8,24 + j7,46 =

Рис. 11

UO′O

= 1,12ej42,2° Ом;

C =

A = 17 − j8,7 = 19,12e-j27,2° Ом.

40