Lungu1_math453 / ТФКП Питер[Aleksandrova_E.B.,_Svencickaya_T.A.,_Timofeeva_L.(BookFi.org)

ГЛАВА 2 Функции комплексного переменного

§1. Основные определения

Понятие функции комплексного переменного определяется подобно тому, как это делается в случае действительного переменного.

Определение 1. Функцией комплексного переменного называется ото-

бражение f некоторого комплексного числового множества D в комплексное

числовое множество G.
Если каждому значению z D	соответствует лишь одно	значение
w G , то функция называется однозначной, если же некоторым z		соответст-
вует более чем одно значение w , то функция называется многозначной.
Для обозначения функции пользуются обозначением: w = f (z).
Множество D называется областью определения функции		f (z), а со-
вокупность соответствующих значений	f (z) называется множеством значе-

ний функции.

Обозначим z = x + iy , а w = u +iv , где x , y, u, v - действительные чис-

ла, тогда
w = u +iv = f (z)= f (x +iy)= u(x , y)+iv(x , y).	(1)

Вещественная и мнимая части функции комплексного переменного представляют собой функции вещественной и мнимой частей независимого переменного z : u = u(x , y) и v = v(x , y).

Пример 1. Пусть w = z 2 и z = x +iy . Найти u(x , y) и v(x , y)

Решение. w = (x +iy)2 = x 2 + 2xyi − y 2 = (x 2 − y 2 )+i2xy . Отсюда u(x , y)= Re w = x 2 − y 2 , v(x , y)= Im w = 2xy .

Функции w = f (z) соответствуют две функции от двух вещественных переменных. Обратно, если заданы функции u = u(x , y) и v = v(x , y), то им

соответствует функция комплексного переменного, определяемая равенством

(1).

31

Пример 2. Найти функцию комплексного переменного, которая задается следующими функциями двух вещественных переменных:

u(x , y)=

y

, v(x , y)=

x

.

x 2

+ y 2

x

2 + y 2

Решение. Так как x =

z + z

, y =

z −z

, x 2

+ y2

= z z , то имеем:

2

2i

y + xi

z − z

+

z + z

i

2z

i

w = u(x , y)+ iv(x , y)=

=

2i

2

= −

=

.

x 2 + y 2

zz

2izz

z

Комплексная переменная z может быть изображена движущейся точкой на комплексной плоскости ΧΟΥ. Для изображения комплексной переменной w = f (z) воспользуемся другим экземпляром комплексной плоскости

UOV ; будем откладывать на оси OU вещественную часть функции f (z), а

на оси OV - мнимую часть этой функции.

Таким образом, будем иметь две комплексные плоскости ΧΟΥ и

UOV . Если функция	f (z) - однозначная, то каждой точке z0 D XOY со-
ответствует определенная точка w0 G UOV (рис. 1).
y	ℓ	v
	w=f(z)
z0			L
		w0
0	x	0	u
	Рис. 1
Точку w0 называют образом точки z0		на плоскости UOV , а z0 - прооб-
разом w0 .
Когда комплексная переменная z описывает кривую l,			проходящую

через z0 , а переменная w описывает кривую L , проходящую через w0 , то кривую L называют образом кривой l в плоскости UOV , а кривую l - прообразом кривой L .

32

Пример 3. Найти образ линии x = 2		на плоскости UOV	при отобра-
жении w = z 2 .
Решение.	Из примера 1 для z = x + iy имеем: w = (x 2		− y 2 )+i2xy .
u = x 2 − y 2		имеют вид z = 2 +iy , поэтому:
Откуда	. Точки на линии x = 2
v = 2xy

u = 4 − y 2					. Для z0 = x0 +i 0 = 2 +i 0 будет w0 = w(z0 )= 4 .
	4y
v =
		Исключим параметр y из уравнений для u и v , и получим
			v		2
u =	4 −
			4 .
		v
y =
	4
		Отсюда: u = −					1	v2	+ 4 . Эта кривая – парабола в плоскости
							16
									v
										8
			y						w=z2
						x0			0
	0					2			x		–8

UOV .

w0

4 u

Рис. 2

Определение 2. Число А называется пределом функции w = f (z) в точ-

ке z0 , если для любого наперед заданного положительного числа ε можно указать такое положительное число δ , зависящее от ε , что для всех z из

проколотой δ -окрестности точки z0 (0 <						z − z0		< δ ), выполняется неравен-
ство		f (z)− A		< ε . При этом пишут
				lim f (z)= A .			(2)
				z→z0

Понятие предела функции комплексного переменного сводится к понятию предела функции двух вещественных переменных.

33

Справедливо следующее утверждение:

Пусть z = x + iy , z0 = x 0 + iy0 , A = a + bi и f (z)= u(x , y)+ iv(x , y). То-

гда равенство (2) имеет место тогда и только тогда, когда выполняются равенства:

lim u(x , y)= a ,	lim v(x , y)= b .
x →x0	x →x0
y→y0	y→y0
На пределы функции комплексного переменного переносятся извест-
ные свойства предела функции двух переменных.
Если функции w1 = f (z) и w2	= g(z) имеют пределы в точке z0 , то

имеют пределы алгебраическая сумма и произведение этих функций, причем справедливы равенства:

lim(f (z)± g(z))= lim f (z)± lim g(z);
z→z0	z→z0	z→z0
lim(f (z) g(z))= lim f (z) lim g(z).
z→z0	z→z0	z→z0

Если lim g(z)≠ 0 , то	lim
z→z0	z→z0

	f (z)			lim f (z)
			=	z→z0		.
	g(z)			lim g(z)
				z→z0

Обобщим теперь понятие предела на случай, когда z или f (z) стре-

мятся к бесконечности. В этом случае надо заменить окрестности обыкновенных точек окрестностями бесконечно удаленной точки.

Определение 3. Число А называется пределом функции f (z) при

z → ∞, если для любого ε > 0 найдется проколотая окрестность бесконечно

удаленной точки, в которой выполняется неравенство				f (z)− A		<ε .
lim f (z)= A .			(3)
z→∞
Очевидно, что равенство (3) верно в том и только в том случае, если
	1
lim f		= A .
z→0	z

34

Определение 4. Предел функции f (z) равен ∞ при z → z0 , если для любого N > 0 найдется проколотая окрестность точки z0 , в которой выпол-

няется неравенство f (z) > N .

Очевидно,

что

lim f (z)= ∞

в том и

только в том случае, если

z→z0

lim

1

= 0 .

f (z)

z→z0

Определение 5. Предел функции f (z)

равен ∞ при z → ∞, если для

любого N > 0 найдется проколотая окрестность точки ∞, в которой выпол-

няется неравенство

f (z)

> N .

Очевидно,

что

lim f (z)= ∞

в том и

только в том случае, если

z→∞

lim

1

= 0 .

1

z→0

f

z

Определение 6. Функция w = f (z) называется непрерывной в точке z0 ,

если она определена в точке	z0	и некоторой ее окрестности и, если
lim f (z)= f (z0 ).
z→z0
Непрерывность в точке z0	= x 0	+ iy0 функции f (z)= u(x , y)+ iv(x , y)

равносильна непрерывности функций u(x , y) и v(x , y) в точке (x 0 , y0 ).

Пусть функции f (z) и g(z) непрерывны в точке z0 , тогда их алгебраи-

ческая сумма, произведение, частное (g(z0 )≠ 0) есть функции непрерывные в z0 . Суперпозиция непрерывных функций в точке z0 также функция непре-

рывная в этой точке.

Очевидно,	что если функция	f (z) непрерывна в каждой точке некото-
рой области D, то ее можно назвать непрерывной в области D.
Пример 4.	Функция w = z =			x 2 + y 2 является непрерывной на всей
комплексной плоскости, так как для любого z0
	lim			z		=		z0		.
	z→z0

35

Определение непрерывности функции можно сформулировать через приращения функции и аргумента (сравните с определением непрерывности в точке функции действительного переменного).

Определение 7. Функция f (z) называется непрерывной в точке z0 , ес-

ли бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции в этой точке.

§2. Производная функции комплексной переменной. Условие Коши-Римана

Пусть w = f (z) является однозначной функцией комплексного пере-

менного.

Определение 1. Производной функции f (z) в точке z0 называется ко-

нечный предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной величины, когда последнее стремится к нулю произвольным образом, то есть

f ′(z0 )= lim f (z0 + ∆∆zz)− f (z0 ).

∆z→o

Функция w = f (z), имеющая в точке z0 производную, называется мо-

ногенной в этой точке.

Функция называется аналитической в области, если она в каждой точке этой области имеет конечную производную.

О каждой отдельной точке такой области говорят, что в ней данная функция аналитическая. Но тогда, если функция f (z) является аналитиче-

ской в точке z0 , то, по определению, она должна быть аналитической в неко-

торой окрестности точки z0 .

Сумма, произведение, частное (за исключением тех точек, где знаменатель обращается в нуль) и суперпозиция аналитических функций являются функциями аналитическими.

36

Производная аналитической функции есть функция аналитическая. Это означает, что у аналитической функции существуют производные любого порядка.

Правила дифференцирования произведения, суммы и частного функций, сложной и обратной функции действительного переменного остаются в силе и для функций комплексного переменного. Справедливо и определение

дифференцируемости.
Теорема 1. Для того, чтобы функция комплексного	переменного
w = f (z)= u(x , y)+ iv(x , y) была дифференцируемой в точке z0	= x 0 + iy0 , не-

обходимо и достаточно, чтобы функции u(x , y) и v(x , y) были дифференци-

руемы в точке (x 0 , y0 ), и чтобы в этой точке выполнялись равенства

	∂u	= ∂v ,	∂u = −	∂v	.	(1)
	∂x
		∂y	∂y	∂x
Условия (1) называются условиями Коши-Римана или Д’Аламбера-
Эйлера.
Доказательство. 1) Необходимость.
Пусть ∆f = f (z0	+ ∆z)− f (z0 ). Так как функция					f (z) имеет производ-
ную в точке z0 , то ∆f	представимо в виде
	∆f	= (A + Bi )∆z +α(∆z)∆z ,				(2)

где A + Bi = f ′(z0 ), α(∆z) - бесконечно малая более высокого порядка малости, чем ∆z . Обозначим: ∆u = u(x 0 + ∆x , y0 + ∆y)− u(x 0 , y0 )

∆v = v(x 0 + ∆x , y0 + ∆y)− v(x 0 , y0 ) ∆z = ∆x + i∆y ,

тогда ∆f = ∆u + i∆v или

∆f = (A + Bi )(∆x + i∆y)+α(∆z)∆z = A∆x + Ai∆y + Bi∆x − B∆y +α(∆z)∆z .

Это означает, что справедливы равенства:
∆u = A∆x − B∆y + Re(α(∆z) ∆z)	(3)
∆v = B∆x + A∆y + Im(α(∆z) ∆z).	(3*)

37

Из (3) и (3*) следует, что функции u(x , y) и v(x , y) дифференцируемые

	в точке (x 0 , y0 ). Причем в этой точке
	∂u	=	∂v	= A ,	∂u	= −	∂v	= −B .	(4)
	∂x		∂y		∂y		∂x

2) Достаточность.

Пусть функции u(x , y) и v(x , y) в точке (x 0 , y0 ) дифференцируемы и справедливы равенства (1). Покажем, что w = f (z) дифференцируема в точке

z0 .

Так как функции u(x , y) и v(x , y) - дифференцируемые в точке (x 0 , y0 ),

то справедливы равенства

	∆u =		∂u	∆x +	∂u	∆y + Re(α(∆z) ∆z),			(5)
			∂x		∂y
	∆v =		∂v	∆x +	∂v	∆y + Im(α(∆z) ∆z).			(5*)
			∂x		∂y
Обозначим	∂u	= ∂v = A , ∂u = −					∂v	= B (учитываем условия (1)). Тогда
	∂x
		∂y		∂y			∂x

равенства (5) и (5*) примут вид:

∆u = A∆x − B∆y + Re(α(∆z) ∆z),

∆v = B∆x + A∆y + Im(α(∆z) ∆z).

Но тогда

∆f = ∆u + i∆v = (A∆x − B∆y)+ i(B∆x + A∆y)+ Re(α(∆z) ∆z)+

+ i Im(α(∆z) ∆z)= (A + Bi )(∆x + i∆y)+α(∆z) ∆z = (A + Bi )∆z +α(z) ∆z

А это	означает, что	функция	f (z) дифференцируема	в точке
z0 = x0 + iy0 , то есть имеет производную.
Условия	Коши-Римана	позволяют	выразить производную	функции

w = f (z) через частные производные функций u(x , y) и v(x , y). В равенстве

(2) f ′(z0 )= A + iB , где А и В выражаются формулами (4). Тогда получаем,

что

38

′

∂u

∂v

∂v

∂u

f (z)=

∂x

+

i

= ∂y

− ∂y i .

∂x

Пример 1. Доказать, что функция w =

z

2 дифференцируема лишь в

точке z0 = 0

′

и найти w (0).

Решение. Поскольку

w =

z

2

= x 2

+ y 2 , то u(x , y)= x 2 + y 2 ,

v(x , y) = 0 . Эти функции имеют частные производные в любой точке. Но

∂u

= 2x ,

∂u

= 2y ,

∂v

=

∂v

= 0 и поэтому условия Коши-Римана выполняют-

∂x

∂y

∂x

∂y

′

∂u

∂v

ся лишь в одной точке z0

=

0 . Сама производная w (0)=

∂x

+ i

= 0 .

∂x x =0

y=0

Пример 2. Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции

w =

1

.

z − 1

Где эта функция является дифференцируемой?

Решение. Пусть z = x + iy

любое комплексное число, кроме z = 1 ,

тогда

w =

1

(x − 1)− iy

x − 1

(− y)

=

=

+ i

,

(x − 1)+ iy

(x − 1)2 + y 2

(x − 1)2 + y 2

(x − 1)2 + y 2

u(x , y)

=

x − 1

, v(x , y)= −

y

.

(x − 1)2 + y 2

(x − 1)2 + y 2

Найдем частные производные функций u(x , y)

и v(x , y):

∂u ∂x

∂u ∂y

=((y 2 − ()x − 1)2)2 ,

x− 1 2 + y 2

=− (( 2−y1()x2 −+1)2 )2 ,

xy

∂v	=		y 2 − (x − 1)2
∂y				,
		((x − 1)2 + y 2 )2
∂v	=		2y(x − 1)
					.
∂x			((x − 1)2 + y 2 )2

Отсюда видно, что условие Коши-Римана выполнено во всех точках области определения функции w (z ≠ 1), то есть во всех этих точках функция

w = z −1 1 является дифференцируемой.

39

Пусть функция w = f (z) дважды непрерывно дифференцируема в об-

ласти D. В силу условий Коши-Римана функции u(x , y) и v(x , y) тоже дваж-

ды непрерывно дифференцируемы, причем для них выполняются равенства

(1). Дифференцируя обе части первого равенства (1) по х, а второго – по у, получаем:

	∂2 u	=	∂2v	,
	∂x 2		∂y∂x

Но так как в области D

	∂2 u	= −	∂2v	.
	∂y 2		∂x∂y
	непрерывны частные производные				∂2v	и
					∂y∂x

∂2v

,

то в ней выполняется равенство

∂2v

=

∂2v

, а отсюда получаем:

∂x∂y

∂y∂x

∂x∂y

∂2 u

+

∂2 u

= 0 . Аналогично доказывается, что

∂2v

+

∂

2v

= 0 .

∂x 2

∂y 2

∂x

2

∂y 2

Итак, доказана следующая

Теорема 2. Для того, чтобы функция u(x , y) (соответственно v(x , y))

была действительной (соответственно мнимой) частью функции комплексного переменного w = f (z), имеющей непрерывную вторую производную в об-

ласти D, необходимо, чтобы в этой области функция u(x , y) (соответственно v(x , y)) имела непрерывные частные производные второго порядка, удовле-

творяющие условию:

					∂2 u	+	∂2 u	= 0	(6)
					∂x 2		∂y 2
(соответственно	∂2v		+	∂2v	= 0 ).
	∂x	2		∂y 2

Равенство (6) является дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка, его называют уравнением Лапласа. Функцию двух переменных, удовлетворяющую уравнению Лапласа называют гармони-

ческой.

40