§6 Числовые характеристики вариационных рядов
Вариационным размахом называется разность между наибольшим и наименьшим вариантами ряда: R = .
Средней арифметической вариационного ряда называется сумма произведений всех вариантов на соответствующие частоты, деленная на сумму частот: , где - варианты или середины интервалов, - соответствующие им частоты.
Найти среднюю арифметическую вариационного ряда:
№ |
Вариационный ряд |
Средняя арифметическая |
||||||||||||||||||
1
|
Тарифный
разряд
1 2 3 4 5 6 Количество
рабочих
2 3 6 8 22 9 50 |
4,08 |
||||||||||||||||||
2
|
Выработка
94-100 100-106 106112 112-118 118-124 124130 130136 136142 Количество
рабочих (частота
) 3 7 11 20 28 19 10 2 |
119,2 |
Очевидно, что .
Дисперсией вариационного ряда называется средняя арифметическая квадратов отклонений вариантов от их средней арифметической:
Дисперсия характеризует группировку признака около среднего арифметического или разброс около нее.
Средним квадратическим отклонением вариационного ряда называется арифметическое значение корня квадратного из дисперсии:
Вычислить вариационный размах, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации вариационного ряда:
Вариационный ряд |
Тарифный
разряд
1 2 3 4 5 6 Количество
рабочих 2 3 6 8 22 9 |
Выработка
94-100 100106 106112 112-118 118124 124130 130-136 136142 Количество
рабочих
3 7 11 20 28 19 10 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
R |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4,08 |
119,2
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
* |
** 87,48 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
9,35 (%) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычисления |
* |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
** |
Коэффициентом вариации называется процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:
Коэффициент вариации – безразмерная величина, поэтому он пригоден для сравнения рассеяний вариационных рядов, варианты которых имеют различную размерность. Если коэффициент вариации признака, принимающего положительные значения, высок, например, больше 100%, то это свидетельствует о неоднородности значения признака.
Существуют упрощенные формулы для вычислений средней арифметической и дисперсии, а именно: , , где n - объем выборки, - значение признака, - частота значений признака, m - число значений признака, k – величина интервала, с – середина серединного (или одного из серединных) интервалов.
Вычислить упрощенным способом среднюю арифметическую и дисперсию распределения рабочих по выработке.
Интервалы х |
Середина интервала
|
|
с =121 |
|
|
|
94 - 100 |
97 |
3 |
-24 |
-4 |
-12 |
48 |
100 - 106 |
103 |
7777 |
-18 |
-3 |
-21 |
63 |
106 - 112 |
109 |
171 |
765-12 |
-2 |
-22 |
44 |
112 - 118 |
115 |
20 |
-6 |
-1 |
-20 |
20 |
118 - 124 |
121 |
28 |
0 |
0 |
0 |
0 |
124 - 130 |
127 |
19 |
6 |
1 |
19 |
19 |
130 - 136 |
133 |
10 |
12 |
2 |
20 |
40 |
136 - 142 |
139 |
2 |
18 |
3 |
6 |
18 |
100 -30 252 |
||||||
= 119, 2(%), = 87,48 |
Вычислить упрощенным способом среднюю арифметическую и дисперсию распределения рабочих по росту.
Интервалы х |
Середина интервала
|
|
с =165,5 |
|
|
|
143 - 146 |
144,5 |
1 |
|
|
|
|
146 - 149 |
|
2 |
|
|
|
|
149 - 152 |
|
8 |
|
|
|
|
152 - 155 |
|
26 |
|
|
|
|
155 - 158 |
|
65 |
|
|
|
|
158 - 161 |
|
120 |
|
|
|
|
161 - 164 |
|
181 |
|
|
|
|
164 - 167 |
|
201 |
|
|
|
|
167 - 170 |
|
170 |
|
|
|
|
170 - 173 |
|
120 |
|
|
|
|
173 - 176 |
|
64 |
|
|
|
|
176- 179 |
|
28 |
|
|
|
|
179 - 182 |
|
10 |
|
|
|
|
182 - 185 |
|
3 |
|
|
|
|
185 - 188 |
|
1 |
|
|
|
|
1000 10 4064 |
||||||
= 165,53; = 36,5751 |
Средняя арифметическая , дисперсия и другие характеристики вариационного ряда являются статистическими аналогами математического ожидания M(X), дисперсии D и соответствующих характеристик случайной величины Х. Вариационный ряд может рассматриваться как одна из реализаций распределения случайной величины.
Случайная величина |
Вариационный ряд |
||
Термин |
Обозначения, формулы |
Термин |
Обозначения, формулы |
Дискретная случайная величина |
|
Дискретный ряд |
|
Непрерывная случайная величина |
|
Интервальный ряд |
|
Значение случайной величины |
|
Вариант |
|
Вероятность |
|
Частость |
|
Многоугольник распределения, кривая распределения вероятностей |
|
Полигон, гистограмма |
|
Функция распределения |
|
Эмпирическая функция распределения |
|
Математическое ожидание |
а = |
Средняя арифметическая |
|
Дисперсия |
= = |
Дисперсия |
= = |
Среднее квадратическое отклонение |
|
Среднее квадратическое отклонение |
|