Местные гидравлические сопротивления. Общие сведения о местных сопротивлениях

Ранее указывалось, что гидравлические потери энергии делятся на местные потери и потери на трение по длине. Рассмотрим потери, обусловленные местными гидравлическими сопротивлениями, т. е. такими элементами трубопроводов, в которых вследствие изменения размеров или конфигурации русла происходит изменение скорости потока, отрыв транзитного потока от стенок русла и возникают вихреобразования.

Были приведены примеры некоторых местных сопротивлений и дана как эмпирическая общая формула связи местной потери напора и скорости потока формула Вейсбаха:

.

Простейшие местные гидравлические сопротивления можно разделить на расширения, сужения и повороты русла, каждое из которых может быть внезапным или постепенным. Более сложные случаи местных сопротивлений представляют собой соединения или комбинации перечисленных простейших сопротивлений. Так, например, при течении жидкости через вентиль поток искривляется, меняет свое направление, сужается и, наконец, расширяется до первоначальных размеров; при этом возникают интенсивные вихреобразования.

Рассмотрим простейшие местные сопротивления при турбулентном режиме течения в трубе. Коэффициенты потерь ζ при турбулентном течении определяются в основном формой местных сопротивлений и очень мало изменяются с изменением абсолютных размеров русла, скорости потока и вязкости ν жидкости, т. е. с изменением числа Rе, поэтому обычно принимают, что они не зависят от Rе, что означает квадратичный закон сопротивления, или автомодельность.

Внезапное расширение русла

Значения коэффициентов местных потерь в большинстве случаев получают из опытов, на основании которых выводят эмпирические формулы или строят графики.

Однако для внезапного расширения русла при турбулентном течении потерю напора можно достаточно точно найти теоретическим путем. При внезапном расширении русла (трубы) поток срывается с угла и расширяется не внезапно, как русло, а постепенно, причем в кольцевом пространстве между потоком и стенкой трубы образуются вихри, которые и являются причиной потерь энергии. При этом, как показывают наблюдения, происходит непрерывный обмен частицами жидкости между основным потоком и завихренной его частью.

Кроме того, основной вихрь порождает другие, более мелкие вихри, которые уносятся потоком и при этом распадаются на еще более мелкие вихри. Таким образом, потеря энергии происходит не только в основном вихре, но и по длине следующего за ним участка потока. Рассмотрим два сечения горизонтального потока: 1 - 1 - в плоскости расширения трубы и 2 - 2 - в том месте, где поток, расширившись, заполнил все сечение широкой трубы. Так как поток между рассматриваемыми сечениями расширяется, то скорость его уменьшается, а давление возрастает. Поэтому второй пьезометр показывает высоту, на ΔΗ большую, чем первый; но если бы потерь напора в данном месте не было, то второй пьезометр показал бы высоту большую еще на h_расш. Эта высота и есть местная потеря напора на расширение.

Обозначим давление, скорость и площадь потока в сечении 1 - 1 соответственно через р₁, v₁ и S_1; а в сечении 2 - 2 - через р₂, v₂ и S₂.

Используя для сечений уравнение Бернулли для реальной жидкости и теорему Эйлера об изменении количества движения к фиксированному цилиндрическому объему, заключенному между сечениями 1 - 1, 2 - 2 и стенкой трубы. Для этого определим равнодействующую внешних сил, действующих на рассматриваемый объем в направлении движения, т. е. сил давления.

Потеря напора при внезапном расширении русла равна скоростному напору, определенному по разности скоростей

.

Это положение часто называют теоремой Борда в честь французского ученого, который в 1766 г. вывел эту формулу.

Если учесть, что согласно уравнению расхода ,то полученный результат можно записать еще в виде, соответствующем общему способу выражения местных потерь:

.

Следовательно, для внезапного расширения русла коэффициент потерь

.

Доказанная теорема, как и следовало ожидать, хорошо подтверждается опытом при турбулентном течении и широко используется в расчетах.

Когда площадь S₂ весьма велика по сравнению с площадью S₁ и, следовательно, скорость v₂ можно считать равной нулю, потеря на расширение

,

т. е. в этом случае теряется весь скоростной напор (вся кинетическая энергия, которой обладает жидкость); коэффициент потерь ζ = 1. Такому случаю соответствует, например, подвод жидкости по трубе к резервуару достаточно больших размеров.

Рассмотренная потеря напора (энергии) при внезапном расширении русла расходуется, можно считать, исключительно на вихреобразование, связанное с отрывом потока от стенок, т. е. на поддержание непрерывного вращательного движения жидких масс с постоянным их обновлением (обменом). Поэтому этот вид потерь энергии, пропорциональных скорости (расходу) во второй степени, называют потерями на вихреобразование. В конечном счете, они расходуются на работу сил трения, но не непосредственно, как в прямых трубах постоянного сечения, а через вихреобразование.

Постепенное расширение русла

Постепенно расширяющаяся труба называетсядиффузором. Течение жидкости в диффузоре сопровождается уменьшением скорости и увеличением давления, а следовательно, преобразованием кинетической энергии жидкости в энергию давления. Частицы движущейся жидкости преодолевают нарастающее давление за счет своей кинетической энергии, которая уменьшается вдоль диффузора и, что особенно важно, в направлении от оси к стенке. Слои жидкости, прилежащие к стенкам, обладают столь малой кинетической энергией, что иногда оказываются не в состоянии преодолевать повышенное давление, они останавливаются или даже начинают двигаться обратно. Обратное движение (противоток) вызывает отрыв основного потока от стенки и вихреобразования. Интенсивность этих явлений возрастает с увеличением угла расширения диффузора, а вместе с этим растут и потери на вихреобразования в нем.

Кроме того, в диффузоре имеются обычные потери на трение, подобные тем, которые возникают в трубах постоянного сечения.

Полную потерю напора h_диф в диффузоре условно рассматриваем как сумму двух слагаемых:

где h_тр и h_расш - потери напора на трение и расширение (на вихреобразование).

Потерю напора на трение для круглого диффузора с прямолинейной образующей и с углом α при вершине, радиусом входного отверстия диффузора r₁, выходного r₂ можно приближенно подсчитать следующим способом.

,

где - степень расширения диффузора.

Второе слагаемое - потеря напора па расширение (на вихреобразование) - имеет в диффузоре ту же природу, что и при внезапном расширении, но меньшее значение, поэтому оно обычно выражается по той же формуле, но с поправочным коэффициентом k, меньшим единицы,

.

Так как в диффузоре по сравнению с внезапным расширением торможение потока как бы смягченное, коэффициент k называют коэффициентом смягчения. Его численное значение для диффузоров с углами конусности α =5 - 20° можно определять по приближенной формуле .

Учитывая полученные формулы, потери напора на диффузоре можно определить по формуле

.

Коэффициент ζ_диф зависит от угла α, коэффициента λ_т и степени расширения п.

С увеличением угла α при заданных λ_т и п первое слагаемое в формуле, обусловленное трением, уменьшается, так как диффузор становится короче, а второе слагаемое, обусловленное вихреобразованием и отрывом потока, увеличивается. При уменьшении же угла α вихреобразование уменьшается, но возрастает трение, так как при заданной степени п расширения диффузор удлиняется, и поверхность его трения увеличивается.

Оптимальное значениеα при λ_тр = 0,015 - 0,025 и п = 2 - 4 получим α_опт = 6°, что соответствует экспериментальным данным. На практике для сокращения длины диффузора при заданном п обычно принимают несколько большие углы а, а именно α = 7 - 9°. Эти же значения угла а можно рекомендовать и для квадратных диффузоров.

Для прямоугольных диффузоров с расширением в одной плоскости (плоские диффузоры) оптимальный угол больше, чем для круглых и квадратных, и составляет 10 - 12°.

Если габариты не позволяют установить углыа, близкие к оптимальным, то при α > 15 - 25° целесообразно отказаться от диффузора с прямолинейной образующей и применить один из специальных диффузоров, например, диффузор, обеспечивающий постоянный градиент давления вдоль оси (dр/dх = соnst) и, следовательно, приблизительно равномерное нарастание давления (при прямой образующей градиент давления убывает вдоль диффузора).

Уменьшение потери энергии в таких диффузорах по сравнению с обычными будет тем больше, чем больше угол α, и при углах 40 - 60° доходит до 40 % от потерь в обычных диффузорах. Кроме того, поток в криволинейном диффузоре отличается большей устойчивостью, т. е. в нем меньше тенденций к отрыву потока.

Хорошие результаты дает также ступенчатый диффузор, состоящий из обычного диффузора с оптимальным углом и следующего за ним внезапного расширения. Последнее не вызывает больших потерь энергии, так как скорости в этом месте сравнительно малы. Общее сопротивление такого диффузора значительно меньше, чем обычного диффузора такой же длины, и с той же степенью расширения, показанного на рисунке штриховыми линиями.

Сужение русла

Внезапное сужение русла (трубы) всегда вызывает меньшую потерю энергии, чем внезапное расширение с таким же соотношением площадей. В этом случае потеря обусловлена, во-первых, трением потока при входе в узкую трубу и, во-вторых, потерями на вихреобразование. Последние вызываются тем, что поток не обтекает входной угол, а срывается с него и сужается; кольцевое же пространство вокруг суженной части потока заполняется завихренной жидкостью.

В процессе дальнейшего расширения потока происходит потеря напора, определяемая формулой Борда. Следовательно, полная потеря напора

,

где ζ₀ - коэффициент потерь, обусловленный трением потока при входе в узкую трубу и зависящий от S₁/S₂ и Re; v_x - скорость потока в суженном месте; ζ_суж - коэффициент сопротивления внезапного сужения, зависящий от степени сужения.

Для практических расчетов можно пользоваться полуэмпирической формулой И. Е. Идельчика:

,

где n=S₁/S₂ - степень сужения.

Закруглением входного угла (входной кромки) можно значительно уменьшить потерю напора при входе в трубу.

Постепенное сужение трубы, т. е. коническая сходящаяся труба, называется конфузором. Течение жидкости в конфузоре сопровождается увеличением скорости и падением давления; так как давление жидкости в начале конфузора выше, чем в конце, причин к возникновению вихреобразований и срывов потока (как в диффузоре) нет. В конфузоре имеются лишь потери на трение. В связи с этим сопротивление конфузора всегда меньше, чем сопротивление такого же диффузора.

Потерю напора на трение в конфузоре можно подсчитать по следующей формуле

.

Небольшое вихреобразование и отрыв потока от стенки с одновременным сжатием потока возникает лишь на выходе из конфузора в месте соединения конической трубы с цилиндрической. Для ликвидации вихреобразования и связанных с ним потерь рекомендуется коническую часть плавно сопрягать с цилиндрической или коническую часть заменять криволинейной, плавно переходящей в цилиндрическую. При этом можно допустить значительную степень сужения п при небольшой длине вдоль оси и небольших потерях.

Коэффициент сопротивления такого плавного сужения, называемого соплом, изменяется примерно в пределах ζ = 0,03 - 0,1 в зависимости от степени и плавности сужения и Rе (большим Rе соответствуют малые значения ζ и наоборот).

Поворот русла

Внезапный поворот трубы, или колено без закругления, обычно вызывает значительные потери энергии, так как в нем происходят отрыв потока и вихреобразование, причем эти потери тем больше, чем больше угол δ. Потерю напора рассчитывают по формуле

.

Коэффициент сопротивления колена круглого сечения ζ_кол возрастает с увеличением δ очень круто и при δ = 90° достигает единицы.

Постепенный поворот трубы, или закругленное колено, называется также отводом. Плавность поворота значительно уменьшает интенсивность вихреобразования, а следовательно, и сопротивление отвода по сравнению с коленом. Это уменьшение тем больше, чем больше относительный радиус кривизны отвода R/d, и при достаточно большом его значении срыв потока и связанное с ним вихреобразование устраняется полностью. Коэффициент сопротивления отвода ζ_отв зависит от отношения R/d, угла δ, а также формы поперечного сечения трубы.

Для отводов круглого сечения с углом δ= 90° и R/d ≥1 при турбулентном течении можно пользоваться эмпирической формулой

.

Для углов δ ≤ 70° коэффициент сопротивления

,

а при δ ≥ 100^о

.

Потеря напора, определяемая приведенными коэффициентами ζ_отв учитывает лишь дополнительное сопротивление, обусловленное кривизной русла, поэтому при расчете трубопроводов, содержащих отводы, следует длины этих отводов включать в общую длину трубопровода, по которой подсчитывается потеря на трение, а затем к этой потере на трение нужно добавить дополнительную потерю от кривизны, определяемую коэффициентом ζ_отв.

Местные сопротивления при ламинарном течении

Изложенное выше относилось к местным гидравлическим потерям при турбулентном режиме течения в трубопроводе. При ламинарном режиме, во-первых, местные сопротивления обычно играют малую роль по сравнению с сопротивлением трения и, во-вторых, закон сопротивления является более, сложным и исследован в меньшей степени, чем при турбулентном течении.

Если при турбулентном течении местные потери напора можно считать пропорциональными скорости (расходу) во второй степени, а коэффициенты потерь ζ определяются в основном формой местного сопротивления и практически не зависят от Rе, то при ламинарном течении потерю напора h_м следует рассматривать как сумму

.

где h_тр - потеря напора, обусловленная непосредственным действием сил трения (вязкости) в данном местном сопротивлении и пропорциональная вязкости жидкости и скорости в первой степени; h_вихр - потеря, связанная с отрывом потока и вихреобразованием в самом местном сопротивлении или за ним и пропорциональная скорости во второй степени.

Так, например, при течении через жиклер слева от плоскости расширения возникает потеря напора на трение, а справа - на вихреобразование.

Учитывая закон сопротивления при ламинарном течении с поправкой на начальный участок, можно представить в виде:

,

где А и В - безразмерные константы, зависящие в основном от формы местного сопротивления.

После деления уравнения на скоростной напор получим общее выражение для коэффициента местного сопротивления при ламинарном течении в трубопроводе

.

Получено А. Д. Альштулем и Б.Б. Некрасовым одновременно.

Соотношение между первым и вторым членами в формулах зависит от формы местного сопротивления и числа Rе.

В таких местных сопротивлениях, где имеется узкий канал, длина которого значительно превышает его поперечный размер, с плавными очертаниями входа и выхода, а числа Rе малы, потеря напора определяется в основном трением, и закон сопротивления близок к линейному. Второй член в формулах в этом случае равен нулю или очень мал по сравнению с первым.

Если же в местном сопротивлении трение сведено к минимуму, например, благодаря острой кромке, и имеются отрывы потока и вихреобразование, а числа Rе достаточно велики, то потери напора пропорциональны скорости (и расходу) приблизительно во второй степени.

При широком диапазоне изменения числа Rе в одном и том же местном сопротивлении возможен как линейный (при малых Rе), так и квадратичный (при больших Rе) закон сопротивления, а также переходная между ними область сопротивления при средних Rе.

Доказанная для турбулентного режима теорема о потере напора при внезапном расширении русла при ламинарном режиме неприменима. Дело в том, что в этом случае уже неприемлемы те допущения, которые делались при доказательстве этой теоремы, а именно, предположения о равномерном распределении скоростей в сечениях 1 - 1 и 2 - 2, о постоянстве давления по всей площади S₂ в сечении 1 - 1 и о равенстве нулю касательных напряжений.

Как показывают новые экспериментальные исследования, коэффициент потерь для внезапного расширения при очень малых Rе (Rе<9) слабо зависит от соотношения площадей и в основном определяется числом Rе по формуле вида . Это значит, что течение является безотрывным, и потеря на расширение пропорциональна скорости в первой степени. При 9 <Rе < 3500 коэффициент потерь зависит как от числа Rе, так и от отношения площадей. При Rе > 3500 можно считать вполне справедливой теорему Борда, т. е. формулу (число Rе определяется по диаметру и скорости до расширения).

Когда по трубе подводится жидкость со скоростью v₁ к резервуару больших размеров, где v₁ = 0, то можно считать, что теряется вся удельная кинетическая энергия жидкости, которая для стабилизированного ламинарного потока в круглой трубе равна

,

где α_л – коэффициент Кориолиса.

Если же поток не является стабилизированным (длина трубы l < l_нач), то коэффициент α_л следует определять по графику.

Лекция №11