11-09-12_13-37-11 / ТТ-Бочкарев,Кайдалова

№	З А Д А Н И Е	Р Е Ш Е Н И Е
		А \ В

	На диаграмме Эйлера-Венна																										А		В
	приведена							геометрическая									А В = A + B												А В =А В
	иллюстрация понятия…
																																		В
																					А
																								В
	62.																														А
						А			В															А \ В.
															В условиях задания отмечены точки
															множества А, не входящие в множество
															В, поэтому имеем геометрическую ил-
															люстрацию понятия разности множеств
															А и В.
															В сложном высказывании																								ис-
																																		А В
															пользуются						2			операции:							« » и «									».
	Правильная							таблица					истин-		Вначале выполняется « »,																		затем «							».
															Для каждой из них имеем таблицы ис-
	ности		высказывания										А В ,
															тинности:
	63. где	,				– обозначения опе-
	раций		конъюнкции								(умноже-						А				В			А В
																															А В
	ния) и отрицания, имеет вид…
																	0				0		0										1
																	0				1		0										1
																	1				0		0										1
																	1				1		1										0
															Имеем							сложное									высказывание
	Укажите правильную табли-														р q r . Составим													таблицу истинно-
	цу	истинности логического													сти, выполняя сначала операцию умно-
	высказывания							р q r …							жения ( ),						а затем сложения ( ) выска-
															зываний:
					p			q			r
																p					q			r			p q				р q r
			0					0			0
																0					0			0				0					0
	64.		0					0			1
																0					0			1				0					1
			0					1			0
																0					1			0				0					0
			0					1			1
																0					1			1				0					1
			1					0			0
																1					0			0				0					0
			1					0			1
																1					0			1				0					1
			1					1			1
																1					1			1				1					1
			1					1			1
																1					1			1				1					1

21

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

Даны

комплексные числа

3z1 3 3i , –2 z2 6 8i ,

65.

z1 1 i

и

z2 3 4i . Тогда

3z1 2z2 = –3 – 11i.

3z1 2z2

равно…

Если

z 1 i ,

z

2

2 i ,

то

z z

2

(1 i)(2 i) 2 2i i i2 ,

так

66.

1

1

z1 z2 равно…

как i

2 = –1, то z z

=

3 i .

2

1

z

1 i

(1 i)(2 i)

2 2i i i

2

Если

z1 1 i ,

z2 2 i ,

то

1

2 i

(2 i)(2 i)

4 1

67.

z2

z1 / z2

равно…

1 3i

1

3

i .

=

=

5

5

5

На

рисунке

y

z

представлена

2

Тригонометрическая

форма

записи

геометриче-

r

y

имеет вид

z r(cos i sin ) , где

=

ская

иллюст-

рация

ком-

/ 4,

r

x2 y2

22

22

(см.

68.

2

2

плексного

0

x

2

x

числа

рисунок) z =

i sin

z x iy . Тогда

тригономет-

2

2

cos

.

4

рическая форма записи этого

4

числа имеет вид…

Произведение комплексного

z

x iy = 4 + 3i.

z

z

(4 3i)(4 3i) 16 ( 1)9 25 .

69.

числа

z 4 3i

на сопряжен-

Замечание. Можно использовать свой-

ное число

z

равно…

ство z

z

z

2 .

Модуль и аргумент комплексного чис-

ла определяются по формулам

r =

z

x2 y2

,

arg z

Модуль и главное значение

(см.

рисунок

из

№

68).

70.

аргумента комплексного числа

z

( 4)2 02 4 . Так как

y r sin ,

z 4 равны…

x

x r cos , ,

то

cos

4

y

0

r

1, sin

0 = .

4

r

4

71.

Показательная форма записи

Комплексное

число

в

показательной

числа

22

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

z 1 i

форме имеет вид z r ei , где

3

z

( 1)2 (

z

r,

имеет вид…

3)2 2 ,

x

y

cos

1/ 2,

sin

3

r

r

2

=

2 / 3.

Тогда z 2 ei2 / 3 .

Если f (z) 4z2 –

4i,

тогда

f (z) 8z

f (2 2i) 8(2 2i) =

72.

значение

производной

этой

16 16i .

функции

в точке

z0 2 2i

равно…

На числовой прямой

дана

-окрестностью точки х0

служит ин-

точка х = 5,6. Тогда ее « -

тервал x0

; x0

интервал дол-

73.

окрестностью» может являть-

жен быть симметричен относительно х

ся интервал…

х0

х0

х0

(5,4;

5,8)

а) (5,6; 5,8),

б) (0, 6),

в) (5,4; 5,8);

г) (5; 6).

ответ в).

2

Задано множество точек на

числовой

прямой:

а = 1,2;

-окрестности точки х = 1

при = 1,1

b = 2, c = 2,3, d = 0,5,

e =–0,01,

74. f = –1,3. Тогда количество то-

есть интервал (–0,1; 2,1). Поэтому в ок-

рестности содержатся 4 точки заданного

чек этого множества, принад-

множества: 1,2; 2; 0,5 и –0,01 4 точки.

лежащих -окрестности точки

х = 1 при = 1,1, равно…

Мера множества, изобра-

Мерой точечного множества в R2

яв-

женного на рисунке, равна…

ляется площадь фигуры. Площадь дан-

уной фигуры находим как разность пло-

										3		щадей двух прямоугольных треугольни-
	75.									2		ков. Получаем
												S		1	3 1			1		2 1						1
										у = –3х
												2				2								2
				у = –2х																	1
							–1		0	1	x	мера множества равна											.
																			2
			Три первых члена числовой									В каждом из				случаев								для				первых 3
	последовательности										есть
												элементов имеем
	76.	1			1		1
			,			,		.	Тогда		формула	1				1			1					1
	4 10 18											1) аn =				:			,					,				;
													n (n 3)
	общего члена									последователь-						4			10					18

23

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

ности имеет вид…

2) аn =

1

: 1 , 1 , 1 ;

1

1

1)

;

;

6n 2

4

10

16

n (n 3)

2)

6n 2

3) аn =

1

: 1 , 1 , 1 ;

1

1

(n 2) (n 1)

6 12 20

3)

(n 2) (n 1)

;4) 2n (n 1) .

4) аn =

1

: 1 , 1 , 1 .

2n (n 1)

4

12

32

Поэтому формула общего

члена

по-

следовательности аn

=

1

.

n (n 3)

Числовая

последователь-

Так как а3 = а2

а1, а4

= а3 а2, то име-

77.

ность

задана

рекуррентно

ем

а3 = 6,

а4 = 18.

формулой аn + 1 = аn аn – 1, где

а1 = 2, а2 = 3. Тогда значение

элемента а4

равно…

Так что а4 = 18.

Функция

Это

немонотонная

y

функция на промежут-

5

у= х2–4

y x2

4

ке

1;

3 .

Построим

78.

график функции у = х2

–1

– 4. Множество

–2

0

2 3

x

отображает множество

1; 3

1; 3

по оси Ох отображает-

–3

на множество …

ся на множество [–4; 5]

–4

по оси Оу.

Предел

lim

2x2 2

0

lim

2(x 1)(x 1)

2x

2

2

2

79.

lim

x 1 3x

9x 6

0

x 1 3(x 1)(x 2)

2(x 1)

x 1 3x2 9x 6

равен…

= lim

4 / 3 .

x 1 3(x 2)

1 способ. lim

2x 1

3

x x 2

Предел

2x 1

lim

x(2 1/ х)

0 .

80.

x x2(1 3/ х2)

lim

2x 1

x x2 3

2 способ. lim

=

равен…

3

x x 2

lim

f (x)

lim 2 0 .

x

x

2x

(x)

24

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

Предел

3/ х

lim 1 4х

1

81.

lim 1 4х 3/ х

x 0

3

x 0

1 4х

lim

12х

х

равен…

=

lim

1 4х

4х

= еx 0

х

е12 .

x 0

82.

Функция

y

x 2

– беско-

x 2 , так как

lim

x 2

0 .

x 2

x 2

нечно малая в точке…

x 2

Скачок функции

Найдем

lim

f (x)

и

lim

f (x) :

x 1 0

x 1 0

2,

x 1,

lim

f (x) 2 ,

lim

f

(x)

lim

83.

y

x 1 0

x 1 0

x 1 0

2 2x, 1 x 1,

(2 2x) 4

s(–1) =

lim

f (x) –

ln x, x 1.

lim

f (x) = 2.

x 1 0

в точке x = –1 равен…

x 1 0

1)

lim

f (x) lim

f (x) f (a)

x a 0

x a 0

x = a – точка разрыва первого рода (уст-

ранимого), так как односторонние пре-

Установите

соответствие

делы равны, конечны, не равны значе-

между

графиком

функции

и

нию функции;

характером

разрыва

в точке

2)

lim

f (x) lim

f (x) x = a –

x = a.

x a 0

x a 0

точка разрыва I рода (неустранимого),

84.

так как односторонние пределы конеч-

у

1

2

3

4

ны, не равны между собой;

3)

lim f (x) f (a)

x = a – точка

x a

непрерывности;

0

a

a

a

a

x

4)

lim

f (x) ;

lim

f (x)

сущест-

x a 0

x a 0

вует и конечен x = a – точка разрыва

II рода (хотя бы один из односторонних

пределов бесконечен либо не существу-

ет).

Р(х) (х 1)(х 1)(х 1,5)

Действительными корнями многочле-

является разложением много-

85.

на Р(х) являются –1,5; –1; 1, которые

члена над полем действитель-

принадлежат множеству

ных чисел. Тогда его корни

А x R

1,5 x 1 .

принадлежат множеству А…

25

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

1

способ.

у

у1 = х3

Отделим

кор-

А(–0,5;1,25)

ни

графиче-

у2=1–х2–х

1

ски.

Для этого

0

1

х

построим

гра-

фики функций

у1 = х3 и у2 = 1 – х – х2.

Из рисунка видно, что положительный

корень уравнения принадлежит

интер-

валу (0, 1).

Для уточнения интервала

вычислим

значения функции на концах интервалов

1) у(1,5) = 1,53 + 1,52 + 1,5 – 1 > 0;

Действительный

корень

у(2) = 23 + 22 + 2 – 1 > 0

–

–

+

уравнения

на интервале (1,5; 2)

0

0,5

1

х

х3 + х2 + х – 1 = 0

корней нет;

86.

2) у(0) = – 1 < 0; у(0,5) = 0,53 + 0,52 +

принадлежит интервалу…

+ 0,5 – 1 < 0 на интервале (0; 0,5) кор-

ней нет;

1) (1,5; 2),

2) (0; 0,5),

3)

у(1) = 13 + 12 + 1 – 1 > 0; у(1,5) =

1,53 + 1,52 + 1,5 – 1 > 0 на интервале

3) (1; 1,5),

4) (0,5; 1).

(0; 0,5) корней нет;

4) у(0,5) = 0,53 + 0,52 + 0,5 – 1 < 0;

у(1) = 13 + 12 + 1 – 1 > 0

интервал

(0,5; 1) содержит корень.

2 способ. Функции у1 = х3

и у2 = 1 – х –

х2 имеют противоположный характер

монотонности

при х

(0,

1):

2

0,

х 0, по-

у1(x) 3х

у2 (x) 1 2

этому на интервале (0, 1) только один

корень уравнения. Интервалы 1) и 3) не

содержат корней.

у(1) > 0, у(1,5) > 0, у(0,5) < 0 интер-

вал (0,5; 1) содержит корень.

Три итерации метода поло-

Вычислим значения функции на кон-

винного деления при решении

цах и в середине отрезка [0, 8]:

уравнения

у(0) =– 2,4 < 0; у(8) = 82 – 2,4 > 0;

87.

х2 – 2,4 = 0

у(4) = 42 – 2,4 > 0

на отрезке [0, 8] требуют по-

корень содержит отрезок [0, 4].

Вычислим значение функции в сере-

следовательного

вычисления

дине отрезка [0, 4]: у(2) = 23 + 22 + 1 – 1

26

№

З А Д А Н И Е

Р Е Ш Е Н И Е

значений функции

> 0 корень содержит отрезок [0, 2].

у = х2 – 2,4

Далее у(1) = 13 + 12 + 1 – 1 > 0 ко-

рень содержит отрезок [0, 1].

в точках…

Итак, х1 = 4, х2 = 2, х3 = 1.

Интерполяционный

много-

член Лагранжа второго поряд-

ка

для функции y

= f (x),

график которой проходит че-

рез точки с абсциссами x = 1,

x = 3, x = 5, имеет вид…

1) P(x) = (x –3)(x– 5) f (1)+(x–1)

(x – 5)f (3) + (x– 1)(x – 3)f (5);

Интерполяционный

многочлен Ла-

2)

Р(х)

(х 3)(х 5)

f (1)

гранжа P(x) в точках x = 1, x = 3, x = 5

8

должен принимать соответственно зна-

+

(х 1)(х 5)

f (3)

чения f (1), f (3), f (5). Эти условия вы-

полняются только для многочлена 2:

4

+

(х 1)(х 3)

f (5) ;

( 2)( 4)

88.

8

Р(1)

f

(1) 0 0 f (1) ;

(х 3)(х 5)

8

3) Р(х)

f (1)

Р(3) 0

2( 2)

f (3) 0 f (3) ;

8

(х 1)(х 5)

f (3)

4

4

+

(х 1)(х 3)

f (5) ;

Р(5) 0 0

4 2

f (5) f (5) .

8

8

4) Р(х)

(х 3)(х 5)

f (1)

15

(х 1)(х 5)

f (3)

5

+

(х 1)(х 3)

f (5) .

3

27

П Р О В Е Р О Ч Н Ы Й Т Е С Т З А П Е Р В Ы Й С Е М Е С Т Р

№	З А Д А Н И Я																В А Р И А Н Т Ы О Т В Е Т О В
	Какие операции							определены							на	А. Только 1) и 3);
1.	множестве целых чисел Z?															Б. Только 2);
	1) a b a b ;		2)					a b ab ;								В. Все;
	3) a b a/b ;				4) a b a b.											Г. Только 4);
																Д. Только 1) и 4).
	Разложение определителя															А.	3								2	3														2	3							5				2			2				;
																									2	1														1	1											4			2
		2	2					3								Б.					2					3										2					3									2	2				;
																					2					1										1					1									4	2
2.		3	1					5
																В. 3			2							3								2							3												2					2
		4 2 1																																									( 5)																	;
																			2							1								1							1												4					2
	по второй строке имеет вид…															Г.	3						2			3												2			3							( 5)									2	2				.
																							2			1												4			1																4	2
					1			2		1	3					А. 1;
					0			4		2	0
	Определитель														ра-	Б. 2;
3.					3			1		0	0
																В. 4;
					0			2		1	0					Г. 0;
																Д. 3.
	вен…
	Если все элементы определителя															А. На два;																																Б. В восемь раз;
4.	второго порядка умножить на 2, то															В. В два раза;
	новый определитель будет больше															Г. На восемь;
	исходного…															Д. В четыре раза.
							1	0			0					А. 0;
5.	Определитель						0	2			0			=	0	Б. 0,5;
							0	0		2 1						В. 1;
																Г. 3;
	при равном…															Д. 2.
		3	1					1								А. –6;
			4								является
	Матрица 0							2								Б. 6;
6.																В. –2;
		0						1
	вырожденной, если число рав-															Г. 18;
																Д. 2.
	но…
28

№	З А Д А Н И Я							В А Р И А Н Т Ы О Т В Е Т О В
								0				2				0		1
			1	2			А.								Б.						;
									8		6		;				4	3
	Если	A				и
			4	5				1					5			1		3
7.	1 1						В.								Г.							;
										4		14		;			8	8
			С = 2А + В имеет
	B	, то
	0	2						1				0
	вид…						Д.
									4			.
											1
			1		2	3	А. 0;
	Ранг матрицы				6		Б. 2;
8.			А 3			9	В. 1;
				4	8
						12	Г. 3;
	равен …						Д. 4.
	Если (x0, y0) – решение СЛУ						А. –0,5;
9.		x 2 y 3;					Б. 1;
							В. 1,5;
		3x 2 y 5,					Г. –1;
	тогда x0 – 2y0 равно…						Д. 0.
								x х					3х		0,			x1 х2 3,
							А.			1		2		3		Б.
									х			х 1,						х х					1;
											2		3
								х			х		0;					1			2
										1		3
								2x1 х2 х3 7,
							В. х1 х3 3,
	Для обратного хода метода Гаус-										х2		х3		1;
10.								х1
	са подготовлена следующая систе-							x1			4х2 х3 0,
	ма линейных уравнений…
							Г. х1 х2 1,
											х3		0;
								х2
								x1 8х2 х3 4,
							Д. х2 х3 2,
												10.
								5х3
	Пусть A и B – обратимые квад-						А. B–1A–1;
							Б. A–1B;
11.	ратные	матрицы	одного		порядка.		В. BA–1;
	Тогда решение матричного уравне-						Г. A–1B–1;
	ния AX = B имеет вид…						Д. AB–1.

29

№

З А Д А Н И Я

В А Р И А Н Т Ы О Т В Е Т О В

Решение матричного уравнения

2

1

0

1

А.

;

Б.

;

1

1

1

0,5

1 1

0

1

1 1

2 1

12.

В.

;

Г.

;

X

1

2

1 1

1 0

1 1

1

1

имеет вид…

Д.

1

0

.

Если

А. –14;

Б. 14;

12i 4 j 6k

,

то

a

13.

a

…

В. 22;

Г. 10;

Д.

124 .

Векторное произведение

векто-

А. 18;

Б. 9;

14.

ров

и

,

где

А(5, 3, 7),

В.

12i 6 j 12k

; Г.

12i 6 j 12k

;

ВA

ВC

В(0, 1, 1) и С(1, –1, 1), равно…

Д.

.

12i 6 j 12k

Какие из следующих пар векто-

А. Ни одна;

ров образуют ортогональный ба-

зис?

Б. Только 2) и 3);

15.

В. Все три;

b

1) a = (1, 2);

= (–1, –2),

Г. Только 2);

2)

a

= (0, 1);

b

= (–2, 0),

Д. Только 1).

3)

= (2, –3);

= (3, 2).

a

b

Объем

пирамиды

с

вершинами

А. 12;

Б. 1;

16.

А(5, 3, 7),

В(0, 1, 1),

С(1, –1, 1) и

В. –12;

D(0, 1, 1) равен…

Г. –1;

Д. 0.

Даны

две

смежные

вершины

А. 25;

Б. 5;

17.

квадрата А(3, –7) и В(–1, 4). Тогда

В. 137;

площадь этого квадрата равна…

Г.

137

;

Д. 6.

y

1

А. 2 x – y + 2 = 0;

Уравнение линии

на

Б. y = –2x + 2;

18.

0

x

рисунке имеет вид…

В. y = –2x;

–2

Г. y = x + 1;

Д. 2x – y – 2 = 0.

Прямая

на

плоскости

задана

А. Вторую четверть;

19.

уравнением

у = kx + b,

причем

Б. Первую четверть;

k > 0, b > 1. Тогда эта прямая не

В. Третью четверть;

проходит через…

Г. Четвертую четверть.

20.

Угловой коэффициент k и вели-

А. k = 0,5; b = 3;

Б. k = –0,5; b = 3;

чина отрезка b, отсекаемого прямой

В. k = –0,5; b = –3;

30