Lungu1_math453 / ТФКП Питер[Aleksandrova_E.B.,_Svencickaya_T.A.,_Timofeeva_L.(BookFi.org)

13 вариант

2i

z 2

а) ∫(z 3 −z)e

dz ,

1.

2

2 +i

б) ∫zz dz , C :

z

= 1.

C

2.

а) ∫+

e4z dz

, L :

z

≤ 3,

б) ∫+

dz

,

L :

z

< 3 .

(z + 2)2 (z + 3)

z 2 + 4

L

L

14 вариант

1.

а) ∫

dz

, C :

z

= 1,

z

C

2i

z 2

∫ze

dz .

б)

2

i

∫+

ez

dz , б) ∫+

z −1

L :

z

= 3.

2.

а)

dz ,

z

(z −i)4

z 2 (z + 2)(z − 3)

=2

L

15 вариант

1.

а) ∫Re z dz , L : z = (2 + i)t , 0 ≤ t ≤ 1,

L

б) ∫z Im z dz , L :

z

= 2 .

L

а) ∫+

ez dz

, L

:

z

= 2, б) ∫+

sin z

: x 2 + y 2 + 6y = 0 .

2.

dz , L

z(1 − z)3

z 2 + 4

L

L

16 вариант

1.

а)

∫e

z

2 Re z dz ,

L : [z1 , z2 ] - отрезок от z1 = 0 до z2 = 1 + i ,

L

б)

∫z 3 dz , C :

z

= 1,

1 ≤ arg z ≤

π

4 .

C

155

а) ∫+

z2 − 1

2.

dz , L :

z

< 4,

z(z + 2)2 (z + 3)

L

17 вариант

1.

а) ∫

z

dz , L : [z1 , z2 ] - отрезок от z

L

б) L∫+ (ze−3zi)5 dz , L : z −i < 2 .

1 = −1 до z2 = 1 ,

б)

∫(2x − 3iy)dz ,

C :

z

= 4 , Im z ≤ 0 от точки z1 = −4 до точки z2

= 4 .

C

а) ∫

z − 3

dz , L :

z

≤ 8 , б) ∫

sin 8z

dz , L :

z

−

5π

<

1

2.

6

3 .

( −

8

)2

( +

)

5

L

+

z

z

i

L

+

5π

z −

6

18 вариант

1.

а) ∫(2x − 3iy)dz , C :

z

= 4 , Im z ≤ 0 от точки z1 = −4 до точки z2 = 4 ,

C

б) ∫Re z dz , C :

z −1

= 1.

C

2.

а) ∫

z3dz

, L :

z +i

≤ 1, б) ∫

sin 3z

dz , L :

z

≤π .

(z − 2)(z +i)3

π

L+

L+ z

z +

4

19 вариант

1.

а) ∫Re z dz , L : парабола АВ: A(2,4);

B(3,9) (y = x 2 )

L

б) ∫

z

z dz , L :

z

= 5.

L

2.

а) ∫+

ez dz

, L :

z

= 2,

б) ∫+

z + 1

dz , L :

z

= 2 .

(z +i)3

z(z −1)2 (z − 3)

L

L

20 вариант

1. а) ∫z dz , L : z = 4 ,

L

156

б)

∫(z3 −1)dz , C :

z

= 1,

π2 ≤ arg z ≤π .

C

cos 7z

π

z2 + 3z + 7

2.

а) ∫+

dz ,

L :

z + 3

< 0,5; б) ∫+

(z −i)3 z

dz , L :

z

≤ 2 .

+

π

6

L

z

L

3

21 вариант

1.

а) ∫(y 2 + ix 2 )dz ,

L :

отрезок от z1 = 1 +i до z2

= 2 + 3i ,

L

б) ∫z Im z dz , C :

z

= 1.

C

а) ∫+

e5z − 3

б) ∫+

cos 4z

2.

dz , L :

z

≤ 1,

dz ,

L :

z −π

< 1.

z(z + 1)3

(z −π )6

L

L

22 вариант

1.

а) ∫(x 2 + iy2 )dz , C - отрезок АВ: A(1,1), B(2,3),

C

б) ∫z Re z dz , L :

z

= 1 .

L

ez

+ e−z

2 sin z + 4 cos z

π

2.

а) ∫+

dz , L :

z −i

≤

10, б) ∫+

π 4

dz , L

:

z +

6

≤ 1.

(z2

+ 9)2

L

L

z +

6

23 вариант

1.

а) ∫((y + 1)− xi )dz , C : [z1 , z2 ], z1 = 1 до z2 = i ,

C

б)

∫z3 dz , C :

π

z

= 1, 0 ≤ arg z ≤ 2 .

C

а) ∫+

cos z

L :

z

≤ 2,

б) ∫+

z2 + 5z − 4

dz , L :

z

≤ 2 .

2.

dz ,

π

4

(1 − z)3 z

L

z −

3

L

157

24 вариант

1. а) ∫Re z dz , L : z = 2 ,

L

б)

C∫

z

dz , вдоль полуоси

z

= 1 , Re z ≥ 0 .

−i

2.

а) ∫+

z2 + 5

dz , L :

z − 5

≤ 100,

(z2 + 9)(z − 5)

L

3 cos z + cos 7z

2π

б) ∫+

2π 4

dz , L :

z +

3

< 1.

L

z +

3

25 вариант

1.

а) ∫Im z dz , C - отрезок АВ: A(1,0), B(0,1),

C

б) ∫zz dz , C :

z

= 1.

C

2. а) ∫

cos 4z

, L :

5π

1 , б) ∫

z3 − 2z + 1

L :

≤ 2 .

dz

z − 6

<

dz ,

z

6

(

−

)2 (

+

2

)2

L

+

5π

L

+

z

i

z

z −

6

26 вариант

1.

а) ∫z dz , C :, отрезок от точки z1 = 1 до точки z2

= i + 1,

C

б)

∫z

z

dz ,

(l):

z

= 2, Im z ≤ 0 от точки z1 = −2 до точки z2

= 2 .

(l)

2. а) ∫

z + 5

dz , L :

z

≤ 2,

б) ∫

7 cos 7z

dz

, L :

z −

2π

<

1

3

3 .

2 +

(

+

)

5

L

+ (z

1)z

2

L

+

−

2π

z

3

27 вариант

1. а) ∫i

(z −i)e−i dz ,

0

158

б) ∫z Im(z2 )dz , L : z = 2 .

L

ez

+ e−z

3 sin z − sin 3z

2.

а) ∫+

dz , L :

z + 1

< 1,

б) ∫+

(z −π )2 z2

dz , L

:

z

≤π .

(z + 1)6

L

L

28 вариант

1.

а) ∫i

z cos z dz ,

0

б) ∫

dz

, C :

z

= 1.

z

C

а) ∫+

e4z

б) ∫+

z 4 − 1

2.

dz , L :

z

= 3;

dz , L :

z

< 4 .

(z + i)5

z2 (z + 3)(z − 2)

L

L

29 вариант

1+i

1.

а) ∫sin z cos z dz ,

0

б) ∫

z

−1 dz , C :отрезок от точки z1 = 1 до точки z2

= −i ,.

C

а) ∫+

sin5 z

π

≤ 1, б) ∫+

ez −e−z

2.

dz , L :

z − 4

dz , L :

z

≤ 1 .

−

π

3

(z −1)2 (z + 1)

L

z

4

L

30 вариант

1.

а) ∫i

z sin z dz ,

1

б)

∫

z

dz ,

L : граница области 1 <

z

< 2 .

z

L

а) ∫+

cos 5z

:

100π

, б) ∫+

e4z

dz , L :

z −9

< 1.

2.

dz , L

z −π

<

(z2

−π 2 )3

(z − 9)4

L

L

159

Индивидуальная работа №5

Задание 1 . Разложить данную функцию в ряд Лорана в указанных областях.

Задание 2 . Найти вычеты функции f (z ) в конечных особых точках.

Задание 3 . С помощью вычетов вычислить интегралы. Варианты заданий

1 вариант

1. f (z )= (z 2 − 91)(z 2 − 4)

а) 2 <

z

< 3 ;

z 6

б)

z

< 2 ;

в)

z

> 3 .

2.

f (z )=

.

(z

− 1)4

3.

2π

dϕ

.

∫

1 − 0.5cosϕ

0

2 вариант

1.

f (z )=

z 3

(z − 1)(z − 2)

а) 0 <

z − 2

< 1 ;

б)

z − 2

> 2 ;

в)

z − 1

< 1 .

2.

f (z )=

z 5

.

z 2 − 1

3.

2π

dϕ

.

∫

0 1 + 0.3cosϕ

3 вариант

1.

f (z )=

z + 2

z 2 − 4z + 3

а) 0 <

z − 1

< 2 ;

б)

z − 1

> 2 ;

в)

z − 3

> 1.

2.

f (z )=

eiz

.

z 3 + z 5

160

3.

+∞

dx

.

∫

(1 + x 2 )4

−∞

4 вариант

1.

f (z )=

1

z 2 + 4

а)

z

< 2 ;

1

б) 0 <

z + 2i

< 4 ;

в)

z + 2i

> 4 .

2.

f (z )= cos

.

z

+ i

3.

+∞

dx

.

∫

(x 2

+ 3)2 (x 2

+ 1)

−∞

5 вариант

1.

f (z )=

z 4

(z − 2)2

а)

z − 2

> 0 ;

б)

z

< 2 ;

в) z − i < 5 .

2.

f (z )=

cosz

.

z 2 + 1

3.

+∞

x

2 dx

.

∫

(x 2

+ 3)2

0

6 вариант

1.

f (z )=

z

z 2 + 1

а) 0 <

z −i

< 2 ;

б)

z − i

> 2 ;

в)

z

< 1.

2.f (z )= z(z 2 1+ 4)2 .

+∞ x 4dx

3.−∫∞ 1 + x 6 .

7 вариант

1. f (z )= (z 2 + 4z)(z 2 − 1)

161

а)

z

< 1;

sin iz

б) 1 <

z

< 2 ;

в)

z

> 1 .

2.

f (z )=

.

z 3

3.

+∞ (x 2

+

2)dx

.

∫

(x 2

+ 1)2

−∞

8 вариант

1.

f (z )=

7z − 1

z 2 + z − 2

а)

z

< 1;

б) 1 <

z

< 2 ;

в)

z − 1

> 3 .

2.

f (z )= cos(2iz).

z + 1

3.

+∞

dx

.

∫

(x 2 + 1)2

0

9 вариант

1.

f (z )=

3 − z

z 2 − 2iz + 8

а) 0 <

z − 4i

< 6 ;

б)

z

< 2 ;

в)

z

> 4 .

2.

f (z )=

sin z

.

(z −π )2

3.

2π

dϕ

.

∫

3 + sinϕ

0

10 вариант

1.

f (z )=

1

z 2 − 3iz − 2

а)

z

< 1;

б) 1 <

z

< 2 ;

в)

z

> 2 .

2.f (z )= z 3 −1 z 5 .

∞x 2 + i

3.0∫ (x 2 + 4)3 dx .

162

11 вариант

1.

f (z )=

z

(z 2 − 4)(z 2 − 1)2

а) 1 <

z

< 2 ;

б)

z

> 2 ;

в)

z

< 1.

2.

f (z )=

z 2

.

(z − 2)3

3.

+∞

dx

.

∫

+ 9)3

−∞ (x 2

12 вариант

1.

f (z )=

3 − z

z 2 + 2z − 8

а) 0 <

z − 2

< 6 ;

б)

z − 2

> 6 ;

в) 2 <

z

< 4 .

2.

f (z )=

z + i

.

z − z 3

3.

2π

dϕ

.

∫

+ 0.1sinϕ

0 1

13 вариант

1.

f (z )=

2

z 2 − 1

а) z − 3i < 10 ;

б)

z

< 1;

в)

z + 1

> 2 .

2.

f (z )=

z 4

.

1 + z 4

2π

dϕ

3.

. ∫

1 + 0.2 cosϕ

0

14 вариант

1.

f (z )=

4z

4 + z 2

а) 0 <

z − 2i

< 4 ;

б)

z − 2i

> 4 ;

в)

z + 2i

> 4 .

2.

f (z )=

1

.

(z 2 + i)3

163

3.

2π

cos2 2x

dx .

∫

5 − 4 cos x

0

15 вариант

1.

f (z )=

1

z 2 + iz + 12

а)

z

< 3 ;

z 3 + 1

б) 0 <

z − 3i

< 7 ;

в)

z − 3i

>7 .

2.

f (z )=

.

(z + 2)(z − 3)

3.

2π

dϕ

.

0∫

(5 + 4 cosϕ)2

16 вариант

1.

f (z )=

1

z(z − 1)

а) 0 <

z − 1

< 1 ;

б)

z − 1

> 1 ;

в)

z

> 1 .

2.

f (z )=

1

.

z 2 − 2z + 5

3.

+∞

dx

.

∫

+ 4x + 13)2

−∞ (x 2

17 вариант

1.

f (z )=

z

(z 2 − 25)

а)

z

< 5 ;

z +1

б)

z

> 5 ;

в) 0 <

z − 5

< 10 .

f (z )= e

2.

z

.

3.

∞

dx

.

∫

0 (x 2 + 1)4

18 вариант

1.

f (z )=

1

(z 2 + 1)(z 2 + 9)

а) 1 <

z

< 3 ;

б)

z

> 3 ;

в)

z

< 1.

164