21.2. Внутреннее трение (вязкость)

Внутреннее трение - это явление возникновения сил трения между параллельными слоями газа или жидкости, движущимися друг относительно друга и с разными скоростями.

Для выяснения природы внутреннего трения рассмотрим следующий пример. Пусть в первоначально неподвижном газе движется вверх (перпендикулярно оси X) плоская пластина с некоторой скоростью (рис.21.2). Молекулы газа, прилегающие к поверхности пластины, будут вовлечены в движение силами притяжения к частицам пластины. Поэтому возникнет течение граничащего с пластиной слоя газа также со скоростью. Опыт показывает, что в движение вовлекаются и более удаленные от пластины слои газа, а скорость их является убывающей функцией расстояния до пластины, то есть, как это показано на рис. 21.2.

Рис.21.2

Это происходит потому, что молекулы граничащего с пластиной слоя газа движущиеся направленно со скоростью , в результате присущего им хаотического движения попадают в слои, более удаленные от пластины. Продолжая и там двигаться в направлении перемещения пластины и сталкиваясь со встречающимися на их пути молекулами, они оказывают силовое воздействие на слои и заставляют их начать направленное движение. В этом случае условно говорят, что молекулы"переносят импульс направленного движения" из одного слоя в другой. И наоборот, молекулы из слоя, движущегося медленнее, попадая в слой, движущийся быстрее, будут ускоряться молекулами этого слоя и, тем самым, будут тормозить его движение. Таким образом, со стороны быстрого слоя на медленный слой действует ускоряющая сила, а со стороны медленного слоя на быстрый слой - тормозящая. Эти силы, равные друг другу по модулю и противоположно направленные, называются силами внутреннего трения. Они действуют по касательной к поверхности соприкосновения слоев (рис.21.2). Поскольку энергия направленного движения молекул по мере удаления от пластины уменьшается (из-за вовлечения в движение все новых и новых молекул), то и скорость их в этом движении также убывает, стремясь к нулю при x стремящемся к 

Экспериментально установлен закон (закон Ньютона), в соответствии с которым модуль силы внутреннего трения , действующей на элемент поверхности слоя площадьюdS, определяется выражением

^, (21.10)

где du/dx - градиент скорости направленного движения слоев;  - коэффициент внутреннего трения (или динамический коэффициент вязкости), зависящий от природы газа. Перепишем (21.10) в более общем виде, разделив обе части на dS

(21.11)

где =dF/dS - сила внутреннего трения, действующая на единицу площади поверхности слоя.

Из выражения (21.11) следует, что коэффициент внутреннего трения равен силе внутреннего трения, действующей на единицу площади поверхности слоя, при быстроте изменения скорости равной единице.

На практике используется и так называемый кинематический коэффициент вязкости , связанный с динамическим коэффициентом вязкости  и плотностью газа  выражением: (21.12)

Для вывода формулы коэффициента внутреннего трения газа, рассмотрим элементарную площадку dS, перпендикулярную оси X (рис.21.2), и рассчитаем изменение импульса одного из слоев, прилегающего к этой площадке. Будем считать, что в направлении оси X из одного слоя в другой переходят молекулы, число которых в соответствии с (21.4) равно

^. (21.13)

Тогда из первого слоя во второй переносится импульс

,

а из второго слоя в первый импульс

,

где m - масса молекулы; и- соответственно скорости направленного движения молекул в первом и втором слоях (скорости следует выбирать для молекул, находящихся на расстоянии от площадкиdS, равном в среднем <>, так как эти молекулы долетят до площадки без столкновений). Результирующее изменение импульса , например, первого слоя равно

(21.14)

или с учетом выражения (21.13) и того, что инаправлены в одну сторону

^. (21.15)

Выразим так же, как ипри получении формулы (21.7)

^, (21.16)

тогда учитывая, что mn=, получим

^. (21.17)

Согласно второму закону Ньютона изменение импульса рассматриваемого слоя обусловлено силовым воздействием на него. Таким образом, модуль силы внутреннего трения, действующей на слой, определяется выражением

^. (21.18)

Сравнивая полученное выражение с (21.10), находим, что

. (21.19)

Подставив в (21.19) соответствующие выражения (17.1) и (19.4) для <V> и <> получим, что

, (21.20)

откуда можно сделать вывод о том, что чем выше температура газа, тем он более вязок (у жидкостей наоборот), а так же о том, что вязкость газа не зависит от его давления. Последнее обстоятельство объясняется тем, что при понижении давления уменьшается число молекул, участвующих в переносе импульсов между слоями. Одновременно с этим возрастает средняя длина свободного пробега молекул, а значит, увеличивается различие в импульсах, переносимых молекулами в различных направлениях. Оба эффекта взаимно компенсируются, и в итоге суммарный импульс, переносимый из слоя в слой, оказывается независящим от давления.