Блок 2. Случайные величины
Задача 4.
Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид:
Найти вероятность и дисперсию , если математическое ожидание
Решение.
По условию задачи дано: закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид:
Значение вероятностей находим из формулы:
Так как , то составим систему линейных уравнений и вычислим значения вероятностей
Выразим через и подставим в первое уравнение:
Таким образом, закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид:
Дисперсию вычисляем по формуле:
Ответ:
Математическая статистика Блок 3. Численная обработка данных одномерной выборки
Задача 5.
Выборка X объемом измерений задана таблицей:
где - результаты измерений, – частоты, с которыми встречаются значения ,
-
Построить полигон относительных частот
-
Вычислить среднее выборочное , выборочную дисперсию и среднеквадратическое отклонение .
Решение.
По условию задачи дано:
Вычислим
Вычислим
Для вычисления относительных частот воспользуемся формулой
и сведем все вычисления в таблицу:
№ п/п |
варианты, |
частоты, |
относительные частоты, |
- |
Построим полигон относительных частот (по оси абсцисс отмечаем значения выборки , а по оси ординат – значения относительных частот ):
Среднее выборочное вычисляем по формуле:
Выборочную дисперсию вычисляем по формуле:
Среднеквадратическое отклонение вычисляем по формуле:
Ответ: среднее выборочное ; выборочная дисперсия ; среднеквадратическое отклонение .
Блок 4. Построение уравнения прямой регрессии
Задача 6.
В таблице представлены выборочные данные о производительности труда и себестоимости продукции , полученные с однотипных предприятий за месяц. Найти:
а). коэффициент корреляции ;
б). уравнение регрессии, характеризующее зависимость себестоимости продукции от производительности труда; на графике изобразить корреляционное поле, то есть нанести точки и построить прямую .
производительность труда, |
||||||
себестоимость продукции, |
Решение.
По условию задачи дано:
производительность труда, |
||||||
себестоимость продукции, |
а). Для вычисления коэффициента корреляции воспользуемся формулой:
где - выборочные средние значения величин ;
- среднее значение произведений ;
– выборочные среднеквадратические отклонения:
.
Полученные вычисления запишем в расчетную таблицу:
№ п/п |
||||||
- |
||||||
Средние значения |
- |
Выборочные среднеквадратические отклонения:
Вычислим коэффициент корреляции :
Связь между себестоимостью продукции и производительностью труда высокая, обратная.
б). Для получения уравнения регрессии, характеризующего зависимость себестоимости продукции от производительности труда , составим и решим систему уравнений:
Уравнение регрессии, характеризующее зависимость себестоимости продукции от производительности труда, имеет вид:
На графике изобразим корреляционное поле и построим прямую
.
Ответ: а). коэффициент корреляции , связь между себестоимостью продукции и производительностью труда высокая, обратная; б). уравнение регрессии, характеризующее зависимость себестоимости продукции от производительности труда, имеет вид: .