11-09-12_13-37-11 / ТТ-Бочкарев,Кайдалова

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

ка АВС: А(3,

4),

В(–3,

4),

ка АВ):

хd =

ха хb

3 3

0 ,

С(0, –2),

СD –

его

медиана.

Тогда

координаты

точки

D

yа yb

2

2

4 4

равны …

yd =

4

D (0, 4).

2

2

Если

1,

2 и угол

cos

,

,

b

а

a

b

a

b

a

b

между векторами

и

ра-

(

)

2

b

a

b

b

23.

a

c

a

а

a

а

вен / 3, то скалярное произ-

2

ведение

векторов

и

=

a

a

b

cos (

a

,b ) = 12

+ 1 2 сos ( / 3)

a

равно …

= 1 + 2 (1 / 2) = 2.

c

a

b

Векторы

=

(3,

2k, 5)

и

Условие перпендикулярности

a

24.

= (–3, 1, 2) перпендикуляр-

b

0

axbx ayby

azbz 0

b

a

ны, если k = …

3(–3) + 2k + 5 2 = 0 k = –0,5.

Условие коллинеарности

a

x

a y

a

z

а b =

Векторы

a

(3,

2 , 5) и

bx

by

bz

25.

(–3,

1,

)

коллинеарны,

b

3

2

5

.

если = …, = …

3

1

Значение каждой из дробей равно –1

= –0,5; = –5.

Учитывая свойство скалярного произ-

Известно,

что

а

= 7,

b

=

ведения

b

b 0 , находим

5,

.

Тогда

значение

a

a

26.

b

a

(4

)

= 4

4(

)2

b

a

b

b

b

a

b

b

скалярного

произведения

2

(4b

) b равно…

4

b

100 .

a

Для векторов

а

1, 0, 3 и

Найдем скалярное произведение

.

b

a

6, 1, 2

справедливы

Если

0

векторы

перпендику-

b

a

b

утверждения …

лярны,

если a b 0

угол между век-

1) Векторы

и

не пер-

b

a

торами

тупой,

если

0

угол

b

27.

a

пендикулярны.

острый.

2) Вектор

перпендикуля-

a

axbx ayby

azbz

рен оси Oу.

b

=

= –6 + 6 = 0

a

3) Вектор

параллелен оси

векторы перпендикулярны

невер-

b

Oх.

но утверждение 1).

4) Вектор

образует тупой

Вектор

перпендикулярен

оси, проек-

a

11

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

угол с осью Oz.

ция на которую равна 0 верно утвер-

5) Векторы

и

коллине-

ждение 2).

b

a

арны.

Вектор параллелен оси,

если он пер-

пендикулярен двум другим осям, т. е.

две соответствующие проекции равны 0

утверждение 3) неверно.

Вектор образует тупой угол с той

осью, проекция на которую отрицатель-

на утверждение 4) верно.

Векторы

,

если

=

a

b

а

b

a

x

ay

a

z

1

0

3

век-

bx

by

bz

6 1

2

торы неколлинеарны.

Итак, справедливы утверждения 2) и

4).

i

j

k

3

1

2

1

Векторное

произведение

a b

2

3

1

i

j

1

5

0

5

28.

векторов

а 2, 3, 1 ,

0

1

5

b

0, 1, 5 равно …

2

3

k

16i 10 j 2k .

0

1

ax

a y

az

Смешанное

произведение

(

)

bx

by

bz

,

ab

c

векторов

( 2, 0, 0),

cx

c y

cz

29.

а

b (3, 1, 1)

и

(2, 3, 1)

2

0

0

c

1

1

равно …

(

)

3

1

1

2

4 .

ab

c

3

1

2

3

1

Объем параллелепипеда, по-

Объем параллелепипеда,

построенного

на векторах

,

и

, определяется по

b

а

с

строенного

на

векторах

формуле

30.

( , 0, 0),

b

(3,

1, 1) ,

а

ax

ay

az

(2, 3, 1) ,

равен 4,

если

c

V =

принимает значения …

(abc)

, (ab c)

bx

by

bz

.

cx

cy

cz

12

№	З А Д А Н И Е						Р Е Ш Е Н И Е
		(							0	0				1	1
								3	1	1			4;			4;
			ab c) =											3	1
								2	3	1

(1 3) 4 2 .

Модуль нормированного вектора ра- В евклидовом пространстве вен 1. Тогда

			3									2		1																												2																					2
	R				вектор а ,								,		яв-						a							2															2												1
31.												3		3																																																					1
																																											3												3
	ляется нормированным														при
																								4									1																						5																						2
	значениях , равных …																			2																	1 2																				1																					.
																																																							9
																							9					9																																																3
																		Для заданного вектора																																									х			(х1,												х2 ) со-
																ответствующий																											ему													нормированный
																																																															х						х			2
				Нормированным вектором в												вектор									имеет вид																							х0							=								1				,									, где
			2																																																													х							х
32.	R				для вектора х (3, 4)										явля-
	ется…																						х12 х22																. Тогда																								32 42													5
																		х																																	х
																																																3								4
																																		х0
																																																				,								.
																																														5										5
																		Норма вектора																													(х1, х2, х3,																									х4) оп-
																																												а
				Значение х < 0, при котором												ределяется равенством
																																							х2 х2									х2											х2
																										а
																																					1					2													3								4
33.	норма вектора а (1, 3, х, 1)
	равна 6, равно…																			12 32 х2 ( 1)2																																			= 6 х2 = 25.
																		Откуда x = –5 (x = 5 не удовлетворяет
																условию х < 0).
																		Два вектора в R4 линейно зависимы
																тогда и только тогда, когда координаты
				Векторы					= (х, 10, –4, 12),							их пропорциональны, т. е.
							а
34.					= (3, 5, у, 6) линейно зави-																													х							10						4												12						.
		b
																												3
	симы при х = …, у = …																																				5												у										6
																		Значение каждой из дробей равно 2,
																отсюда находим x = 6, y = –2.

13

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

Нормальный

вектор

плоскости

Нормальный вектор плоско-

n

имеет координатами коэффициенты при

35.

сти

x, y, z в общем уравнении плоскости

х + 2у + z – 15 = 0

Ах + By + Cz + D = 0

имеет координаты…

n (A, B,C)

n (1, 2, 1) .

Из уравнений

Уравнение плоскости

Ах + By + Cz +

а) 2x – 3y + z + 1 = 0;

б) x + 2y – 6 = 0;

D = 0, параллельной оси Oz, имеет ко-

36.

в) x + 3y = 0

эффициент

при

z

равный

0

выберите те, которые опреде-

C 0 Ax By D 0 случаи б) и

ляют плоскость, параллель-

в).

ную оси Oz.

Уравнение

Данная плоскость пересекает все ко-

3х + у – 2z – 6 = 0

37.

ординатные плоскости (Oxy, Oxz, Oyz),

определяет плоскость, пересе-

так как в ее уравнении отличны от нуля

кающую координатные плос-

все коэффициенты при х, у и z.

кости …

Какая точка лежит в плоско-

Координаты точки, лежащей на плос-

сти

кости, должны тождественно удовлетво-

2х + у – 3z + 4 = 0

рять этому уравнению:

38.

1) 2 0 + 0 – 3 0 + 4 0;

из перечисленных?

2) 2 (–2) + 0 – 3 0 + 4 = 0;

1) (0, 0, 0);

2) (–2, 0, 0);

3) 2 5 + (–1) – 3 7 + 4 0;

3) (5, –1, 7);

4) (4, –1, 1).

4) 2 4 + (–1) – 3 1 + 4 0 2).

1 способ. Уравнение прямой у = kx +

b. Точки (0, 2) и (–1, 0) принадлежат

прямой

Уравнение линии на рисунке

b 2,

b = 2, k = 2 у = 2х + 2.

имеет вид…

k b 0

2 способ. Уравнение прямой, прохо-

y

39.

дящей через две точки (х1,

у1)

и (х2,

у2),

2

имеет вид

x x1

y y1

x2 x1

–1

0 x

y2

y1

x 1

y 0

y = 2x + 2.

0 1

2 0

3 способ. Уравнение прямой в отрез-

ках имеет вид

х

y

1

х

y

1

а

b

1

2

14

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

y = 2x + 2.

1 способ. Прямая проходит через на-

чало координат, следовательно, ее урав-

нение имеет вид у = kx, откуда k = у / х.

Так как точка В принадлежит прямой, то

Прямая проходит через точ-

k = –1 / 2.

2 способ. Составим каноническое

40.

ки О(0, 0) и В(–2, 1). Тогда ее

угловой коэффициент равен…

уравнение прямой, проходящей через

точки О(х1, у1) и В(x2, y2):

х х1

у у1

х 0

у 0

х2 х1

у2 у1

2 0

1 0

у = –х / 2 k = –1 / 2.

1 способ.

По условиям задачи

А 0,

В 0, С 0. Прямая проходит через точ-

График прямой линии, за-

ки (0,

1)

и

(1, 0)

В С 0,

данной уравнением

А

С 0

Ах + Ву + С = 0,

В А= – С справедливы утвер-

ждения 1) и 3).

имеет вид…

2 способ. Преобразуем общее уравне-

ние прямой

Ах + Ву + С = 0

41.

у

к виду

x

y

1. Введем обо-

1

C / A

C / B

0

1 х

значения a

C

, b

C

x

y

1

B

Правильными

утверждениями

A

a

b

– уравнение прямой в отрезках. В дан-

являются…

C

ном случае а = 1 и b = 1

1,

1) АВ > 0;

2) BC > 0;

A

3) BC < 0;

4) AB < 0.

C

1

A = B = –C АВ > 0; BC < 0,

B

т. е. справедливы утверждения 1) и 3).

Расстояние от точки М(1, 2)

Расстояние от точки М(х0, у0) до пря-

до прямой

мой Ах + Ву + С = 0 определяется по

42.

4у = 3х + 10

формуле

Ax0 By0

C

d

равно…

A2 B2

15

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

d

3 1 ( 4) 2 10

5

1 (ед.).

5

3

2

( 4)

2

Треугольник

с

вершинами

Из условия

равенства

длин

сторон

A(0, 1), B(2, –3), C(4, k) и ос-

треугольника

AB

AC

имеем

43.

нованием BC является равно-

бедренным при

k <

0 рав-

(2 0)2 (3 1)2

42

(1 k)2

ном…

4 = (1 – k)2 k1 = 3,

k2 = –1 k = –1.

Уравнением прямой, парал-

Условие параллельности двух прямых

лельной у = 2х –1, является …

А1х + В1у + С1 = 0 и А2х + В2у + С2 = 0

44.

1) 2х + у + 1 = 0;

имеет

вид

A1

B1

,

0 R

2) х – у – 2 = 0;

B2

3) х + у – 1 = 0;

A2

4) 2х – у + 3 = 0.

данной прямой параллельна прямая 4).

Уравнение прямой перепишем в кано-

Даны уравнения плоскостей

ническом виде

х 3

у 1

z

на-

2

3

1

1) – 3х + 5у – z – 2 = 0;

правляющий

вектор

прямой

2)

– у – 3z + 5 = 0;

(2, 3, 1) .

Нормальные векторы для

s

3)

– х – 3z – 2 = 0;

каждой из плоскостей равны соответст-

45.

4)

– 5х + 3у – z – 3 = 0.

венно

n1 ( 3, 5, 1) ,

2 (0, 1, 3) ,

n

3 ( 1, 0, 3) ,

4 ( 5, 3, 1) .

Прямая x = 3 + 2t,

n

n

Условие параллельности данной пря-

y = –1 + 3t;

мой и

плоскости

состоит

в равенстве

z = – t

параллельна плоскости…

нулю скалярного произведения

n

s

0 .

Это равенство выполняется только для

плоскостей 2), 4).

2

Образ вектора

x

в ба-

y Ax

4

46.

зисе

линейного

оператора,

1

2

2

6

заданного

матрицей

=

1

2

y

5

12

.

4

4

A

, имеет вид…

4

5

47.

Если

линейный

оператор в

В

базисе

(

е1,

е

2 )

вектор

1

е1 0

2 . Тогда образ у = Ах имеет

базисе (

е1,

е

2 ) задан матрицей

х

е

вид

16

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

2

1

, то образ у = Ах

Aх

2 1

1

2

A

3

4

3 4

0

3

вектора

х

е1 имеет вид …

у = (2, 3).

Уравнение

Дополним уравнение до полного квад-

2x2 + 2y2 + x = 0

рата 2(x2 + x / 2 + 1 / 16) + 2y2 = 1 / 8

48.

2(x + 1 / 4)2 + 2y2 = 1 / 8 (x + 1 / 4)2 +

определяет на плоскости…

y2 = 1 / 16

окружность с центром

О(–1 / 4; 0) и радиусом R = 1 / 4.

Уравнение окружности с центром в

точке (х0, у0) и радиусом R имеет вид

Если С(1, 1) – центр окруж-

(х – х0)2 + (у – у0)2 = R2

49.

ности,

которая проходит через

(х – 1)2 + (у – 1)2 = R2.

точку А(5, 4), то уравнение

Точка А(5, 4) принадлежит окружно-

этой окружности имеет вид …

сти, следовательно,

(5 – 1)2 + (4 – 1)2 = R2 R = 5.

Итак, (х – 1)2 + (у – 1)2 = 25.

Кривизна окружности, за-

Для окружности радиуса R кривизна

равна k 1/ R . Для нахождения радиуса

данной уравнением

окружности

дополним

уравнение до

50.

х2 – 2х + у2 + 2у – 7 = 0,

полного квадрата

(x

2

2x

1) (y

2

2y 1) 9 ,

равна…

(x 1)2

(y 1)2 9

О(1; –1), R = 3.

Тогда k = 1 / 3.

Если

уравнение гиперболы

x2

y2

имеет вид

(a 0, b 0) – канониче-

2

2

1

51.

x

y

1 ,

a2

b2

ское уравнение гиперболы, где а – дей-

4

9

ствительная полуось, b – мнимая полу-

то длина ее действительной

ось а = 2.

полуоси равна…

Уравнение

z

x2

y2

оп-

Уравнение

гиперболического парабо-

x2

y2

52.

2 р

2q

лоида имеет вид z

. Тогда

ределяет

гиперболический

a2

b2

параболоид, если…

2р > 0, 2q < 0.

53.

Геометрический образ урав-

Приведем

канонические

уравнения

нения

основных поверхностей второго порядка

17

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

x2

y2

z2

x2

y2

z

2

0

1

–

эллипсоид,

5

3

a2

b2

c2

6

x2

y2

z2

есть…

1

– однополостный ги-

a2

b2

c2

перболоид,

x2

y

2

z2

1 – двуполо-

a2

b2

c2

стный гиперболоид,

z

x2

y2

– эл-

a2

b2

липтический параболоид,

z

x

2

y2

–

a

2

b2

гиперболический

параболоид,

x2

y2

1 – эллиптический цилиндр,

a2

b2

x2

y2

1 – гиперболический цилиндр,

a2

b2

y2 2 px

–

параболический

цилиндр,

x2

y2

z

2

0 –

конус

в

данном

a2

b2

c2

случае конус, а2 = 5, b2 = 6, c2 = 3.

Если все

i 0 ,

где i

– собственные

значения матрицы A квадратичной фор-

мы, то квадратичная форма называется

положительно определенной.

Квадратичная форма

Составим матрицу квадратичной фор-

3

мы A

. По критерию Силь-

х

2 6х х

2

5х

2

3 5

54.

1

1

2

вестра для положительно определенной

квадратичной формы

главные

миноры

является

положительно опре-

3

деленной при равном …

матрицы

1 ,

2

должны

3

5

1) –5;

2) 0;

3) 1;

4) 2.

удовлетворять условиям

1

0,

0,

3

0

2

0

3

5

18

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

> 9 / 5. Таким образом, в версиях отве-

тов верно только 4).

Составим матрицу квадратичной фор-

2

мы A

Квадратичная форма

5

. По критерию Силь-

2

х2

4х х

5х

2

вестра в случае отрицательно опреде-

2

ленной формы главные миноры матрицы

1

1

2

2

55.

является отрицательно опре-

1 ,

2

должны

удовле-

2

5

деленной при равном …

творять условиям

1) 3;

2) 5;

1

0,

0,

< –4 / 5.

3) –2;

4) –0,5.

2

0

5 4 0

В версиях ответа этому условию удов-

летворяет только = –2.

На плоскости введены пря-

Формулы, выражающие декартовы ко-

моугольная и полярная систе-

ординаты точки через полярные, имеют

мы координат, причем поло-

вид

56.

жительная

полуось

абсцисс

x r cos ,

совпадает

с полярной осью.

Если (r, ) – полярные коор-

y r sin .

динаты точки М, то абсцисса

Поэтому х = r cos .

этой точки равна…

Полярная и декартова системы коор-

динат связаны соотношениями

r

х2 у2 ,

у

x r cos ,

sin

,

r

y r sin ,

x

Полярные координаты точки

cos

,

r

57.

М(–1,

) имеют вид…

3

r 0, 0 2 .

В условиях задания имеем

r

( 1)2

(

3)2 2 , cos = –0,5;

2

sin =

3 / 2 = 2 / 3

2,

–

3

полярные координаты точки (–1,

3

).

19

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

Уравнение линии

(r 2 cos 2 r 2 sin 2 )3

3r cos

(х

2

2

3

= 3х

+ у )

58.

в полярных

координатах

r6 (cos 2 sin2

)3

3r cos

( x r cos ,

y r sin ) имеет

r 6 3r cos r 5

3cos .

вид…

Разностью множеств A и B называ-

ется множество, состоящее из всех тех

А и В – множества действи-

элементов

множества

A , которые не

тельных чисел:

А 2, 5 ,

принадлежат множеству B .

59.

В 0, 8 .

Тогда

множество

А

В

А \ В равно…

–2

0

5

8

х

А \ В

А \ В = 2,

0 .

Декарто-

yy

вым

произве-

дением

мно-

A B

жеств

А и

В А

называется

b

множество

0

B

Даны множества

всех

упоря-

1

2

3 x

доченных пар

A = {b, y} и B = {1, 2, 3}.

элементов

(x, y) ,

в которых

x A ,

60.

Тогда декартовым (прямым)

y B .

Если А и В – числовые множества, то

произведением A B являет-

элементами

декартова

произведения

ся…

этих

множеств

будут

упорядоченные

пары чисел. Изображение каждой пары

чисел на плоскости позволяет получить

фигуру на этой плоскости. Таким обра-

зом,

A B = {(b, 1), (b, 2), (b,3), (y, 1), (y, 2),

(y, 3)}.

Пересечение множеств

Пересечением множеств А и В называ-

А = {1, 3, 5, 10}

ется множество, образованное из всех

61.

и

тех элементов, которые принадлежат и

В = {3, 5, 7}

множеству А, и множеству В A B =

равно…

{3, 5}.

20