21

Глава 10. Элементы векторного анализа

10.1. Скалярные и векторные поля

Пусть и– функция нескольких переменных заданная в области, т.е. задано отображение. Каждой точкепоставлено в соответствие действительное число. В этом случае также говорят, что в областиX задано скалярное поле.

Далее будем рассматривать пространства (плоскость) и(трехмерное евклидово пространство). Тогда соответственно скалярное поле задаётся функциейна плоскости и в пространстве.

В качестве примеров физических скалярных полей можно рассматривать: поле температуры, поле освещённости, поле плотности электрических зарядов, поле плотности масс и т.д.

Скалярные поля и называются также стационарными полями.

Если или, где, тогда говорят, что скалярное поленестационарное.

Скалярное поле имеет геометрическое изображение. Поверхностью уровня скалярного поля называют геометрическое место точек, в которых полеимеет постоянное значениеС, т.е. поверхность уровня задается уравнением .

П

Рис.1

оверхности уровня, отвечающие различным значениямС, заполняют всю область, в которой определено поле, причём никакие две поверхности и () не имеют общих точек. Взаимное расположение поверхностей уровня даёт представление о скалярном поле. Места сближения поверхностей уровня соответствуют быстрому изменению поля. Если скалярное поле определено в области, то вместо поверхностей уровня рассматриваютлинии уровня (рис. 1)

С помощью линий уровня изображают распределения температуры (изотермы), давления (изобары), рельеф местности на карте (горизонтали).

Ранее было определено векторное поле, задаваемое на множестве векторной функцией нескольких переменных (или векторного аргумента) как отображение:. Как и в случае скалярного поля, здесь будем рассматривать векторную функцию, определенную ви векторную функцию, определенную в.^. Тогда

,

.

Примеры векторных полей: электрическое поле , магнитное поле, поле скорости движения жидкости, поле гравитации. Так, если в начале координат поместить массу, то эта масса создаст поле сил тяготения и на каждую массув точкедействует сила равная (по закону Ньютона) по величинеи направлена к точке начала координат:

; ;,

тогда

.

Рис.2

Пусть векторное поле заданное в некоторой области пространства. Геометрической характеристикой векторного поля являютсявекторные (силовые) линии. В

екторной или силовой линией поля называется кривая, у которой касательнаяв каждой точке направлена вдоль заданного в этой точке вектора поля (рис.2), т.е. Например, в поле скорости стационарного потока жидкости векторными линиями являются траектории движения частиц жидкости.

Как и всякая кривая, векторная линия может быть охарактеризована своим уравнением , которое зависит от выбора системы координат. Выведем уравнение векторных линий в декартовой системе координат. Пусть задано векторное поле. Векторнаправлен по касательной к линии(рис.3) По определению, векторнаправлен по касательной к линиии коллинеарен векторному полю.

У

словие коллинеарности задает дифференциальное уравнение векторных линий в декартовой системе координат:

(1)

Д

Рис.3

ля определения векторных линий необходимо решить систему дифференциальных уравнений (1). Будем считать, что функции,,непрерывны и обладают непрерывными частными производными. Из теоремы существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений известно, что если векторв точкеотличен от 0, то через эту точку проходит единственная векторная линия, являющаяся решением (1). Если, то все знаменатели в (1) равны нулю и через точкуМ проходят либо бесконечное множество кривых, либо ни одной.

П

ример 1. Определить векторные линии напряжённости магнитного поля, образованного электрическим током, текущим с силой по бесконечно длинному прямолинейному проводу.

Р

Рис.4

ешение. Найдём вектор , определяющий напряжённость магнитного поля. ОсьOz направим по проводу (рис. 4). Пусть ток течёт в положительном направлении оси Oz. Элемент провода по закону Био-Савара создаёт в точке напряжённость, где;. Отсюда, где точка– точка элемента провода. Интегрируя вдоль осиOz найдём векторное поле – напряжённость магнитного поля в произвольной точкеМ:

.

Если , тогда.

.

Тогда . Заменаs-z=преобразует полученный интеграл следующим образом

.

Система дифференциальных уравнений имеет вид:

.

.

.

Из последнего выражения получаем .

Постоянные R и C определяются из условия прохождения векторной линии через определённую точку . Через любую точку, не лежащую на оси Oz, проходит единственная векторная линия, представляющая собой окружность, лежащую в плоскости, параллельной плоскости Oxy.