Lungu1_math453 / ТФКП Питер[Aleksandrova_E.B.,_Svencickaya_T.A.,_Timofeeva_L.(BookFi.org)
.pdfN∑+1Res f (z)= 0 . |
|
k =1 |
zk |
|
Вычеты позволяют вычислять не только интегралы от функций комплексного переменного, но и интегралы от функций вещественного аргумента.
В качестве примеров рассмотрим два вида интегралов.
I.Интегралы вида
|
2∫πR(cosϕ;sinϕ)dϕ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где R - рациональная функция, вычисляются с помощью замены |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
z = eiϕ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11) |
|||||
В этом случае: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz = ieiϕ dϕ ; dϕ = |
dz |
; |
cosϕ = |
eiϕ + e−iϕ |
|
= |
z + z −1 |
; |
||||||||||||||
|
iz |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
sin ϕ = |
|
eiϕ − e−iϕ |
= |
z − z −1 |
. |
|
|
|
(12) |
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда интеграл (10) примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
z − z |
−1 |
|
|
dz |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∫ |
R(cosϕ;sinϕ)dϕ = |
∫+ |
|
|
z + z |
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(13) |
|||||||||
2 |
|
|
|
2i |
|
|
|
|
iϕ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ie |
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где C + - окружность z = 1 , проходимая против часовой стрелки.
Интеграл, стоящий в правой части формулы (3) является интегралом от функции комплексной переменной, для вычисления которого и применяется теорема о вычетах.
2π |
2 dϕ |
|
Пример 6. Вычислить интеграл ∫ |
||
2 + 3 cosϕ . |
||
0 |
|
Решение. По формулам (11), (12) получаем:
131
2π |
|
2 dϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 + |
|
|
|
|
3 cosϕ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
z + z −1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C + iz |
2 |
+ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
C + iz |
|
+ |
|
z + |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
4 |
|
|
∫ |
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= i ∫ |
|
|
|
|
|
|
+ 3z |
+ |
3 |
1 |
|
= i |
|
|
|
3z 2 + 4z + 3 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
C + z 4 |
|
z |
|
|
|
|
|
C + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
4 |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
dz |
|
|
= |
4 |
|
|
∫ |
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3i |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
C + z |
|
|
+ |
|
|
z + 1 |
|
|
|
|
C + (z + |
|
3) z + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
У подынтегральной функции две особые точки z1 = − 3 и z2 = − |
1 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
но только точка z2 |
попадает в область, |
ограниченную контуром С (окруж- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ность |
|
z |
|
= 1 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
4 |
|
∫ |
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
4 |
|
2π i Res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
C + |
(z + |
3) z + |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
(z + |
|
3) z + |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
8π |
lim |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= |
8π |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
= |
|
|
|
8π |
= 4π . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
z + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 3 |
|||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
z →− |
|
3 |
|
(z + |
|
3) z + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
+ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II.Несобственный вещественный интеграл вида
+∞∫ f (x )dx |
(13) |
−∞ |
|
может быть найден с применением вычетов при выполнении некоторых условий, накладываемых на функцию f (x ).
Пусть функция f (x ) такова, что после замены вещественного аргумен-
та x на комплексный z , получившаяся функция f (z) удовлетворяет услови-
ям:
132
а) f (z) |
- аналитическая в верхней полуплоскости, кроме конечного числа по- |
||||||||||||||||
z |
y |
|
люсов |
|
zk , k = 1,K,N , |
лежащих выше вещест- |
|||||||||||
|
γ |
венной оси Ox ; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
z1 |
|
|
|
|
z f (z) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
z2 |
б) |
lim |
|
|
|
= 0 . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
zN |
|
z |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Пусть D – |
область, ограниченная полу- |
||||||||||||
-R |
0 |
R |
x |
||||||||||||||
|
|
|
z |
|
|
= R , |
Im z ≥ 0 и отрезком [− R ;R ], |
||||||||||
|
Рис. 3 |
окружностью |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
причем число R настолько велико, что все полюсы zk , |
k = 1,K,N , содер- |
||||||||||||||||
жатся внутри D (см. рис.3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|||
∫f (z)dz = ∫f (z)dz + ∫f (x )dx =2π i∑Reszk |
f (z), |
(14) |
|||||||||||||||
C + |
γ + |
−R |
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
где C + - контур полукруга, а γ + - дуга полуокружности, проходимые против
часовой стрелки.
Оценим ∫f (z)dz по модулю:
γ +
∫ |
f (z)dz |
≤πR max |
|
f (z) |
|
=π max |
|
z f (z) |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
z |
|
=R |
|
|
|
|
|
z |
|
=R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
γ + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При R → ∞ z → ∞, а, следовательно, в силу условия б), имеем
∫f (z)dz → 0 .
γ+
Тогда, переходя к пределу при R → ∞ в равенстве (14), получаем:
+∞ |
N |
|
|
∫f (x )dx = 2π i∑Reszk |
f (z). |
(15) |
|
−∞ |
k =1 |
|
|
Пример 7. Вычислить интеграл ∞∫( dx )3 .
0 x 2 + 1
133
Решение. В силу четности подынтегральной функции имеем
∞ |
|
|
+∞ |
||||
∫0 |
dx |
= 21 −∞∫ |
|
dx |
. |
||
(x 2 + 1)3 |
(x 2 + 1)3 |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
||
Рассмотрим функцию f (z)= |
|
. |
|||||
(z 2 + 1)3 |
|||||||
Точки z1 = i и z2 = −i |
являются полюсами третьего порядка этой |
функции, причем в верхней полуплоскости лежит лишь точка z1 . Далее вы-
числим предел:
|
|
|
|
|
|
|
|
lim z f (z)= |
lim |
|
|
|
|
z |
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z→∞ |
|
|
|
|
z |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( |
|
z |
|
→∞) |
|
|
( |
|
z |
|
→∞) (z |
|
+ |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Следовательно, выполнены условия а) и б), накладываемые на функ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
цию f (z). Тогда по формуле (15): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
+∞ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2π i |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
″ |
|
− 3 |
′ |
|
|||||
−∞∫ |
|
|
= 2π i Res |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
=π i lim |
|
|
= |
|||||||||||
(x 2 + 1)3 |
(z 2 |
+ 1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
z→i (z |
+ i)3 |
|
z→i (z + i)4 |
|
|
||||||||||||||||||
=π i lim |
12 |
= |
12π i |
= |
12π |
= |
3π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(z + i)5 |
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
z→i |
|
(2i)5 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
dx |
|
|
|
3π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Следовательно, |
|
|
|
= 16 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
(x 2 + 1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
134