Lungu1_math453 / ТФКП Питер[Aleksandrova_E.B.,_Svencickaya_T.A.,_Timofeeva_L.(BookFi.org)
.pdfЗамечание 2. Можно доказать, что степенной ряд, представляющий аналитическую в некотором круге функцию, определен однозначно.
Получим еще одно выражение для коэффициентов cn . Положим z = z 0
в формуле (2), получим f (z0 )= c0 .
Продифференцируем ряд (2) почленно:
∞ |
n−1 |
f ′(z)= ∑cn n(z − z0 ) |
|
n=1 |
|
и в полученном равенстве положим z = z0 , тогда |
f ′(z0 )= c1 . |
Аналогично, положив z = z0 в выражении для производной k -го по-
рядка. Имеем:
∞
f (k )(z)= ∑cn n(n − 1)K(n − k + 1)(z − z0 )n−k ,
n=k
получим f (k )(z0 )= ck k!. Откуда
cn = |
|
f |
(n)(z |
0 |
) |
. |
|
|
|
(4) |
|||
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда ряд (2) примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
f (n)(z |
0 |
) |
|
|
|||||
f (z)= |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
(z − z0 )n . |
(5) |
|||
|
n! |
|
|
|
|
|
|||||||
|
n =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд (5) называется рядом Тейлора.
Сравнивая выражения (3) и (4) для коэффициентов cn , имеем
c |
= |
1 |
∫ |
f (ξ) |
dξ = |
f (n)(z |
0 |
) |
. |
||
|
(ξ −z |
|
)n +1 |
|
|
|
|||||
n |
|
2π i |
0 |
|
n! |
|
|
|
|||
|
|
|
C + |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда получаем интегральное представление для производных любого порядка аналитической функции.
f (n)(z0 )= |
n! |
∫ |
f (ξ)dξ |
, |
(6) |
||
2π i |
(ξ −z |
0 |
)n +1 |
||||
|
|
C + |
|
|
|
|
101
где С - |
любой замкнутый контур, лежащий в области аналитичности и со- |
||||||||||||||||||
держащий внутри точку z0 (формула (6) была ранее получена в гл. II §5). |
|||||||||||||||||||
Пример 1. Разложить функцию |
f (z)= ln z |
в ряд Тейлора в окрестности |
|||||||||||||||||
точки z0 = 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Функция |
f (z)= ln z = ∫z |
dξ |
была рассмотрена в §10 главы |
||||||||||||||||
ξ |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2. Ее производные: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
′ |
1 |
′′ |
1 |
; f |
′′′ |
2 |
|
|
f |
(n) |
(z)= (− 1) |
n−1 (n − 1)! |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z n |
|||||||||
f (z)= z ; |
f (z)= −z 2 |
(z)= z 3 ; …; |
|
||||||||||||||||
Вычислим коэффициенты cn по формуле (4): |
|
|
|||||||||||||||||
c |
n |
= |
1 |
(− 1)n−1 |
(n − 1)! |
|
|
= (− 1)n−1 , n = 1, 2, K, c = ln 1 = 0 . |
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
n! |
|
z n |
|
|
z=1 |
|
n |
|
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln z = ∑(− 1)n−1 (z − 1)n . |
|
(7) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С помощью признака Д’Аламбера, применяемого к ряду, составленному из модулей членов ряда (7), легко убедиться, что кругом сходимости ряда
(7) является круг z − 1 < 1 .
Пример 2. Вычислить ∫ |
ez dz |
|
|
|||||||
|
, |
|
|
|
|
|||||
(z −i)4 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
C + |
|
|
||||
где C - окружность |
|
z − 1 |
|
= 2 . |
|
z − 1 |
|
= 2 , а |
||
|
|
|
||||||||
Решение. Так как точка z0 = i лежит внутри окружности |
|
|
||||||||
|
|
|||||||||
функция f (z)= ez - аналитическая на всей комплексной плоскости, |
то для |
|||||||||
вычисления интеграла удобно применить формулу (6), считая в ней: |
|
n = 3 , |
||||||||
z0 = i . Имеем |
|
|
102
|
|
|
|
|
ez dz |
|
|
2π i |
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π i |
|
|
π i |
|
|
|
|
|
|
π |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
(ez ) |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
ei = |
|
3 (cos 1 + i sin 1) |
|
= 3 (−sin 1 + i cos 1) |
|||||||||||||
(z −i)4 |
|
3! |
|
|
|
z =i |
|
|
|
|
6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
C + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратимся к формулам (3) для коэффициентов степенного ряда: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (ξ) |
|
dξ, n = 0, 1, 2, K. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π i ∫ |
(ξ − z0 )n +1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C ρ+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (z0 ; ρ)= max |
|
|
f (z) |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z Cρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число M (z0 ; ρ) существует, поскольку по теореме Вейерштрасса, не- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
прерывная функция двух вещественных аргументов |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) |
|
= u2 (x ; y)+ v2 (x ; y) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
на замкнутом ограниченном множестве C ρ |
достигает своего наибольшего |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
значения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Поскольку, |
на C ρ |
|
выполняется равенство |
|
ξ − z0 |
|
= ρ , то получаем |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
оценку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
cn |
|
= |
|
|
|
∫ |
f (ξ) |
|
|
|
|
dξ |
|
≤ |
1 |
|
M (z0 ; ρ) |
∫dξ = |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2π i |
|
|
|
n + |
1 |
|
|
|
2π |
ρ |
n +1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
(ξ −z0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C ρ |
|
|
= 21π Mρ(zn0+;1ρ)2π ρ = M (ρz0n; ρ).
Таким образом, мы доказали неравенства
cn |
|
≤ |
M (z0 |
; ρ) |
, n = 0, 1, 2, K, |
(8) |
|
|
|||||||
|
ρn |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
которые называются неравенствами Коши для коэффициентов степенного ряда.
103
Теорема Лиувилля. Если функция f (z) является аналитической на всей комплексной плоскости, а ее модуль равномерно ограничен, то она тождественно равна постоянной.
Доказательство. В условиях теоремы:
M (z0 ; ρ)=M , для любых z0 и ρ , причем ρ может быть сколь угодно большим. Пользуясь неравенствами Коши, имеем
cn ≤ ρMn , n = 0, 1, 2, K.
Переходя в полученном неравенстве к пределу при ρ → ∞, получим cn = 0
для n ≥ 1 . Следовательно
f (z)≡ c0 .
Определение. Функция f (z) называется целой, если она является ана-
литической на всей комплексной плоскости C .
§2. Нули аналитической функции
Определение 1. Точка z0 , в которой f (z0 )= 0 , называется нулем функ-
ции f (z).
Пусть f (z) - аналитическая в области D функция, а ее нуль – точка z0 D . Тогда в окрестности точки z0 функция f (z) представима степенным рядом (см. §1).
∞
f (z)= ∑cn (z − z0 )n .
n=0
Поскольку f (z0 )= 0 , то c0 = 0 . Если не только коэффициент c0 , но и коэффициенты c1 , c2 , …, ck −1 равны нулю, а коэффициент ck отличен от нуля, то точка z0 называется нулем порядка k . В этом случае f (z) предста-
вима в виде
∞
f (z)= ∑cn (z − z0 )n = ck (z − z0 )k + ck +1 (z − z0 )k +1 +K=
n=0
104
= (z − z0 )k [ck + ck +1 (z − z0 )+K].
Функция ϕ(z)= ck + ck +1 (z − z0 )+K является аналитической в окре-
стности точки z0 , причем ϕ(z0 )≠ 0 . Тогда f (z)= (z − z0 )k ϕ(z).
Всилу непрерывности функции ϕ(z) существует окрестность точки z0 ,
вкоторой ϕ(z)≠ 0 . Следовательно, в этой окрестности функция f (z) обра-
тится в нуль только в точке z0 . Это свойство называется свойством изолиро-
ванности нулей аналитической функции. На основании этого свойства можно доказать теорему [1].
Теорема 1. Если функция |
f (z) - аналитическая в области D и ее нули |
образуют последовательность |
{zn }, сходящуюся к z0 , причем z0 , zn D , |
n = 1, 2, K, то функция f (z) тождественно равна нулю в D . |
Из теоремы 1 вытекает весьма важная в теории функций комплексного переменного теорема, так называемая теорема единственности:
Теорема 2. Пусть функции f (z) и ϕ(z) являются аналитическими в
области D . Если в D существует сходящаяся к некоторой точке z0 D по-
следовательность {zn }, причем f (zn )=ϕ(zn ), n = 1, 2, K, то f (z)≡ϕ(z) в D .
Для доказательства теоремы 2 достаточно установить, что функция
f (z)−ϕ(z)≡ 0 в D .
Следствие 1. Если функции |
f (z) и ϕ(z), аналитические в области D , |
совпадают на некоторой кривой |
l, принадлежащей данной области , то |
f (z)≡ϕ(z) в D . |
|
Следствие 2. Если функции |
f1 (z) и f 2 (z), аналитические в областях |
D1 и D2 соответственно, причем D1 ∩ D2 = D , а f1 (z)= f2 (z) в D , то суще-
ствует единственная аналитическая функция F (z) такая, что
F z = f1 (z), z D1
( ) f 2 (z), z D2 .
105
§3. Ряд Лорана
Рассмотрим круговое кольцо K , ограниченное двумя окружностями с
общим центром z0 . K : R1 < |
|
z − z0 |
|
< R2 , R1 < R2 (см. рис. 1). |
||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Пусть функция f (z) - аналитиче- |
||||||
|
|
|
|
|
|
ская в кольце K . Покажем, что в этом |
||||||
z |
|z-z0| |
|
|
|
|
случае функция f (z) есть сумма особого |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
z0 |
|
|
|
|
ряда (по положительным и отрицатель- |
||||||
|
C1 |
|
|
|
|
|||||||
|
C2 |
|
ным степеням z − z0 ), |
называемого ря- |
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
дом Лорана. |
|
|
||||
|
Рис. 1 |
|
|
|
|
Рассмотрим произвольную точку |
||||||
z K . Построим окружности C1 и C2 с центром в точке z0 |
и радиусами r1 и |
|||||||||||
r2 , удовлетворяющими условию R1 < r1 < |
|
z − z0 |
|
|
< r2 < R2 |
(см. рис. 1) (ок- |
||||||
|
|
|||||||||||
ружности C1 и C2 лежат в кольце K , а точка z |
находится внутри кольца, |
|||||||||||
образованного этими окружностями). |
|
|
Функция f (z) будет аналитической в кольце между C1 и C2 , включая сами окружности. Применяя формулу Коши для двусвязной области, получаем
f (z)= |
1 |
∫ |
f (ξ) |
dξ − |
1 |
∫ |
f (ξ) |
dξ . |
(1) |
||
2π i |
ξ − z |
2π i |
ξ −z |
||||||||
|
|
С |
+ |
|
|
|
С |
+ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
Преобразуем каждое слагаемое формулы (1).
1)В первом интеграле формулы (1) ξ обозначает точку окружности C2 ,
следовательно выполняется неравенство
|
|
|
|
|
|
|
|
z − z0 |
|
= |
|
|
z − z0 |
|
|
|
< 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ − z |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
|
z − z0 |
n |
∞ |
|
|
n |
|
|||||||||
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ |
|
(z − z0 ) |
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ξ − z |
|
|
|
|
− |
|
|
|
ξ − z |
|
∑ |
ξ |
− z |
|
|
ξ − |
n+1 |
||||||||||||||
|
|
|
z |
z0 |
|
|
|
0 n=0 |
|
0 |
|
n=0 |
z0 ) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
(ξ − z0 ) |
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
− z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
106
причем полученный ряд сходится (в силу признака Вейерштрасса) равномерно для всех точек ξ C2 . Отсюда получаем
|
1 |
|
|
|
f (ξ) |
dξ = |
1 |
|
|
∞ |
f |
(ξ) |
|
(z − z0 )n dξ = |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2π i |
|
∫+ ξ − z |
2π i |
|
∫+ ∑n =0 (ξ −z0 )n +1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
С2 |
|
|
|
|
|
|
|
С2 |
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
f (ξ) |
|
|
|
|
|
∞ |
|
||||
= ∑ |
|
|
|
|
|
dξ (z −z0 )n = ∑cn (z −z0 )n , |
(2) |
||||||||||||
2π i |
|
|
|
|
n +1 |
||||||||||||||
|
n =0 |
∫+ (ξ −z0 ) |
|
|
|
|
|
n =0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
С2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где c |
= |
|
|
1 |
|
|
|
f (ξ) |
|
|
dξ . |
|
|
|
|
(3) |
|||
|
|
|
|
|
∫+ (ξ −z0 )n +1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
n |
|
|
2π i |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
С2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2)Во втором интеграле формулы (1) ξ C1 , следовательно выполняется не-
равенство
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ − z0 |
|
= |
|
|
|
r1 |
|
|
< 1. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z − z0 |
|
|
|
z − z0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
n |
∞ |
n |
|
|
|||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
−z0 |
= −∑ |
(ξ − z0 ) |
|
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + |
1 |
|||||||||||||
ξ −z |
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ − z0 |
|
z |
−z0 |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =0 |
z |
−z0 |
n =0 |
(z −z0 ) |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(z −z0 ) 1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z −z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а полученный ряд равномерно сходится на C1 . Тогда |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
f (ξ) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
(ξ −z |
)n |
|
|
|
|
||||||||||||||
− |
|
|
∫+ |
|
|
|
|
dξ = |
|
|
∫+ |
|
f (ξ)∑n =0 |
|
0 |
|
dξ = |
|
|
|
||||||||||||||||||||
2π i |
ξ −z |
2π i |
|
(z − z0 |
)n +1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
С1 |
|
|
|
|
|
|
С1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
f (ξ)(ξ −z0 )n |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
c−n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= ∑n =0 |
|
|
|
∫+ |
|
|
|
dξ = ∑n =1 |
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2π i |
|
(z −z0 )n +1 |
|
|
(z −z0 )n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где c−n = |
1 |
∫f (ξ)(ξ − z0 )n−1 dξ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2π i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя выражения (2) и (4) в формулу (1), получаем |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
f (z) |
= ∑cn (z − z0 )n + ∑c−n (z − z0 )−n , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4)
(5)
(6)
107
где cn и c−n определяются формулами (3) и (5) соответственно.
Подынтегральные функции в формулах (3) и (5) являются аналитическими всюду в K , поэтому, согласно теореме Коши, интегралы не изменятся, если вместо C1 и C2 взять любую окружность в K с центром в точке z0
(или любой замкнутый контур в K , охватывающий точку z0 !).
Тогда формулы (3) и (5) можно объединить:
c = |
1 |
|
f (ξ) |
dξ , n = 0, ± 1, ± 2, K. |
|||
2π i ∫ |
|
||||||
n |
(ξ −z |
0 |
)n +1 |
|
|
||
|
|
С+ |
|
|
|
|
|
Отсюда получаем |
|
|
|
|
|||
|
∞ |
|
|
|
∞ |
n=+∞ |
|
f (z)= ∑cn (z − z0 )n + ∑c−n (z − z0 )−n = |
∑cn (z − z0 )n . |
||||||
|
n=0 |
|
|
|
n=1 |
n=−∞ |
(7)
(8)
Так как z - произвольная точка кольца K , то ряд (8) сходится к функции f (z) всюду в K . Этот ряд называется рядом Лорана.
Часть ряда Лорана, содержащая неотрицательные степени (z − z0 ), то
есть ряд
∞
∑cn (z − z0 )n ,
n=0
называется его правильной частью, а та часть, которая содержит отрицательные степени (z − z0 ), то есть ряд
∑∞ c−n n=1 (z − z0 )n
– главной частью.
Сходимость ряда Лорана – это одновременная сходимость его правильной и главной частей.
Рассмотрим теперь произвольный ряд Лорана:
n=+∞
∑cn (z − z0 )n
n=−∞
и выясним, какова его область сходимости.
108
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правильная часть – степенной ряд ∑cn (z − z0 )n |
- будет, очевидно, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
абсолютно сходиться в круге |
|
z −z0 |
|
< R2 , |
|
R2 |
- радиус сходимости (а в кон- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
центрическом круге меньшего радиуса сходимость будет равномерной). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
c−n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Главную часть, |
то есть ряд ∑ |
|
|
, можно так же рассматривать |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 (z − z0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
как обыкновенный степенной ряд, если положить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= z |
′ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z −z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
∞ |
|
c−n |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда ∑ |
|
|
|
= ∑c−nz′n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
n=1 |
|
(z − z0 ) |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если радиус сходимости последнего (степенного) ряда обозначить |
1 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
то его круг сходимости: |
|
z′ |
|
< |
1 |
, откуда |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
, или |
|
z − z0 |
|
> R1 . Это и |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
z |
− z0 |
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
будет область сходимости главной части. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
– Если R1 < R2 , |
то |
|
область |
сходимости |
ряда |
Лорана |
|
– кольцо |
|||||||||||||||||||||||||||||
R1 < |
|
z − z0 |
|
|
< R2 , причем внутри кольца сходимость равномерная. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
–Если R1 = R2 , то ряд Лорана может сходиться лишь в точках окружности.
–Если R1 > R2 , то ряд Лорана всюду расходится.
Замечание 1. Подобно разложению Тейлора, разложение в ряд Лорана для данной функции f (z) в данном кольце единственно.
Замечание 2. Как и для ряда Тейлора имеют место аналогичные оценки коэффициентов ряда Лорана:
cn ≤ M (z0 ; ρ), n = 0, ± 1, ± 2, K
ρn
где M (z0 ;.ρ)= max f (ξ) .
ξ C
109
Пример 1. Рассмотрим функцию
|
f (z)= |
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||
|
z 2 − 3z + 2 |
|
|
|
|
|
||||||||
Получая корни знаменателя, представим |
|
f (z) в виде |
|
|
||||||||||
f (z)= |
|
1 |
|
|
= |
1 |
|
|
|
− |
1 |
. |
|
|
(z − 1)(z − 2) |
z − |
2 |
|
z − 1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В точках z = 1 и z = 2 функция |
f (z) не определена. |
y |
|
|
||||||||||
Пусть требуется разложить данную |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
3) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
функцию в ряд Лорана по степеням z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
x |
|||||
(то есть в окрестности точки z0 = 0 ) в областях: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
0 |
1 |
2 |
1) |
|
z |
|
|
< 1 ; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||||||
2) |
1 < |
|
z |
|
< 2 ; |
|
|
|
Рис. 2 |
|
|||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
z |
|
> 2 (см. рис. 2). |
f (z) |
||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Заметим, что каждую из этих областей можно считать кольцом, а |
|||||||||
- аналитическая в каждой области. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Решение. 1) |
|
z |
|
< 1 - кольцо с R1 = 0 и R2 = 1. |
f (z) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Будем преобразовывать каждую дробь в представлении функции |
так, чтобы привести ее к виду суммы бесконечно убывающей по модулю геометрической прогрессии. Имеем
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
f (z)= |
|
|
|
− |
|
|
|
|
= |
|
|
|
− |
|
|
= |
|
|
|
− |
|
2 |
|
. |
||||||||||||||
z − |
2 |
|
|
z − |
1 |
|
1 − z |
2 − z |
|
1 − z |
|
|
z |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
Так как |
|
z |
|
< 1 и, очевидно, |
|
|
z |
|
|
то обе дроби можно разложить в |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
< 1 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ряд. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n |
|
∞ |
|
1 |
z |
n |
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
||||||||||||
|
|
f (z) |
= ∑z |
|
|
− |
∑ |
|
|
|
|
|
= ∑ |
1 |
− |
|
|
z |
|
. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
n+1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
n=0 |
2 |
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
110