2 курс 1 часть / отц / экзамен / шпоры / билет 24

Билет №24.

1.Единичная функция включения Хевисайда, дельта функция Дирака и их основные свойства

Единичная функция Хевисайда

Функция Хевисайда (единичная ступенчатая функция, функция единичного скачка, включенная единица) — кусочно-постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице — для положительных. В нуле эта функция не определена, однако её обычно доопределяют в этой точке некоторым числом, чтобы область определения функции содержала все точки действительной оси. Чаще всего неважно, какое значение функция принимает в нуле, поэтому могут использоваться различные определения функции Хевисайда, удобные по тем или иным соображениям, например:

Другое распространённое определение:

Функция Хевисайда широко используется в математическом аппарате теории управления и теории обработки сигналов для представления сигналов, переходящих в определённый момент времени из одного состояния в другое. В математической статистике эта функция применяется для записи эмпирической функции распределения.

Функция Хевисайда является первообразной функцией для дельта-функции Дирака, H' = δ, это также можно записать как:

Дельта-функция

δ-функция (или дельта-функция, δ-функция Дирака, дираковская дельта, единичная импульсная функция) позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке.

Например, плотность единичной точечной массы, находящейся в точке a евклидова пространства , записывается с помощью δ-функции в виде δ(x − a). Также применима для описания распределений заряда, массы и т. п. на поверхностях или линиях.

δ-функция есть обобщённая функция, это означает, что формально она определяется как непрерывный линейный функционал на пространстве дифференцируемых функций.

δ-функция не является функцией в классическом смысле, тем не менее нетрудно указать последовательности обычных классических функций, слабо сходящиеся к δ-функции.

Можно различать одномерную и многомерные дельта-функции, однако последние могут быть представлены в виде произведения одномерных в количестве, равном размерности пространства, на котором определена многомерная.

Свойства

• Интеграл от дельта-функции по любому интервалу, содержащему в себе ноль, то есть интервалу вида , где a₁ и a₂ — произвольные действительные положительные числа, равен 1.

• 

• , где x_k — простые нули функции f(x).

• Первообразной одномерной дельта-функции является функция Хевисайда:

• Фильтрующее свойство дельта-функции:

2. Фильтр верхних частот (ФВЧ) — электронный или любой другой фильтр, пропускающий высокие частоты входного сигнала, при этом подавляя частоты сигнала меньше, чем частота среза. Степень подавления зависит от конкретного типа фильтра. Пассивный фильтр — электронный фильтр, состоящий только из пассивных компонентов, таких как, к примеру, конденсаторы и резисторы. Пассивные фильтры не требуют никакого источника энергии для своего функционирования. В отличие от активных фильтров в пассивных фильтрах не происходит усиления сигнала по мощности. Практически всегда пассивные фильтры являются линейными.

простейший электронный фильтр верхних частот состоит из последовательно соединённых конденсатора и резистора. Конденсатор пропускает лишь переменный ток, а выходное напряжение снимается с резистора. Произведение сопротивления на ёмкость (R×C) является постоянной времени для такого фильтра, которая обратно пропорциональна частоте среза в герцах.

(Либо так)

Преобразовать характеристику ФНЧ в характеристику ФВЧ можно с помощью замены переменной: где _n – граничная частота полосы пропускания ФНЧ и

ФВЧ.

Преобразование схем пассивных LC-фильтров. Замена переменных (2.31) и (2.32) в выражении для квадрата АЧХ |H_p(j )|² фильтра нижних частот приводит при реализации этой функции к преобразованию схемы ФНЧ в схемы ФВЧ и ПФ. Индуктивное сопротивление ФНЧ j_н.чL_н.ч переходит при преобразовании частот (17.31) в сопротивление: т. е. в емкостное сопротивление ФВЧ, где C_в.ч = 1/_п²L_н.ч.

Емкостная проводимость: переходит в индуктивную проводимость фильтра ВЧ с индуктивностью L_в.ч = 1/_п²C_н.ч.

Преобразование передаточных функций активных RC-фильтров. В активных RC-фильтрах для того, чтобы перейти от передаточной функции ФНЧ-прототипа к передаточным функциям ФВЧ и ПФ, следует осуществить замену комплексной переменной р. Из (17.31) получаем для ФВЧ

или (17.34) где _н.ч = _н.ч/п и _в.ч = _{в.ч/ п}.

(Либо как писали на факультативе)