Замечание о поиске 2-х производных
Поиск 2-й производной
от дробной функции можно упростить,
разложив дробь на целую часть и правильную
дробь (например, разделив уголком или
методом неопределённых коэффициентов).
Пример 3.
,Разложим и учтём, что:
,
тогда
.
Очевидно,
приипри.
Пример 4.
,Применим формулу:
,
тогда
.
Для выяснения
знака
замечаем, чтоне существует при,
а также
,
тем самым ось надо
разбить на интервалы точками
и.
Окажется, чтоприиприи при(проверьте).
Пример 5.
,В числителе нужен фрагмент, делящийся
на знаменатель:
.
Поиск
проще, чем.
Вначале находим
,
затем, вынося как
можно больше множителей за скобки,
,
откуда, с учётом
коэффициента –5 и того, что
,
.
Знаменатель
положителен, а числитель даёт 3 точки,
и знак чередуется, начиная с
при.
Также можно
упростить дифференцирование, если дробь
правильная, но содержит квадрат или куб
скобки, и т.п.
Пример 6.
,.
Учитывая, что
,
находим
и затем
.
Получается, что
приипри,
причём.
Пример 7.
,Разложим дробь так:
.
Теперь можно
заметить, что
,
и поэтому
.
Тем самым
,
и тогда
а)
;
б)
.
Для поиска корней
вынесем за скобки
:
,
откуда
– точка разрыва, аи– корни числителя.
80