56

Глава 12. Функциональные ряды

12.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов

Пусть последовательность функций, каждая из которых определена на некотором подмножестве. В этом случае говорят, что на множествезаданафункциональная последовательность . Например:

,

.

Аналогично, если задан ряд , каждый член которого является функцией, определенной на множестве, то говорят, что на множествезаданфункциональный ряд. Например, ,.

Определение 1. Функциональная последовательность называетсясхдящейся на множестве к функции , еслипоследовательностьсходится к, т.е.такое, что выполняетсядля.

Обозначается . Эта сходимость называется монотонной, т.е. сходимостью в каждой точке множества.

Определение 2. Функциональный ряд называетсясходящимся намножестве к функции , если последовательность его частных суммсходится к функциина множестве, которое называетсяобластью сходимости ряда.

, .

Функция называетсясуммой функционального ряда.

Один из основных вопросов, рассматриваемых в теории функциональных рядов – нахождение области сходимости функционального ряда.

Пример 1. Найти область сходимости следующих рядов:

а) ; б); в)

Решение. а)– бесконечная геометрическая про- грессия. На множествеX=(-1,1) ряд сходится, причем .

б) По признаку Даламбера ряд сходится для. Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно для.

в) По признаку Коши = Откуда следует, что х>4. Областью сходимости является множество X=(4,+).

Кроме поточечной сходимости , есть также другой тип сходисти, которая называется равномерной сходимостью на множестве.

Определение 3. Последовательность называетсяравномерно сходящейся на множестве к функции , еслитакое, чтоивыполняется. Обозначается.

Определение 4. Функциональный ряд называетсяравномерно сходящимся на множестве к функции, если последовательность его частичных суммсходится равномерно нак.

Сравним между собой оба типа сходимости. Пусть ряд сходит- ся для. Это означает, что каждомубудет соответствовать свой числовой ряд, для сходимости которого, определенное в каждой точке. В общем случае значениебудет меняться от точки к точке, т.е.. При равномерной сходимости требуется, чтобы для выбранногочислоне зависело оти было одним и тем же для.

Отсюда следует важный вывод: если последовательность (ряд) равномер но сходится на , то последовательность (ряд) просто сходятся на. Обратное утверждение неверно.

Пример 2. Проверить сходимость последовательности ,.

Решение. Понятно, что , т.е. последовательность сходится. Однако эта сходимость будет неравномерной. Действительно, возьмем. Найдется литакое, что дляивыполняется неравенство? Выполнение этого неравенства для всех точекневозможно, так как прих близких к 1 , потому что. Таким образом, последовательность сходится, но неравномерно.

Пример 3. Рассмотрим ряд . Он сходится на. Покажем, что он сходится неравномерно.

Решение. Последовательность частичных сумм сходится кпри. Поэтому длятакое, чтодля. Однако дляэто невозможно, так как прифункцияпринимает любое, как угодно большое значение. Ряд сходится, но неравномерно.

Теорема 1. (критерий Коши). а) Для того, чтобы последовательность равномерно сходилась на множественеобходимо и достаточно, чтобы длятаких, что дляивыполнялось

; (1)

б) Для того, чтобы функциональный ряд равномерно сходился на множестве, необходимо и достаточно, чтобы длятаких, что дляивыполнялось, или, если обозначить, то

, (2)

Доказательство выполним для последовательностей.

 Необходимость. Пусть равномерно сходится кна. Зададим, тогда, чтои.

Возьмем , тогда дляимеем

, т.е. выполняется (1).

Достаточность. Пусть выполняется условие теоремы а), т.е. для такие, что дляивыполняется. Это означает, что длячисловая последовательностьфундаментальная, а, следовательно, она сходится. Положим. Перейдем к пределу в неравенствепри. Тогда получим, что длявыполняется неравенство, т.е. сходится равномерно кна, при.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда на интервале.

Решение. Неравенство ,, показывает, что последовательность сходится к нулю равномерно на, но в тоже время для любого значениярядрасходится.

Теорема 2. (Признак Вейерштрасса). Пусть для ивыполняются неравенстваи числовой рядсходится. Тогда функциональный рядсходится абсолютно и равномерно на множестве.

 Так как числовой ряд сходится, то для него выполняется критерий Коши, т.е., что выполняетсядля

Возьмем и, тогда дляимеем

, ,

т.е. выполняется критерий Коши (2). Ряд сходится равномерно и абсолютно по признаку сравнения. ■

Замечание. Ряд в теореме 2 называетсямажорантой для ряда , а саму теорему 2 часто называютмажорантным признаком сходимости.

Пример 5. Доказать сходимость ряда .

Решение. Рассмотрим ряд . Этот ряд сходится абсолютно, т.к. по признаку сравнения. Поэтому исходный ряд абсолютно и равномерно сходится.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда на отрезке.

Решение. Первое слагаемое в сумме принимает наибольшее значение в точке, второе в точке. Следовательно, для всехимеем, что, и в силу признака Вейерштрасса получаем, что данный ряд сходится равномерно на.

Признак Вейерштрасса дает только достаточное условие. Непосредственно из определения вытекает необходимый и достаточный признак равномерной сходимости, которым удобно пользоваться на практике.

Теорема 3. Для того чтобы функциональная последовательность равномерно сходилась на множествек предельной функциинеобходимо и достаточно, чтобы

, (3)

где ,.

 Необходимость. Пусть при. Так как по определениюнеравенствовыполняется дляи при, то при такихбудет справедливо. Отсюда следует, чтопри.

Достаточность. Пусть при. Это означает, что дляпри достаточно большихбудет выполняться, тогда тем более для всехибудет выполняться. А это означает равномерную сходимость.

Теперь, пользуясь этой теоремой и определением равномерно сходящегося функционального ряда, можно сформулировать необходимое и достаточное условия равномерной сходимости ряда: для того, чтобы функциональный ряд сходился кнанеобходимо и достаточно, чтобы функциональная последовательностьравномерно сходилась к нулю, т.е..

Пример 7. Исследовать сходимость .

Решение. Ранее было показано, что сходимость есть, но она неравномерная. Это же самое получается более просто по теореме 3:

.

При этом не стремится к 0 при, поэтому сходимость неравномерная.

Пример 8. Сходится ли равномерно последовательность ,.

Решение. Сначала проверим существование предельной функции .

при ,.

Таким образом, . Рассмотрим

,

где .

Найдем , т.е. наибольшее значениена. Вычислим значенияна концах интервала

и

и в критических точках. Продифференцируем :

.

при , откуда.

При этом берем только . Тогда. Поэтомупри. Следовательно,прина. Последовательностьравномерно сходится на.

Пример 9. Проверить сходимость ряда ,.

Решение. Прежде всего, отметим, что в указанном промежутке ряд сходится по признаку сравнения, так как он знакоположительный, и существует сходящийся ряд для, так что выполняется условие.

Рассмотрим остаток и найдем его сумму. Так как, тот-я частичная сумма остатка будет

, при .

Т.е. . Тогдапри. Таким образом, наряд сходится неравномерно. На любом промежутке, где сходимость равномерная, т.к.

при .

Пример 10. Исследовать на равномерную сходимость ряд на.

Решение. Так как ,, то оценкане дает сходящегося мажорантного ряда. Найдем. Поскольку, то, следовательно,,и в силу признака Вейерштрасса ряд сходится равномерно на.