- •Тема 1. Основные понятия и законы теории цепей. Электрические и магнитные цепи.
- •1. Основные термины теории электрических цепей
- •2. Первый закон Кирхгофа
- •3. Второй закон Кирхгофа.
- •4. Основные элементы линейных электрических цепей.
- •5. Эквивалентные преобразования фрагментов электрических цепей.
- •6. Мощность двухполюсника
- •7. Полная система расчетных уравнений эл. Цепи.
- •8. Метод узловых потенциалов
- •9. Магнитные цепи.
- •10. Основные характеристики переменных токов и напряжений.
- •Тема 2. Синусоидальные режимы электрических цепей
- •11. Комплексный метод расчета синусоидальных режимов эл. Цепей.
- •12. Резистор, катушка индуктивности и конденсатор в синусоидальном режиме.
- •13. Комплексное сопротивление и комплексная проводимость.
- •14. Мощность двухполюсника в синусоидальном режиме
- •15. Последовательное соединение резистора, катушки индуктивности и конденсатора.
- •16. Смешанное соединение резистора, катушки индуктивности и конденсатора.
- •17. Трехфазный источник напряжения. Общая характеристика трехфазных цепей.
- •18. Соединение трехфазного источника напряжения и нагрузки звездой
- •19. Соединение трехфазного источника напряжения и нагрузки треугольником
19. Соединение трехфазного источника напряжения и нагрузки треугольником
Рис. 19.1. |
Токи называются фазными, потому что это токи фаз нагрузки. Токиназываются линейными, так как это токи в линейных проводах.
Напряжения являются одновременно фазными и линейными, так как это напряжения фаз источника и нагрузки, а также напряжения между линейными проводами.
Рассмотрим уравнения, описывающие состояние рассматриваемой цепи. Согласно уравнениям фаз нагрузки (по закону Ома):
.
Рис. 19.2. |
|
Рис. 19.3. | |
Рис. 19.4. |
Для пояснения уравнений построим векторные диаграммы. Рассмотрим некоторые конкретные типы нагрузок.
Простейший случай симметричной резистивной нагрузки показан на рис. 19.2. Из этой диаграммы видно, что для симметричной нагрузки
.
На рис. 19.3 показана несимметричная резистивная нагрузка - в разных фазах разные резисторы.
На рис. 19.4 изображена диаграмма напряжений и токов несимметричной нагрузки, у которой в фазу abвключен резистор, в фазуbc– активно-индуктивный элемент, в фазуca– активно-емкостной элемент. Главное отличие последнего случая от предыдущих – сдвиги фаз между напряжениями и токами в фазахbcиca.
Рис. 19.5. |
По определению
.
С другой стороны,
Здесь использованы выражения линейных токов через фазные, а также равенства ,, последнее из которых представляет собой 2-й закон Кирхгофа для напряжений цепи.
В случае симметричной нагрузки можно измерить мощность только одной фазы и умножить ее на три.
Приложение.
Комплексные числа.
Введение.
Комплексные числа имеют три формы записи. Алгебраическая формапредставляет число в виде; здесьaиb– действительные числа,i– число иного рода, называемоемнимой единицей. Основное свойство числаiсостоит в том, что его квадрат равен минус единице:. Числа видаявляются действительными. Числа виданазываются мнимыми.
Обозначим число буквойz . Числоaназываетсядействительной частьючислаz, числоb–мнимой частьючислаz . Коротко это можно записать так:,, где Re и Im – принятые в математике обозначения действительной и мнимой части комплексного числа (по-английски Real – действительный, Imaginary – мнимый).
Рис. 7.1.
Комплексное число чаще изображают не точкой, а вектором, начало которого совпадает с началом координат комплексной плоскости, а конец имеет декартовы координаты . Если такой вектор перенести параллельно самому себе, он также будет изображать то же самое число.
Точку на плоскости можно рассматривать и в полярных координатах , где– расстояние от точки до начала координат,– угол между отрезком, соединяющим точку с началом координат, и осью абсцисс (рис. 7.1).
Число называетсямодулемчислаz , числоназываетсяаргументом(илифазой) числаz . Коротко это обозначается так:,.
Из рис. 7.1 видно, что
,, (7.1)
поэтому комплексное число zможно представить в виде
Такая форма представления комплексного числа называется тригонометрической.
Отметим, что . (7.2)
Формулы 7.1 определяют переход от тригонометрической формы комплексного числа к алгебраической, формулы 7.2 – от алгебраической к тригонометрической. При этом лежит в пределах от –дои вычисляется с учетом знаковaиb :
Для числа аргумент не определен.
Формула Эйлера позволяет ввестипоказательную форму комплексного числа:. Модульи фазаимеют тот же смысл, что и для тригонометрической формы комплексного числа.
Формулу Эйлера можно понимать как определение экспоненты с мнимым показателем:– это такое комплексное число, действительная часть которого равна, а мнимая равна. Более корректно функцияопределяется как сумма ряда.
Учитывая, что и сгруппировав отдельно действительные и мнимые слагаемые этого ряда, получим ряды для косинуса и синуса, что и доказывает формулу Эйлера (строго говоря, такая перегруппировка слагаемых нуждается в обосновании, но мы законность этого действия примем без доказательства):
Для экспоненты с мнимым показателем, так же как и для экспоненты с действительным показателем, справедливо свойство: произведение двух экспонент равно экспоненте, показатель которой равен сумме показателей сомножителей:
.
Сложение комплексных чисел
Рис. 7.2.
То есть, действительная часть суммы – это сумма действительных частей слагаемых, а мнимая часть суммы – это сумма мнимых частей слагаемых.
Например, если , то.
На комплексной плоскости сложению комплексных чисел соответствует сложение векторов (рис. 7.2).
Сложение чисел в показательной и тригонометрической форме неудобно. Чтобы сделать это, нужно сначала перевести оба числа в алгебраическую форму, сложить их, а затем перевести результат в нужную форму.
Например,
Умножение комплексных чисел
Умножение комплексных чисел в алгебраической форме выполняется по тем же правилам, что и умножение действительных чисел. Единственное различие в том, что :
.
Например, .
Умножение комплексных чисел в показательной форме выполняется еще проще. Пусть , тогда
,
то есть, при умножении комплексных чисел модуль произведения равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.
Например, ;.
С помощью формулы Эйлера из правила умножения комплексных чисел в показательной форме может быть получено правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме. Оно такое же, как для чисел в показательной форме.
Замечание 1: Мнимая единица может записываться как перед действительным множителем, так и после него:и т.д. Эти выражения равны вследствие того что произведение любых двух комплексных чисел коммутативно, т.е не зависит от порядка сомножителей.
Замечание 2: Аргументы комплексных чисел могут выражаться как в радианах (то есть просто в числах), так и в градусах. Запись аргументов комплексных чисел в радианах, как правило, применяется в математике и физике; запись в градусах – в технических науках и инженерных расчетах.
Умножению комплексного числа zна числосоответсвует растяжение вектора, изображающего числоz, враз и поворот его на угол. Это следует из описанных выше правил умножения.
Деление комплексных чисел
Проще всего делить числа в показательной и тригонометрической форме. При этом модуль частного равен отношению модулей делимого и делителя, аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя. Это правило прямо следует из правил умножения.
Пусть ,, тогда.
Например, .
Чтобы разделить комплексное число в алгебраической форме на действительное число, нужно разделить отдельно действительную и мнимую часть. Пусть , тогда. Например:.
Рис. 7.3.
Комплексно сопряженное числообозначается звездочкой или чертой наверху, например,. Комплексно сопряженные числа имеют одну и ту же действительную часть и противоположные мнимые части:. На комплексной плоскости комплексно сопряженные числа расположены симметрично относительно действительной оси (рис. 7.3). Произведение числа на его сопряженное равно квадрату его модуля, это всегда неотрицательное действительное число:.
Итак, разделим два числа в алгебраической форме. Пусть ,.
Тогда .
Например, .