Тема 7. Пересечение поверхности плоскостью
7.1. Общие понятия и определения. 7.2. Сечения многогранников и тел вращения плоскостями частного положения. Определение натуральной величины сечения. 7.3. Сечения многогранников и тел вращения плоскостями общего положения. Определение натуральной величины сечения
7.1. Общие понятия и определения
Сечением называется плоская фигура, полученная в результате пересечения геометрического тела секущей плоскостью и содержащая точки, принадлежащие поверхности тела и плоскости.
Сечение ограничивается замкнутой ломаной линией, если плоскостью пересекается гранная поверхность, и замкнутой кривой линией, если плоскостью пересекается кривая поверхность.
Построение линии сечения в общем случае сводится к определению точек пересечения ребер многогранника или образующих кривой поверхности с секущей плоскостью. Следовательно, построение линии сечения сводится к множественной задаче определения точек пересечения прямой с плоскостью.
7.2. Сечения многогранников и тел вращения плоскостями частного положения. Определение натуральной величины сечения
Сечение поверхностей гранных геометрических тел плоскостями частного положения. Сечением многогранника плоскостью является плоский многоугольник, вершины которого принадлежат ребрам, а стороны — граням многогранника. В зависимости от вида гранной поверхности и положения секущей плоскости сечение может принимать различные геометрические фигуры. Например, при пересечении поверхностей прямых правильных призмы и пирамиды плоскостями возможно образование геометрическихфигур, показанныхнарис. 88 и89.
Рис. 88. Сечение прямой призмы плоскостями частного положения |
101
Рис. 89. Сечение прямой пирамиды плоскостями частного положения |
Построение линии пересечения многогранника плоскостью сводится к многократному решению задачи на определение точек пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью. Определение натуральной величины сечения гранной поверхности плоскостью определяют любым известным способом, например, способом совмещения секущей плоскости с плоскостью проекций, способом вращения, способом замены плоскостей проекций и т. д.
Рассмотрим некоторые примеры.
З а д а ч а 19
Дано: прямая шестигранная пирамида ABCDEFS с вершиной в точке S и фронтально-проецирующая плоскость α (рис. 90).
Выполнить: 1) построить линию пересечения пирамиды плоскостью; 2) определить натуральную величину сечения пирамиды плоскостью.
Порядок выполнения:
1. Фронтальный след αΠ2 фронтально-проецирующей плоскости α
обладает собирательным свойством (любой геометрический элемент, принадлежащий фронтально-проецирующей плоскости, в т. ч. и линия пересечения пирамиды плоскостью, будет проецироваться в ее фронтальный след). Следовательно, пересечение фронтального следа αΠ2 с ребрами пирамиды образует фронтальную проекцию сечения
геометрического тела плоскостью 122232425262.
2.Горизонтальную проекцию сечения геометрического тела плос-
костью 112131415161 определяют из условия принадлежности точки прямой.
3.Натуральную величину сечения пирамиды плоскостью в данной задаче определяют способом вращения, совмещая секущую плоскость
сгоризонтальной плоскостью проекций, однако допустимо применение и любого другого способа.
102
Рис. 90. Пересечение прямой пирамиды плоскостью частного положения
З а д а ч а 20 Дано: прямая шестигранная призма и фронтально-проецирующая
плоскость α (рис. 91).
Выполнить: 1) построить линию пересечения призмы плоскостью; 2) определить натуральную величину сечения призмы плоскостью.
Порядок выполнения:
1. Фронтальный след αΠ2 фронтально-проецирующей плоскости α
обладает собирательным свойством (любой геометрический элемент, принадлежащий фронтально-проецирующей плоскости, будет проецироваться в ее фронтальный след). Следовательно, пересечение фронтального следа αΠ2 с ребрами призмы образует фронтальную проек-
цию сечения геометрического тела плоскостью 122232425262.
2.Призматическая поверхность является горизонтально-проеци- рующей, поэтому горизонтальную проекцию сечения геометрического
тела плоскостью 112131415161 определяют из этого условия и условия принадлежности точки прямой.
3.Натуральную величину сечения призмы плоскостью в данной задаче определяют способом вращения, совмещая секущую плоскость
сгоризонтальной плоскостью проекций, однако допустимо применение и любого другого способа.
103
Рис. 91. Пересечение прямой призмы плоскостью частного положения
З а д а ч а 21
Дано: наклонная пирамида ABCDS с вершиной в точке S и горизон- тально-проецирующая плоскость α (рис. 92).
Выполнить: 1) построить линию пересечения пирамиды плоскостью; 2) определить натуральную величину сечения пирамиды плоскостью.
Порядок выполнения:
1. Горизонтальный след αΠ1 горизонтально-проецирующей плос-
кости α обладает собирательным свойством (любой геометрический элемент, принадлежащий горизонтально-проецирующей плоскости, в т. ч. и линия пересечения пирамиды плоскостью, будет проецироваться в ее горизонтальный след). Следовательно, пересечение следа αΠ1 с поверхностью наклонной пирамиды образует горизонтальную
проекциюсечениягеометрическоготелаплоскостью11213141.
2.Фронтальную проекцию сечения геометрического тела плоскостью 12223242 определяют из условия принадлежности точки прямой.
3.Натуральная величина сечения пирамиды плоскостью в данной задаче определена способом плоскопараллельного перемещения и вынесена за пределы графических построений.
104
Рис. 92. Пересечение наклонной пирамиды плоскостью частного положения
Сечение поверхностей геометрических тел вращения плоско-
стями частного положения. Сечением тел вращения плоскостью является плоская кривая линия. В зависимости от вида поверхности вращения и положения секущей плоскости сечение может принимать различные геометрические фигуры. Так, при пересечении поверхности прямого кругового цилиндра плоскостью возможно образование следующих геометрических фигур:
окружности, если секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра, такое сечение называют нормальным (рис. 93, а);
эллипса, если секущая плоскость наклонена к оси цилиндра и пересекает все его образующие (рис. 93, б);
а |
б |
в |
г |
д |
Рис. 93. Пересечение прямого цилиндра плоскостями частного положения |
||||
105
усеченного эллипса, если секущая плоскость наклонена к оси цилиндра и пересекает одно или оба его основания (рис. 93, в и г);
прямоугольника, если секущая плоскость параллельна оси цилинд-
ра (рис. 93, д).
При пересечении поверхности прямого кругового конуса плоскостью возможно образование следующих геометрических фигур:
окружности, если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса
(рис. 94, а);
треугольника, если секущая плоскость пересекает конус через его вершину по двум образующим (рис. 94, б);
эллипса, если секущая плоскость наклонена к оси конуса и пересекает все его образующие (рис. 94, в).
параболы, если секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса (рис. 94, г);
гиперболы, если секущая плоскость параллельна оси конуса или параллельна двум его образующим (рис. 94, д).
а б в г д
Рис. 94. Пересечение прямого конуса плоскостями частного положения
Построение линии пересечения тел вращения плоскостью сводится к многократному решению задачи на определение точек пересечения образующих кривой поверхности с секущей плоскостью.
Рассмотрим некоторые примеры. З а д а ч а 22
Дано: прямой круговой цилиндр и фронтально-проецирующая плоскость α (рис. 95, а).
Выполнить: 1) построить линию пересечения цилиндра плоскостью; 2) определить натуральную величину сечения цилиндра плоскостью.
Порядок выполнения:
1. Фронтальный след αΠ2 фронтально-проецирующей плоскости α
обладает собирательным свойством. Следовательно, пересечение фронтального следа αΠ2 с поверхностью цилиндра образует фрон-
106
тальную проекцию сечения геометрического тела плоскостью
А21222D23242B25262C27282.
2.Цилиндрическая поверхность является горизонтально-проецирую- щей, поэтому горизонтальную проекцию сечения геометрического тела плоскостью А11121D13141B15161C17181 определяют из этого условия
иусловия принадлежности точки прямой.
3.Натуральную величину сечения цилиндра плоскостью в данной задаче определяют способом замены плоскостей проекций.
а |
б |
Рис. 95. Пересечение геометрических тел плоскостью частного положения
З а д а ч а 23 Дано: сфера и фронтально-проецирующая плоскость α (рис. 95, б).
Выполнить: 1) построить линию пересечения сферы плоскостью; 2) определить натуральную величину сечения сферы плоскостью.
Порядок выполнения:
1. Фронтальный след αΠ2 фронтально-проецирующей плоскости α
обладает собирательным свойством. Следовательно, пересечение фронтального следа αΠ2 с поверхностью сферы образует фронтальную про-
екцию сечения геометрического тела плоскостью 1222426282725232.
107
2.Горизонтальную проекцию сечения геометрического тела
плоскостью 1121416181715131 определяют из условия принадлежности точки прямой.
3.Натуральную величину сечения сферы плоскостью в данной задаче определяют способом замены плоскостей проекций, однако допустимо применение и любого другого способа.
З а д а ч а 24 Дано: прямой круговой конус и фронтально-проецирующая плос-
костьα (рис. 96).
Выполнить: 1) построить линию пересечения конуса плоскостью; 2) определить натуральную величину сечения конуса плоскостью.
Рис. 96. Пересечение прямого конуса плоскостью частного положения
Порядок выполнения:
1. Фронтальный след αΠ2 фронтально-проецирующей плоскости α
обладает собирательным свойством. Следовательно, пересечение фронтального следа αΠ2 с поверхностью конуса образует фронталь-
ную проекцию сечения геометрического тела плоскостью
128242621022292523272.
2. Горизонтальную проекцию сечения геометрического тела плоскостью 118141611012191513171 определяют из условия принадлежности точки прямой.
108
3. Натуральную величину сечения конуса плоскостью в данной задаче определяют способом вращения, совмещая секущую плоскость с горизонтальной плоскостью проекций, однако допустимо применение и любого другого способа.
З а д а ч а 25 Дано: наклонный цилиндр и горизонтально-проецирующая плос-
кость α (рис. 97).
Рис. 97. Пересечение наклонного цилиндра плоскостью частного положения
Выполнить: 1) построить линию пересечения цилиндра плоскостью; 2) определить натуральную величину сечения цилиндра плоскостью.
109