1.6.3. Перевод десятичных чисел, содержащих целую и дробную части

Перевод десятичных чисел, содержащих целую и дробную части, из десятичной системы счисления в систему с произвольным основанием р выполняется отдельно для целой и дробной частей числа.

1.6.4. Перевод правильных простых дробей

Алгоритм перевода тот же, что и для десятичных дробей: умножение сначала исходной дроби, а затем – получающихся дробных частей на основание новой системы и выписывании цифр результата в порядке их появления.

Пример перевода простой дроби А₁₀ = (с точностью до пяти цифр):

Ответ: А₂ ≈ 0,10010₂, точнее ответ можно записать так: А₂ ≈ 0,(100), где цифры (100) обозначают период дроби.

1.7. Перевод чисел из системы с основанием p в систему с основанием q

1.7.1. Общий случай

В общем случае перевод чисел из системы с основанием p в систему с основанием q легче всего выполнять по схеме:

A_p → A₁₀ → A_q,

т. е. сначала число из системы с основанием р следует перевести в привычную десятичную систему, а затем полученное число необходимо из десятичной системы перевести в систему с основанием q.

Например, переведем число А₈ = 32,4₈ в двоичную систему счисления.

Десятичное число А₁₀ = 3·8¹ + 2·8⁰ + 4·8^–1 = 26,5₁₀.

Делением получим целую часть числа 26,5₁₀ в двоичной системе:

_ 26 | 2 0

26 _ 13 | 2 0

0 12 _ 6 | 2 0

1 6 _ 3 | 2 0

0 3 _ 1 | 2 0

1 0 0

1

Целая часть равна 11010₂, а дробная часть очевидна: 0,5₁₀ = 2^–1 = 0,1₂.

Ответ: А₂ = 11010,1₂.

1.7.2. Поразрядные способы перевода чисел для систем с кратными основаниями

Перевод числа из восьмеричной системы счисления в двоичную систему можно выполнить проще, если использовать поразрядные способы перевода для систем с кратными основаниями. Системы счисления называют системами с кратными основаниями, если для оснований систем счисления p и q справедливо соотношение: p = q^k, где k – натуральное число.

Примером систем с кратными основаниями являются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы (2³ = 8; 2⁴ = 16).

Перевод чисел в системах с кратными основаниями прост и не требует выполнения арифметических действий.

Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную систему и обратно основан на замене каждой восьмеричной цифры тремя двоичными разрядами – триадой, и наоборот – замене каждой группы из трех двоичных разрядов одной восьмеричной цифрой.

Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему основан на замене каждой шестнадцатеричной цифры четырьмя двоичными разрядами – тетрадой, и наоборот – замене каждой группы из четырех двоичных разрядов одной шестнадцатеричной цифрой.

При переводе чисел в системах с кратными основаниями, для которых справедливы соотношения p = 2^к и q = 2^m, удобно воспользоваться табл. 2.

Рассмотрим на примерах перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную и обратно.

П р и м е р 1.

Дано: А₈ = 205,24₈. Найти: А₂.

Для получения результата каждую двоичную цифру заменим триадой:

А₈ = 2 0 5 , 2 4;

А₂ = 010 000 101 , 010 100.

Ответ: А₂ = 10000101,0101₂.

П р и м е р 2.

Дано: А₁₆ = 2Е5,24₁₆. Найти: А₂.

Для получения результата каждую двоичную цифру заменим тетрадой:

А₁₆ = 2 Е 5 , 2 4;

А₂ = 0010 1110 0101 , 0010 0100.

Ответ: А₂ = 1011100101,001001₂.

П р и м е р 3.

Дано: А₂ = 1010110,11001₂. Найти: А₈ и А₁₆.

Для перевода необходимо разбить заданное двоичное число влево и вправо от запятой на триады (тетрады). Неполные триады (тетрады) дополняются нулями:

А₂ = 001 010 110 , 110 010;

А₈ = 1 2 6 , 6 2;

А₂ = 0101 0110,1100 1000;

А₁₆ = 5 6 , С 8.

Ответ: А₈ = 126,62₈; А₁₆ = 56,С8₁₆.

П р и м е р 4.

Дано: А₁₆ = АВВА,D0C₁₆. Найти: А₈.

Для упрощения перевода из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно в качестве промежуточной системы удобно использовать двоичную систему:

А₁₆ = А В В А , D 0 C;

А₂ = 1010 1011 1011 1010, 1101 0000 1100;

А₂ = 001 010 101 110 111 010, 110 100 001 100;

А₈ = 1 2 5 6 7 2 , 6 4 1 4.

Ответ: А₈ = 125672,6414₈.