2 Способ (с помощью элементарных преобразований):

1. отбрасывание нулевой строки (столбца);

2. умножение всех элементов строки (столбца) на постоянное число не равное нулю;

3. изменение порядка строк (столбцов) матрицы;

4. прибавление к каждому элементу одной строки соответствующего элемента другой строки, умноженного на любое число, не равное нулю.

Пример.

Найти А^-1

,

А^-1 =

§5. Ранг матрицы.

Определение 1. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы и обозначается .

Из определения следует:

1. Ранг матрицы не превосходит меньшего из чиселm

и n, т.е. .

2. Ранг матрицы А равен нулю, если эта матрица нулевая.

3. Для квадратной матрицы n-го порядка ранг равен n, если матрица А невырожденная .

4. Ранг матрицы равен числу ступенек эквивалентной ступенчатой матрицы, получаемой из данной матрицы с помощью элементарных преобразований

Пример.

Приведем матрицу А к ступенчатому виду:

Так как число ступенек равно 2, то ранг равен 2.

Решение систем линейных уравнений.

§6.Формулы Крамера

1. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

.

,,

Окончательно имеем:

- формулы Крамера.

Пример:

Замечание:

ll

§7. Метод Гаусса

В основе метода Гаусса лежит

последовательное исключение неизвестных. С помощью элементарных преобразований, система уравнений приводится к ей равносильной ступенчатого или треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних переменных, находят все остальные.

При решении методом Гаусса можно:

• переставлять местами два любых уравнения системы;

• умножать обе части уравнения на произвольное, отличное от нуля число;

• прибавлять к обеим частям одного уравнения соответствующие части другого, умноженного на какое-то постоянное число.

Система обычно решается с помощью преобразований расширенной матрицы (матрицы коэффициентов при неизвестных и свободных членов).

Если в результате преобразования матрицы:

1. система приводится к треугольному виду, то она имеет единственное решение

2. система приводится к трапецоидальному виду, то она имеет бесконечное множество решений.

3. В результате элементарных преобразований появится уравнение вида:

система решений не имеет

Пример 1: Методом Гаусса решить систему уравнений

Запишем полученную систему треугольного вида

Пример 2.

Пусть система приводится к виду трапеции:

~ ~обозначим

Имеем: ;

Итак: (-2+С; 3-2С; С)-общее решение

При находим бесконечное множество конкретных решений.

§8. Матричный метод решения систем линейных уравнений

Пусть дана система уравнений:

Введем обозначения:

Тогда первую часть этой системы можно будет представить в виде произведения двух матриц, а всю систему можно записать в виде матричного уравнения:

.

Чтобы решить это матричное уравнение, нужно обе части слева умножить на :

Замечание: Матричным методом можно решать систему уравнений, если матрица А невырожденная.

Пример: Решить матричным способом систему уравнений

§9. n-мерные векторы. Линейные операции над n-мерными векторами. Понятие линейного векторного пространства

Определение 1. Упорядоченный набор чисел, записанный в виде , называетсяn - мерным вектором, где - его координаты или компоненты.

Понятие n - мерного вектора широко используется в экономике: некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором , а соответствующие цены - вектором.

Векторы можно:

1. умножать на действительное число

;

2. складывать

.

Эти операции обладают следующими свойствами:

1. - переместительное (коммутативное).

2. - сочетательное (ассоциативное)

3. - ассоциативное относительно числового множителя

4. - распределительное (дистрибутивное)

5. - дистрибутивное относительно суммы числовых

множителей.

6. Существует нулевой вектор такой, что

7. Для любого вектора существует противоположный вектортакой, что

8. - для любого вектора .

Определение 2. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены действия и, удовлетворяющие 8- ми свойствам (аксиомам), называетсялинейным векторным пространством.