Билет 16
1. Метод контурных токов в комплексной форме.
Определение числа независимых контуров. Матричная запись системы уравнений. Матрица главных контуров. Примеры.
Особенность эл цепи: токи всех ветвей цепи могут быть выраженны через токи главных ветвей. А это значит, что для полного описания процессов в цепи достаточно определить только токи главных ветвей исследуемой цепи. Число главных токов равно числу главных контуров. Для определения токов главных ветвей (контурных токов) составляют систему из р — рит — q + 1 уравнений. Выбирая произвольно дерево графа этой цепи, убеждаемся, что токи ветвей дерева однозначно выражаются через токи главных ветвей. Контурный ток i-гo контура Iii равен току главной ветви, входящей в данный контур. Направление контурного тока во всех элементах контура совпадает с направлением его обхода, т. е. с направлением соответствующей главной ветви. Токи всех ветвей цепи могут быть выражены через контурные токи этой цепи главных ветвей. Для определения токов главных ветвей цепи воспользуемся уравнениями, составленными на основании второго закона Кирхгофа, выразив входящие в них напряжения ветвей через токи.
В
матричной форме система уравнений вида
(3.6) запишется в следующем виде:
, где Zij
– матрица сопротивлений контуров, Iii
–
матрица контурных токов, Еii
–
матрица контурных ЭДС.
1. Формирование Zij. Собственным сопротивлением Zii i-гo контура называется сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в этот контур. Взаимным, или общим, сопротивлением i-гo и j-го контуров называется сопротивление Zij, равное сумме сопротивлений ветвей, общих для этих контуров. Взаимное сопротивление берется со знаком плюс, если контурные токи рассматриваемых контуров протекают через общие для этих контуров ветви в одинаковом направлении;
2. Формирование Iii. Это матрица-столбец неизвестных контурных токов.
3. Формирование Еii. Контурная э. д. с. Еii i-гo контура – это алгебраическая сумма э. д. с. всех идеализированных источников напряжения, входящих в данный контур. Если направление э. д. с. какого-либо источника, входящего в i-й контур, совпадает с направлением контурного тока этого контура, то соответствующая э. д. с. входит в Eii со знаком плюс
Р
ассмотрим
принцип этого метода на примере для
схемы на рис. 2.1.
Для начала произвольно выбираем положительные направления контурных токов (удобнее по часовой стрелке).
Если в схеме три контура, то систему уравнений для решения методом контурных токов записывают следующим образом:
(2.1)
В данной системе
,
,
- суммы сопротивлений первого, второго
и третьего контуров соответственно:
;
;
.
Сопротивления
смежных ветвей
,
,
,
,
,
берут со знаком минус, так как направление
контурных токов во всех ветвях
встречное (если они по направлению
совпадают, то смежное сопротивление
берётся со знаком плюс).
;
;
.
- контурные
Э.Д.С. первого, второго и третьего
контуров. В них со знаком плюс входят
Э.Д.С., направления которых совпадают с
направлением обхода контура, минус –
Э.Д.С., направленная против направления
обхода.
;
;
.
Подставив все получившиеся значения в систему, вычисляем её главный определитель ∆, а также определители ∆1,∆2,∆3, полученные при подстановке на место 1-го, 2-го и 3-го столбцов соответственно значений столбца контурных Э.Д.С.
Находим значения контурных токов:
,
(2.2)
;
;
.
А также токи в ветвях, равные алгебраической сумме контурных токов:
;
;
;
;
;
.