Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ГЛАВА III – ПРОИЗВОДНАЯ и ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ.doc

Скачиваний:

Добавлен:

11.04.2015

Размер:

1.76 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

§ 8. Правило Лопиталя – Бернулли

Правило позволяет раскрывать неопределённости и, а также, после приведения к указанным дробям, неопределённости,,и.

Оказывается, если в некоторой точке две функции равны 0, то предел их отношения такой же, как у отношения производных: .

Подобное свойство выполнено, если функции в точке a становятся бесконечно большими: .

Кроме того, оба свойства справедливы, когда , а не к точкеa.

Пример 1. Найдём . Посколькуи, то

Разумеется, можно было вначале сократить и потом подставить 2.

Пример 2. .

Пример 3. (или)

(если забыть, что при любых ивсегда).

Пример 4. Правило Лопиталя – Бернулли можно применять несколько раз:

(тем самым при любыхи, даже прии).

Правило нельзя применять, если нет неопределённости или.

Пример 5. , при этом.

ЛБ1. Найдите по правилу Лопиталя – Бернулли

1) а) ; б); в); г);

2) а) ; б); в); г);

3) а) ; б); в); г);

4) а) ; б); в); г);

5) а) ; б); в); г).

Неопределённость можно раскрыть, заменив наили.

Пример 6. Найдём . Учтём, что, тогда

Неопределённость приводят к, а затем – кили.

Пример 7. Найдём . Преобразуем:

Но , и. Тогда отношение производных можно упростить до.

Значит, .

В данном примере можно было сразу после взятия производных учесть, что при, и не записывать громоздкий корень, а заменять числом 1. Однако так нельзя делать, если из корня такое же число 1 вычитается.

ЛБ2. Найдите по правилу Лопиталя – Бернулли

1) а) ; б); в);

2) а) ; б); в);

3) а) ; б); в).

Применение правила можно совмещать с переходом к эквивалентным бесконечным малым величинам и с подстановкой чисел.

Пример 8. , дифференцируем числитель и знаменатель:

Но ,, а прии, тогда

ЛБ3. Найдите по правилу Лопиталя – Бернулли

1) а) ; б); в); г);

1) а) ; б); в); г).

§ 9. Исследование функций и построение графиков

Учиться строить графики по результатам исследования функций лучше всего на занятиях вместе с группой. Возможны разные способы построения графика по уже проведённому исследованию, например,

– постепенное уточнение: «монотонность – выпуклость – асимптоты»;

– уточнение: «поведение на краях – асимптоты – монотонность – выпуклость»;

– соединение отрезков, на которых ничего не меняется (выпуклое убывание, выпуклое возрастание и т.д. – метод, популярный в средней школе).

Общая схема исследования функции

1) Элементарное исследование:

а) найти область определения (обязательно), область значений;

б) точки пересечения с осями координат;

в) чётность и (или) периодичность;

2) монотонность и экстремум:

а) найти корни производной и разместить их на числовой оси;

б) выяснить знак производной на каждом полученном интервале;

в) определить интервалы возрастания, убывания;

г) найти точки минимума и максимума;

3) выпуклость и перегиб:

а) найти 2-ю производную, найти её корни и расставить их на числовой оси;

б) – г) по аналогии с 2) определить интервалы выпуклости «вниз», «вверх»,

точки перегиба;

4) асимптоты графика (для многочленов этот шаг не имеет смысла);

5) график функции строится по всем особенным точкам и линиям, полученным

на предыдущих шагах.

Замечание 1. Под точкой минимума или перегиба подразумевается как абсцисса (значение переменной), так и ордината (значение функции в этой переменной). Таким образом, речь идёт о точках графика, а не точках числовой оси. В литературе в этом отношении часто встречаются противоречия в текстах.

Исследование на выпуклость обычно связано с вычислительными трудностями. Далее показано, как при помощи небольшого рассуждения упростить построение графика, обходясь без 2-й производной.

Пример 1. Посмотрим, как можно построить график функции .

Замечаем, что функция не пересекает ось OX (уравнение не имеет корней). Кроме того, функция чётная – значит, график симметричен относительно осиOY.

С ростом x от до 0 величинаубывает отдо 1. Обратная к ней величинасоответственно возрастает отдо:

С другой стороны, растёт от 1 придопри, тогда обратная величинаубывает отпридопри:

Подтверждается замечание о симметричности графика относительно вертикали. Объединяя графики, получаем такой набросок:

Однако график должен быть плавный, поскольку 1-я производная определена во всех точках. Поэтому с каждой стороны от оси OY график обязательно перегнётся:
Здесь решающую роль сыграло то, что график не пересекает ось OX. Иначе была бы возможна любая ситуация, например, такая:

Пример 2. Функция нечётная, и её график симметричен относительно начала координат. Посмотрим, что происходит при. Заметим, что график пересекает осьOX в точке , и только в ней.

При функция, не пересекая осьOX. Также при функция положительна.

Получается, что где-то при функция достигает максимума, и потом убывает:

Но если функция будет выпукла вверх, она пересечёт ось OX при , а этого быть не должно. Значит, где-то после точки максимума график перегнётся и пойдёт выпуклостью вниз:

Учитывая симметрию относительно начала координат, получаем примерно такой график:

Здесь центр рисунка соответствует началу координат.

Поиск производных нужен, если интересуют конкретные координаты точек экстремума или перегиба. Кроме того, приведённые рассуждения определяют число точек экстремума или перегиба с точностью до чётного числа.

Так, в примере 2 при могла быть не 1, а 3 точки перегиба (но не 2 и не 4!), не 1 максимум, а 2 максимума и 1 минимум между ними, и т.д.

Замечание 2. В строгой математической литературе нередко «выпуклая функция» – это функция, график которой обращён «выпуклостью вниз» (например, парабола). Соответственно функции типа квадратного корня оказываются «вогнутыми». Это противоположно студенческой (и преподавательской) традиции, поэтому при обращении к старым учебникам необходимо внимательно следить, о каких функциях речь.

ИФ1. Постройте графики квадратичных функций по стандартной схеме исследования. Сравните с тем, что получается при построении по школьной схеме:

1) ;