2 курс 1 часть / отц / экзамен / шпоры / Билет 18

Билет 18

1. Аппроксимация АЧХ нормированного прототипа ФНЧ поли-

номами Чебышева.

Полиномы Чебышева [1, 2] обладают рядом замечательных свойств, которые позволяют использовать их для построения и описания моделей объектов в различных областях техники.

Во-первых, полиномы Чебышева обладают таким важным свойством: если на нелинейный элемент, статическая характеристика которого представляет собой полином Чебышева некоторой степени n, подать гармонический сигнал, например, косинусоидальный (синусоидальный), единичной амплитуды, то на выходе такого нелинейного элемента также будет гармонический сигнал единичной амплитуды, но с n-кратной частотой.

Во-вторых, полиномы Чебышева растут за пределами интервала [-1, 1] наиболее быстро из всех полиномов такой же степени. Их используют для синтеза линейных фильтров [2]. И такие фильтры при заданной неравномерности в полосе пропускания обладают наиболее крутой частотной характеристикой в полосе запирания по сравнению с другими фильтрами того же порядка.

В-третьих, полиномы Чебышева являются набором ортогональных с весом функций [1], что позволяет представить, например, однозначную статическую характеристику нелинейного безинерционного звена в виде довольно быстро сходящегося ряда.

Полиномы Чебышева имеют вид[1, 2]:

(1)

Графики первых пяти полиномов Чебышева представлены на рисунке:

Рис. 1.1. Полиномы Чебышева. Полином Чебышева на интервале (-1, 1) ограничен значениями (-1, 1), а за пределами этого интервала растет по абсолютной величине быстрее любого другого полинома той же степени, ограниченного тем же условием

Если вы впервые увидели полиномы Чебышева, то обратим внимание и на такое их представление:

(2)

2. RC- генераторы

КС-генератор с мостом Вина. На сравнительно низких частотах, где реализация RC-контуров становится затруднительной из-за больших габаритов и массы, низкой добротности и невозможности перестройки, используют RC-автогеператоры. Они представляют собой комбинацию активных четырехполюсников (усилителей) и пассивных RC-цепей для создания ОС.

На рис. 15.17, а показана одна из таких схем (RC-генератор с мостом Вина), которая представляет собой усилитель с коэффициентом передачи К, между входом и выходом которого включена RC-цепъ. Усилитель с заданным коэффициентом передачи можно реализовать на ОУ (см. рис. 2.17) по схеме неинвертирующего масштабного усилителя.

Для составления характеристического уравнения (15.14) достаточно найти H_oc(p), так как H_y(p) =К. Схема гене­ратора с разомкнутой ОС приведена па рис. 15.17. 6. Передаточную функцию цепи ОС. являющейся Г-образным четырехполюсником, будем искать в виде

( 15.21)

где Z₁(p) - операторное сопротивление последовательно соединенных емкости C₁ и сопротивления R₁:

Z₂(p) - операторное сопротивление соеденненыхпараллельно емкости C₂ и  сопротивления R₂

После подстановки в формулу (15.21) выражений Z₁(p) и Z₂(p) получим

(15.22)

Характеристическое уравнение (15.14) примет вид:

p²R₁C₁R₂C₂ + p[R₁C₁ + R₂C₂ + (1 - K)R₂C₁] + 1 = 0

 (15.23)

или

                                                                               

Режиму самовозбуждения соответствует расположение корней характеристического уравнения (15.14) в правой полуплоскости, что имеет место при _э < 0, т. е. при

R₁C₁  + R₂C₂   + (1 - K)R₂C₁< 0.

Из данного условия следует,  что самовозбуждение генератора наступает при коэффициенте передачи усилителя

или

Если выбрать R₁= R₂ и C₁ = C₂, то колебания на выходе генератора появятся при К > 3.

В стационарном режиме _э = 0. Характеристическое уравнение (15. 14) в этом случае принимает вид

p²R₁R₂C₁C₂+ 1 = 0

Его корни лежат на мнимой оси плоскости р и равны

Таким образом, генерация происходит па частоте _г = ₀ .

Анализ работы RC- генератора с мостом Вина можно пронести также в частотной области. Про усилитель известно, что H_y( и _y () = 0 на всех частотах. Комплексную передаточную функцию цепи H_oc(j получим из (15.22) заменой оператора р на j преобразовав предварительно (15.22) к виду

Откуда после замены р на j, имеем

Поскольку усилитель не вносит фазового сдвига, для выполнения баланса фаз требуется обеспечить условие  _oc(_г) = 0. Оно выполняется тогда, когда передаточная функция цепи ОС является вещественной, т. е. ее мнимая часть обращается в пуль. Таким образом, па частоте генерации

Из этого условия определяется частота генерации

Значение передаточной функции на этой частоте

H_oc(_г) = 1/(1 + R₁/R₂ + C₂/C₁).

Из условия самовозбуждения H_у(_г) H_oc(_г) > 1 находим коэффициент усиления К, при котором на выходе генератора возникают незатухающие гармонические колебания:

Стационарное значение коэффициента усиления усилителя определяется балансом амплитуд:

RC-генератор    с   лестничной   схемой   обратной   связи.    На рис 15.18, а показана схема такого генератора, представляющая собой одпокаскадный транзисторный усилитель, между входом п выходом которого включен лестничный пассивный RC четырехполюсник (для упрощения рисунка цепь смещения на нем не приведена)

Для возникновения генерации колебании необходимо, чтобы напряжение обратной связи, подаваемое на вход генератора, непрерывно возрастало. Это возможно только тогда, когда усиление усилительного каскада больше ослабления, вносимого цепью обратной связи. Кроме того, должно выполняться условие баланса фаз. Последнее означает, что поскольку один каскад транзисторного усилителя вносит сдвиг фаз, равный 180°, то цепь обратной связи также должна вносить сдвиг фаз 180°, чтобы общий сдвиг фаз равнялся 0° (или 360°)

Однако простейшее RС-звено вносит сдвиг фаз, не превышающий 90°. Поэтому необходимо взять число звеньев пе меньше трех. Зависимость сдвига фаз от частоты RС-цепи из трех звеньев показана на рис. 15.18, 6. Элементы RС-цепи рассчитывают так, что бы на частоте генерации получить сдвиг фаз 180".

И стационарном режиме, кроме баланса фаз, выполняется также п баланс амплитуд.  При  этом усиление усилительного каскада становится равным ослаблению цепи ОС, амплитуда напряжения цепи обратной связи, а значит и выходного, остаемся постоянной.

Если выбрать сопротивление коллекторной цепи транзистора R_К<<R,  чтобы избежать влияния на работу транзистора цепи ОС,

то операторная передаточная функция усилительного каскада определится, как и в LG-генераторах, следующей формулой:

H_y(p) = - SR_K.

Операторную передаточную функцию лестничной цепи обратной связи, нагруженной на транзистор с большим входным сопротивлением, т. е. работающей практически на холостом ходу, получим из условия Н(р) = 1/А₁₁. Параметр А₁₁ лестничной схемы найдем, воспользовавшись матричным методом расчета четырехполюсников (гл. 12). Представим лестничную схему как каскадное соединение Т-образного и П-образного четырехполюсников.

Тогда матрица А лестничной схемы запишется в виде

A = || A ||_T || A ||_П

Предлагаем читателям самостоятельно получить элементы А-матриц четырехполюсников. Они имеют вид:

При этом нет необходимости осуществлять полностью перемножение матриц. Для получения коэффициента А₁₁ результирующей А-матрицы лестничной цепи ОС достаточно перемножить первую строку и первый столбец данных матриц. В итоге будем иметь

А₁₁(р) = ( 1 + pRC)² + pRC(2 + pRC)²

^и

Н_OC(p) = 1/A₁₁ = 1/(p³R³C³ + 5p²R²C² + 6pRC + 1).

(15.24)

Для нахождения условий возникновения генерации исследуем характеристическое уравнение генератора

1 - Н_у(р)Н_ос (р) = 0.

После подстановки в него Н_у(р) иН_ос (р) получим следующее уравнение:

p³R³C³ + 5p²R²C² + 6pRC + 1 + SR_K = 0

Цепь является неустойчивой, если

Раскрывая определитель D₁, придем к неравенству

30R³C³ - R³C³ - SR_KR³C³ < 0,

или SR_K > 29. Поскольку произведение SR_K есть ни что иное как усиление транзисторного усилительного каскада, то это условие означает, что для самовозбуждения генератора усиление транзисторного каскада должно превышать 29 едениц.

Переход из комплексной плоскости p в частотную область осуществляется заменой p на j.

Усилитель имеет комплексную передаточную функцию

H_y(j) = - SR_K = SR_Kе^j.

Цепь обратной связи описывается комплексной передаточной функцией H_oc(j), полученной из (15.24):

H_oc(j) = 1/(1 - 5²R²C² + jRC(6 - ²R²C²)).

Из баланса фаз_у(_г) + _ос(_г) = 2 следует, что  _ос(_г) = Это будет иметь место при

6 - _гR²C² = 0,

откуда находится частота генерации

Передаточная функция  H_oc(j) равна

или

H_oc(j) = 1/29;   _ос(_г) = 

Подстановка полученных значений H_y(_г ) и H_oc(_г )  в условие амплитуд

H_y(_г )H_oc(_г ) > 1.

даст SR_K> 29, что совпадает с полученным ранее результатом.

В стационарном режиме можно рассчитать средней крутизны

= 29/R_K

Недостатком RС-генераторов является то, что в стационарном режиме за счет нелинейности ВАХ (благодаря которой и устанавливается амплитуда колебаний) происходит искажение формы тока i_K в цепи коллектора. Выходное напряжение в RС -автогенераторе снимается с резистора R_K и имеет ту же форму, что и ток i_K, т. е. является несинусоидальным.

Для получения формы колебаний, близкой к синусоидальной, нужно, чтобы колебания не выходили за пределы линейного участ ка ВАХ

Поэтому на практике рост колебании ограничивается не нелинейностью транзистора, а специальным нелинейным элементом (НЭ), в качестве которого используются полупроводниковые или металлические терморезисторы.