- •Глава 12. Функциональные ряды
- •12.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов
- •11.2. Функциональные свойства предельной функции и суммы ряда
- •11.3. Степенные ряды
- •11.4. Ряд Тейлора
- •11.5. Тригонометрические ряды Фурье
- •11.6. Свойства коэффициентов Фурье
- •11.7. Сходимость ряда Фурье
- •11.8. Тригонометрические ряды в комплексной форме
- •11.9. Интеграл Фурье
- •11.10. Контрольные вопросы
- •11.11. Задачи для самостоятельного решения.
11.10. Контрольные вопросы
1. Что называется функциональным рядом? Дайте определения сходящегося и равномерно сходящегося функциональных рядов. В чем состоит отличие?
2. Сформулируйте критерий Коши и признак Вейерштрасса для функциональных рядов. Приведите примеры применения.
3. Сформулируйте теорему о пределе суммы функционального ряда и теорему об её непрерывности. Приведите пример ряда с непрерывными функциями, у которого сумма является разрывной функцией.
4. Сформулируйте теоремы о дифференцировании и интегрировании функционального ряда. Приведите примеры применения.
5. Какой функциональный ряд называется степенным? Сформулируйте теорему Коши-Адамара. Какое множество является областью сходимости степенного ряда? Как его находят?
6. Сформулируйте теорему Абеля и теорему о почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда. Приведите пример применения последней теоремы.
7. Какой степенной ряд называется рядом Тейлора? Как определяются коэффициенты этого ряда?
8. В чем состоит необходимое и достаточное условие сходимости к своему ряду Тейлора? Только достаточное? Приведите пример функции, к которой не сходится её ряд Тейлора.
9. Запишите разложения следующих функций в ряд Маклорена: .
10. Что называется основной тригонометрической системой и тригонометрической системой общего вида? Что означает ортогональность этих систем?
11. Запишите тригонометрический ряд Фурье и коэффициенты Фурье по основной тригонометрической системе и по тригонометрической системе общего вида.
12. Сформулируйте свойства коэффициентов Фурье, а также лемму Римана.
13. Запишите тригонометрический ряд Фурье и коэффициенты Фурье: а) для четных функций; б) для нечетных функций
14. Сформулируйте теорему Вейерштрасса. Какими свойствами должна обладать функция, чтобы абсолютно и равномерно сходился ее ряд Фурье?
15. Запишите тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме и коэффициенты Фурье. Приведите пример.
16. Какой вид имеет интеграл Фурье? При каких условиях интеграл Фурье сходится? Запишите интегральное преобразование Фурье.
11.11. Задачи для самостоятельного решения.
Найти область сходимости ряда
1. . 2..3. .
4..5..6. .
Найти сумму ряда:
7.. 6..7..
Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке.
8. ,.9.,.10.,,.
Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х.
11. . 12. .13.. 14. .
Вычислить интеграл с точностью до 0.001.
15. .16..17. .18. .
Разложить следующие функции в ряд Фурье.
19. ,
20. ,, .
21. ,, .
22. Периодическая с функция
23. Периодическая с функция
24. .
25. .
26. Постройте график функции , разложите заданную функциюна указанном промежутке в тригонометрический ряд Фурье
27. на отрезке. Разложить в ряд в ряд по синусам.
28. на отрезке. Разложить в ряд по синусам.
29. на отрезке. Разложить в ряд по косинусам.
30. Разложите заданную функцию на указанном интервале в тригонометрический ряд только по синусам
31. Разложите функцию , заданную на интервалеграфически, в тригонометрический ряд Фурье: а) по косинусам; б) по синусам.