2. Примеры решения задач

Замечание 2. В разд. 2 и 3 методических указаний приняты следующие обозначения и условия:

одна или две звездочки рядом с номером задачи означают ее сложность;

в условиях задач звездочка заменяет какую-то пропущенную цифру; если в примере используется несколько звездочек, то они могут обозначать разные цифры (например, запись ** означает двузначное число, записанное не обязательно одинаковыми цифрами);

иногда, когда это очевидно, индекс, указывающий на основание системы счисления, не записывается.

П р и м е р 1.

Один преподаватель на вопрос, много ли у него студентов в группе, ответил: «У меня в группе 100 студентов, из них 24 девушки и 21 юноша». В какой системе счисления дал ответ преподаватель?

Решение этой задачи несложное. Пусть р – основание системы счисления, о которой идет речь. Тогда в группе студентов 1·р² + 0·р¹ + 0·р⁰, из них 2·р¹ + 4·р⁰ девушек и 2·р¹ + 1·р⁰ юношей. Таким образом,

р² = 2р + 4 + 2р + 1, (8)

или

р² – 4р – 5 = 0, (9)

отсюда

, (10)

т. е.

р1 = 5; р2 = –1.

Так как –1 не может быть основанием системы счисления, то единственное решение этой задачи – основание системы счисления р = 5. В группе 25 человек, из них 14 девушек и 11 юношей.

Решить эту задачу можно гораздо проще, если записать:

24_р + 21_р = 100_р.

При сложении цифр 4 и 1 в разряде единиц получился ноль, значит, сумма 4 + 1 = 5₁₀ в этой системе счисления дала переполнение и перенос единицы в старший разряд. В любой системе счисления основание записывается как 10_р (см. п. 1.2.2). Значит, р = 5₁₀.

Ответ: основание системы счисления р = 5.

П р и м е р 2*.

Полным квадратом называется число, которое является квадратом натурального числа. Например, полные квадраты числа 1, 4, 9, 16, 25 и т. д. Существует ли система счисления, в которой число 123_р будет полным квадратом?

Развернутая запись числа 123_р имеет вид:

1·р² + 2·р¹ + 3·р⁰. (11)

Запишем выражение (11) иначе:

р² + 2р + 3, (12)

или

р² + 2р + 1 + 2, (13)

или

(р + 1 )² + 2. (14)

Выражение (14) не может быть полным квадратом, так как (р + 1)² – полный квадрат, а из рассмотрения чисел 1, 4, 9, 16, 25, … следует, что не существует полных квадратов, разность между которыми равна двум.

Ответ: такой системы счисления не существует.

П р и м е р 3.

Найти первое слагаемое и сумму, а также основание системы счисления, в которой справедливо соотношение:

***_р + 1_р = ****_р.

Решение задачи очевидно. В любой системе счисления с основанием р прибавление единицы к трехзначному числу дает в результате четырехзначное число только тогда, когда все цифры трехзначного числа одинаковы и равны максимальному значению (р – 1). Если хотя бы одна из цифр трехзначного числа меньше (р – 1), то суммой будет трехзначное число.

Например, 111₂+ 1₂= 1000₂; 222₃+ 1₃= 1000₃; 777₈+ 1₈= 1000₈и т. д.

Ответ: р – любое натуральное число, большее единицы; первое слагаемое состоит из трех одинаковых цифр, равных (р – 1); сумма двух слагаемых 1000_р= р³₁₀.

П р и м е р 4.

Найти сумму:

10101,11₂+ 123,3₈+ А0,8₁₆.

Результат представить в десятичной системе счисления.

Дать два варианта решения:

1) найти сумму в двоичной системе счисления, перевести ее в шестнадцатеричную систему счисления, а затем – в десятичную;

2) сначала все слагаемые перевести в десятичную систему счисления, а потом уже провести суммирование.

1-й вариант

Переведем слагаемые 123,3₈и А0,8₁₆ в двоичную систему счисления, заменив каждую восьмеричную цифру триадой двоичных цифр, а каждую шестнадцатеричную – тетрадой (см. табл. 2):

123,3₈= 001 010 011 , 011₂;

А0,8₁₆= 1010 0000 , 1000₂.

Проще сложить сначала первые два слагаемых, а потом к результату прибавить третье:

Переведем окончательный результат в десятичную систему счисления:

109,А₁₆= 1·16²+ 0·16¹+9·16⁰+ 10·16^–1= 265,625₁₀.

2-й вариант

Переведем все три слагаемых в десятичную систему счисления:

10101,11₂= 1·2⁴+ 0·2³+ 1·2²+ 0·2¹+ 1·2⁰+ 1·2^-1+ 1·2^-2= 21,75₁₀;

123,3₈= 1·8²+ 2·8¹+ 3·8⁰+ 3·8^–1= 83,375₁₀;

А0,8₁₆= 10·16¹+ 0·16⁰+ 8·16^–1= 160,5₁₀;

21,75 + 83,375 + 160,5 = 265,625.

Результаты вычислений в обоих вариантах совпали, что подтверждает правильность решения.

Ответ: 265,625₁₀.

П р и м е р 5*.

Найти алгебраическую сумму:

120₃– 322,2₄.

Дать два варианта решения (см. пример 4).

1-й вариант

Переведем уменьшаемое 120₃и вычитаемое 322,2₄ в двоичную систему счисления.

Перевод уменьшаемого выполним по схеме (см п. 1.7.1):

A₃ → A₁₀ → A₂.

120₃ = 1·3² + 2·3¹ + 0·3⁰ = 15₁₀, т. е. А₁₀ = 15.