- •Глава 12. Функциональные ряды
- •12.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов
- •11.2. Функциональные свойства предельной функции и суммы ряда
- •11.3. Степенные ряды
- •11.4. Ряд Тейлора
- •11.5. Тригонометрические ряды Фурье
- •11.6. Свойства коэффициентов Фурье
- •11.7. Сходимость ряда Фурье
- •11.8. Тригонометрические ряды в комплексной форме
- •11.9. Интеграл Фурье
- •11.10. Контрольные вопросы
- •11.11. Задачи для самостоятельного решения.
11.6. Свойства коэффициентов Фурье
Коэффициенты ряда Фурье обладают рядом важных свойств.
1. Если имеет период(например, рис. 11.1), то коэффициенты ряда Фурье для нее вычисляются по следующим формулам
, ,.
Известны свойства периодических функций
а) ;
б) ;
в) .
Тогда доказываемые формулы получаются, если в них положить ,.<
2. Если четная функция, тодля.
Если нечетная функция, то,для.
По определению: четная функция удовлетворяет условию , а нечетная. Известно, что:
а) если ,четные функции, то– четная;
б) если нечетная, ачетная, то– нечетная;
в) если инечетная, то– четная.
Тогда, если – четная, то– нечетная, т.к.нечетная.
.
Таким образом, . Аналогично доказывается, что еслинечетная, то.<
Из этого свойства следует, что тригонометрический ряд Фурье для четных функций имеет вид
,
где ,,
Для нечетных функций тригонометрический ряд Фурье соответственно имеет вид
,
где ,
Сделанные выводы сохраняются для тригонометрических рядов по системе общего вида. Для четной функции:
,
где ,.
Для нечетной функции:
,
где .
3. Лемма Римана. Если кусочно-непрерывная функция на, то,.
Пусть ,, …,точки разрыва функции. Для доказательства достаточно показать, что интегралы от функцииипо каждому из отрезков,, …,стремятся к нулю при. Пустьодин из таких отрезков,непрерывна на. Покажем, что.
Функция непрерывна на, следовательно, она ограничена
для (24)
и по теореме Кантора равномерно непрерывна. Следовательно, для такое, что длявыполняется, тогда
для . (25)
Зададим и выберем нас шагомразбиениетак, чтобы,и.
Произведем оценку интеграла:
.
Так как , то из (24) и (25) имеем
,
при .
Откуда следует, что при имеем
, т.е. .<
Тогда, очевидно, что для кусочно-непрерывной на функции
.
Последнее следует из формул (23).
Пример 25. Разложить в ряд Фурье двумя способами функцию, представленную на рис. 11.2 по косинусам и по синусам.
Решение.
а) Разложение в ряд по косинусам. Продолжим, как показано на рис. 11.3, получим четную функцию, определенную наи совпадающую сна.
Вычислим коэффициенты ряда Фурье, учитывая, что
.
.
Разложение будет иметь вид
.
б) Разложение в ряд по синусам. Продолжим, как показано на рис. 11.4, получим функцию, определенную наи совпадающую сна.
Вычислим коэффициенты ряда Фурье. Так как получившаяся функция нечетная, то
.
Получаем выражение для ряда Фурье заданной функции
.
11.7. Сходимость ряда Фурье
Рассмотрим вопрос о сходимости ряда Фурье. Вначале заметим, что если ряд Фурье сходится на отрезкек функции, то в силу периодичности его членов он сходится на всей числовой прямой к периодической функции. Эта функция является периодическим продолжением с периодомфункции. Поэтому будем считать, что на числовой прямой задана периодическая с периодомфункция, интегрируемая наи для нее написан ряд Фурье с коэффициентами, определенными по формулам (23).
Теорема 15. (Дирихле) Пусть выполняются условия:
1) периодическая с периодомфункция;
2) кусочно-непрерывная на;
3) имеет в каждой точкеправую и левую производные.
Тогда ряд Фурье функции сходится всюду, причем его сумма в точках непрерывности функции равна, а в точках разрыва равна.
Вначале получим интегральное представление для частичной суммы .
.
Воспользуемся формулой
(26)
и получим
.
Производя замену , получаем
.
Так как под интегралом стоит периодическая с периодом функция, то интеграл по любому отрезкуимеет одно и тоже значение
.
Заменяя в первом интеграле , получаем
. (27)
Из (26) следует, что
.
Тогда в силу (27) имеем
. (27)
Функции икусочно-непрерывны на, так как имеют разрывы первого ряда в тех же точках, что и функцииисоответственно. Прииможно считать непрерывными, так как в силу условий теоремы существуют пределы
–правая производная.
–левая производная.
Перейдем в (27) к пределу при . В силу Леммы Римана приоба интеграла равны 0. Следовательно, длявыполняется
.
В частности, если – точка непрерывности функции, тои.<
Теперь рассмотрим достаточные условия равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье.
Определение 7. Говорят, что функция имеет на отрезкекусочно-непрерывную производную, еслисуществует и непрерывна на отрезке, за исключением может быть конечного числа точек, в каждой из которых функцияимеет пределы слева и справа.
Теорема 16. Пусть непрерывная периодическая (с периодом) функция, имеющая на отрезкекусочно-непрерывную производную. Тогда ряд Фурье функциисходится абсолютно и равномерно на всей числовой прямой.
По условиям теоремы имеет кусочно-непрерывную производную, тогда она в каждой точке имеет левую и правую производные, и, таким образом,удовлетворяет всем условиям теоремы 1 и поэтому ряд Фурье сходится всюду к. Докажем, что ряд сходится абсолютно и равномерно.
Пусть икоэффициенты Фурье функции. Тогда
.
Аналогично получаем, что .
Рассмотрим числовой ряд
.
Этот ряд сходится, так как ,, а ряды;,– сходятся. Сходимость первых двух рядов следует из неравенства Бесселя
.
Из сходимости ряда в силу признака Вейерштрасса следует абсолютная и равномерная сходимость ряда Фурье на всей числовой прямой.<
Замечание. Доказанная теорема естественно переносится на тригонометрические ряды Фурье периодических функций с произвольным периодом.