Для перевода числа 1510 в двоичную систему счисления необходимо выполнить последовательное деление на 2 и выписывание остатков в порядке, обратном их получению (см. П. 1.6.1):

_ 15 | 2 0

10 _ 7 | 2 0

1 4 _ 3 | 2 0

1 2 _ 1 | 2 0

1 0 00

1

Получили запись уменьшаемого в двоичной системе счисления: 1111₂.

Вычитаемое 322,2₄ записано в четверичной системе счисления, для перевода его в двоичную систему следует воспользоваться схемой

A₄ → A₁₀ → A

и учесть, что 2² = 4. Двоичная и четверичная системы являются системами с кратными основаниями. При переводе числа из шестнадцатеричной системы в двоичную каждую шестнадцатеричную цифру заменим группой из четырех двоичных цифр (тетрадой). При переводе числа из восьмеричной системы в двоичную каждую восьмеричную цифру заменим группой из трех двоичных цифр (триадой). По аналогии при переводе числа из четверичной системы в двоичную каждую четверичную цифру заменим группой из двух двоичных цифр (диадой):

А₄ = 3 2 2 , 2₄

А₂ = 11 10 10 , 10₂.

Получили запись вычитаемого в двоичной системе счисления: 111010,10₂.

Вычитаемое больше уменьшаемого, поэтому (см. п. 1.3.2) вычтем из большего числа меньшее, полученному результату присвоим знак «минус»:

и переведем результат в десятичную систему счисления:

А₂= 1·2⁵+ 0·2⁴+ 1·2³+ 0·2²+ 1·2¹+ 1·2⁰+ 1·2^-1= 43,5₁₀.

Добавим знак «минус» и получим: – 43,5₁₀.

2-й вариант

Число 120₃ равно 15₁₀. Переведем число 322,2₄в десятичную систему счисления:

322,2₄= 3·4²+ 2·4¹+ 2·4⁰+ 2·4^-1= 58,5₁₀.

15₁₀– 58,5₁₀= – 43,5₁₀.

Ответ: – 43,5₁₀.

П р и м е р 6.

Вычислить:

110111,101₂ : 54,4₈ · 2В,8₁₆.

Вычисления провести в двоичной системе счисления, а результат за-писать в десятичной.

Переведем числа 54,4₈ и 2В,8₁₆ в двоичную систему счисления (см. табл. 2):

54,4₈ = 101 100 , 100₂ = 101100,1₂;

2В,8₁₆ = 0010 1011 , 1000₂ = 101011,1₂.

Выполним деление, при этом перенесем запятую в делимом и делителе на один разряд вправо, чтобы делимое стало натуральным числом (см. п. 1.3.2):

_–1101111,01₂ | 1011001₂

101100100 1,01₂

_–1011001

10110010

0

Выполним умножение, предварительно переставив сомножители для упрощения записи (в числе 1,01₂ меньше цифр, чем в числе 101011,1₂, поэтому частичных произведений при умножении столбиком будет меньше):

Выполним перевод по схеме:

А₂ → А₈ → А₁₀.

110110,011₂ = 110 110 , 011₂ = 66,3₈ = 6·8¹ + 6·8⁰ + 3·8^-1 = 54,375₁₀.

Ответ: 54,375₁₀.

П р и м е р 7*.

Значения длин сторон треугольника заданы числами: 11110₂, 50₈, 32₁₆. Определить радиус описанной окружности.

Переведем длину каждой стороны в десятичную систему счисления:

11110₂ = 30₁₀; 50₈ = 40_10; 32₁₆ = 50₁₀.

Заметив, что 30² + 40² = 50², делаем вывод о том, что треугольник с такими сторонами является прямоугольным с катетами 30, 40 и гипотенузой 50. Тогда диаметр описанной окружности равен гипотенузе прямоугольного треугольника (по школьному курсу математики), а радиус – половине диаметра.

Ответ: радиус описанной окружности равен 25.