Lungu1_math453 / ТФКП Питер[Aleksandrova_E.B.,_Svencickaya_T.A.,_Timofeeva_L.(BookFi.org)

5 вариант

	1.	f (z)= z 3 +		i	− 1 ; f (1 − 2i).
				z
	2.	w = 2i(1 + 3z)				− z		2	′
									; w (i).
	3.	u(x , y )= −3x 2 y + y 3 + x ,
		f (i)= 1 −i .
	4.	∞	(− 1)	n				(z − 2i)n .
		∑
			(n + 1)(n +			2)
		n =1

7 вариант

1.w = 3z + z +1 2 ; w(4 − 2i).

2.w = (iz )2 − (i − z )2 ; w′(− 1 − 7i).

3. v(x , y )= −	y	, f (π )=	1	.
	x 2 + y 2
			π

∞ (z + 2i + 1)n

4. n∑=1 n2 (1 + i)n .

9 вариант

1.w = (z + 4i − 1)2 + 4i ; w(− 2 − i).

2.w = z z 2 ; w′(0).

3.	v(x	, y )=	2ex cos y + x 2 y 2 −		x 4 + y 4
			6
	∞	n(z + i)n
4.	∑			.
		5n
	n =0

11 вариант

1.w = z (3 − 2z 2 ); w(3i).

2.w = z Im z − (3i − z)2 ; w′(1).

		y				y 3
	3. v(x , y )= e−		cos	x	−		+ x 2 y .
		2
		2			3

6 вариант

1.	w =	(3i + z)3
		z		; w(2 − i).
2.	w =	2		; w′(− 3i).
		(z − 1)2
3.	v(x , y )= ex cos y , f (i)= i sin 1 .
4.	∞ (z − i)n		.
	∑	in − 1
	n =1

8 вариант

1.f (z)= (z − 2i)2 + 41i ; f (− 7 − i).

2.w = (z + i)3 ; w′(2i).

3.v(x , y )= 2(ch x sin y − xy ),

f(0)= 0 .

4.∑∞ (z − i)n . in + 2n =1

10 вариант

1.f (z)= (z − i)2 + (z + i)2 ; f (− 1 − i).

2.w = (i − z)3 ; w′(2i).

3.	v(x , y )= x 2 − y 2 − x , f (1 + i)= 0 .
4.	∞	2n z n	.
	∑	n!
	n =0
12 вариант
1.	f (z)= 2z − 3 − 3z 3 ; f (3 − 2i).

2.f (z)= 3zi−+21 ; f ′(1 −i).

3.v(x , y )= ch(3y )sin(3x )− 8xy + 4y .

145

	4. 8 +	∞		z n	.
		∑
				n!
		n =	1

13 вариант

1.w = (3i − z)2 + 4z ; f (3i − 1).

2.w = 1 +3z 2 ; w′(i).

3.v(x , y )= sh x2 sin 2y − 8xy + 4x .

4.	∞	(z + 2 − 3i)n
	∑	(n + 2)!		.
	n =1
15 вариант
1.	f (z)=		i − z	; f (5 − 2i).
			3 − 2z
2.	w = 2z − (7z + i)				2	;	′		− 3i).
							w (− 2
3.	v(x , y )= e−2 y sin 2x −							x 3	+ xy 2 .
							3

∞(z − 2i + 1)n

4.n∑=0 3n (n2 + 1) .

17 вариант

1.f (z)= 11 −+zz + 2i ; f (− 2).

2.w = (1 − iz )2 ; w′(1 + i).

3.v(x , y )= e2 y sin 2x + 3xy 2 − x 3 .

∞(z + i)n

4.n∑=0 n3 + n .

4.	∑∞	(1 + i)n						(z − 2)n .
						2)
	n =1 (n + 1)(n +
14 вариант
1.	f (z)=		2i	+ 1 − z 3 ; f (2i).
			z
2.	w = 8i(1 + 7z)					− z		2	′
									; w (1 + i).
3.	v(x , y )= x 3 + 6x 2 y − 3xy 2 − 2y 3 .
4.	∞	(z − 3i)2n			.
	∑		n!
	n =0
16 вариант
1.	f (z)= 2z − 3				; f (				3 i).
				z

2.w = (3i + 3 − z )2 ; w′(− 1 − i).

3.v(x , y )= ch(2y )cos 2x + x 2 −

−y 2 −2y +1 .

∞(z − i)n

4.n∑=0 n2 + 1 .

18 вариант

1.w = (z + i)2 − 3z ; w(− 3i).

2.w = z 1+ i + 2zi ; w′(− 3i).

3.	v(x , y )= x 2 − y 2 + 5x + y −
	−		y	, f (i)		= 3i − 1 .
		x 2 + y 2
4.	∞		2n (z − i)n		.
	∑		(n + 1)!
	n =0

146

19 вариант

	1.	f (z)=			1		+ 4z 2 ; f (− 2 + i).
				3	− z
	2.	w = (i − z)				3	′	+ 3i).
							− 2z ; w (2
	3.	v(x , y )= x 2 − y 2 − 1, f (− 1)= 0 .
	4.	∞	(z + 1 + i)n
		∑	n 7n				.
		n =0

21 вариант

1.f (z)= 2zz+−i3 ; f (5 − 2i).

2.w = (3z − i)2 + 2z ; w′(2 + 3i).

3.	v(x , y )=	y	,
		(x + 1)2 + y 2

f(− 1 + i)= 1.

4.∑∞ (z − 2 + 3i)n .

n =1 i n (n + 1)!

23 вариант

1.w = (1 + z)(i − z )+ 3i ; w(1).

2.w = z Im z ; w′(i).

3.	v(x , y )= x 2 − y 2 + xy , f (0)= 0 .
4.	∞	n! 3n z n				.
	∑
			nn
	n =0
25 вариант
1.	w =		3i		; w(0).
			(z − 1)2

20 вариант

1. f (z)= z 3 − (3i + z )2 ; f (1 − i).

2.w = (2i − z)2 + 21i ; w′(− 1 + i).

3.v(x , y )= ex (x cos y − y sin y )+

+ 2 sin x sh y + x 3 − 3xy 2 + y , f (0)= 0 .

	∞	n(z − 1			− i)n
4.	∑					.
			3n
	n =1
22 вариант
1.	f (z)= z (3 − 2z 2 ); f (3i).
2.		x						′
	w = e (cos y + i sin y ); w (1).
3.	v(x , y )=				y		,	f (2)= 0 .
				x 2 + y 2
4.	∞	(z − 1)n			.
	∑	n2
	n =1

24 вариант

1.f (z)= 11 −+zz + i ; f (− 2 − 2i).

2.w = (1 + iz)2 ; w′(1 − i).

3.v(x , y )= x 3 − 3xy 2 , f (i)= i .

∞ n

4. ∑(cosin)z .

n =1

26 вариант

1. f (z)= 3 −1 z + 32+i z ; f (2i).

147

2.w = z + zz2 + z 3 .

3.v(x , y )= arctg xy , f (1)= 0 .

	4.	∞
		∑nn (z − 2)2n .
		n =1
	27 вариант
	1.	f (z)=			1				− 4z 2 + i ; f (− 2 − i).
				z	− 2
	2.	w = (2i + z)					3		− 2i	′	− 2i).
										; w (3
	3.	v(x , y )= −2 sin(2x )sh(2y )+ y ,
		f (0)= 2 .
	4.	∞	(z − i)n			nn .
		∑	n +		1
		n =1

29 вариант

1.f (z)= (z − 2i)2 − 3zz ; f (8 − 2i).

2.w = z Rez ; w′(0).

3.v(x , y )= ch 2y cos x2 − 2xy − 2x .

4.∑∞ nnz n .

n =1

2. w = (2 + 3z)2 − i ; w′(1 + i).

3. v(x , y )= x 2 − y 2 + 5x + y − x 2 +y y 2 f (1 + i)= 0 .

4.	∞	(z − 1)2n	.
	∑	3n
	n =0
28 вариант
1.	f (z)= z 3 − 2z ; f (1 − 2i).

2.w = 2i −+1z ; w′(1 + 3i).

3.v(x , y )= ex (y cos y + x sin y )+ x + y

f (0)= 1 .

4.	∞ (z + 3 + 2i)n					.
	∑				5n n2
	n =1
30 вариант
1.	f (z)=				1 − 2z + 2z 2		; f (3 − i).
					i + 1
2.	w =		z		′
				z ; w (i).
3.	v(x , y )= x 3 + 6x 2 y − 3xy 2 − 2y 3 ,
	f (0)= 0 .
4.	∞
	∑(sin in)z n .

n =1

148

	Индивидуальная работа №3
Задание 1 . Вычислить значение функции в заданной точке.
Задание	2 . Найти и построить образ кривой или образ области при задан-
	ном отображении.
	Варианты заданий
1 вариант	2 вариант

1. e−π4 i ; sin(π + i).

2.	y = −x	2	; w =		1		1
					2	z +	.
							z
3 вариант
1.	π	+				π	+ 3i
	sin			3i ;	sh				.
	3					3
2.	D : z + 1 + i = 2 ; w =							z + 1		.
								z − 1

5 вариант

1.ln(− ei); sin 2 + π i .

3

2.y = 2x + 3 ; w = zz +− 11 .

7 вариант
1.	ln(8 −					8i		−	π
			8 2i); ch						3	.
2.	y = x	2	; w =	1			1
				2	z +		z	.

1.ln(5 + 5i); ch 1 − 2π i .

3

2.y = −x −7 ; w = 1z .

4 вариант

1.	π					π
	cos	− 2i		; ch				− 2i .
	6					6
2.	y = 2x	2	; w =		1		+	1
					2	z		.
								z

6 вариант

1.e 34π i ; cos 2i + π .

3

2.y = x + 7 ; w = 1z .

8вариант

1.ii ; Ln(1 + i).

2.y = x + 1 ; w = zz +− 11 .

9 вариант			10 вариант
1.		1 + i −i	1.	1i ; eπ (1−i ).
		.
		2	2.	D : z − 1 − i = 2 ; w = z + 1 .
2.	y = x − 7 ; w =		1 .	z − 1
			z

149

11 вариант

1. (1 − i)i−1 ; sin 2i .

2. D : 0 ≤ x < ∞; w = ez .0 ≤ y ≤π

13 вариант

1.(− 1)i ; ch(− 3 + i).

2.D : z ≤ 1; w = 21 z − z .

15 вариант

1.sh(4 − i); Ln( 3 + i).

2.D : z ≤ 1; w = z − z .

17 вариант

1.ln(1 + i); 23i .

2.D : z ≤ 1; w = z .

19 вариант

1.51+i ; cos 3 + π i .

3

2.D : z ≤ 1; w = 2zz−−21 .

21вариант

1.21+i ; ch(− 3 − i).

2.D : x = 0, y ≥ 0 ; w = −1z .

23вариант

1.( 3) 2 ; cos(− 3 − i).

2.D : y ≥ 0, x = 2 ; w = −1z .

12 вариант

1.(1 + i)i ; sh(− 3 + i).

2.D : 0 ≤ y ≤ 2π ; w = ez .

14 вариант

1.cosi ; ln(2 − 2i).

2.D : z ≤ 1; w = z + i .

16 вариант

1.(1 + i)1−i ; ch(4 − i).

2.D : z ≤ 1; w = iz .

18 вариант

1.1 − i 1+i ; ln(ei).

2

2.ABCD - квадрат: A(0;0), B(1;0),

C (1;1), D(0;1); w = iz − 3 .

20 вариант

1.101−i ; sh(− 5 − 2i).

2.D : z ≤ 1; w = zz +− ii .

22 вариант

1.33i ; sin(− 3 − i).

2.D : y = 0, 0 ≤ x ≤ 2 ; w = −1z .

24вариант

1.i−i ; ln(− 3 − 3i).

2.D : z ≤ 1`; w = 1 −z z .

150

25 вариант

1.(− i)i ; cos(2 + 7i).

2.D : x 2 + y 2 = 9 ; w = 1z .

27 вариант

1.1−i ; ch(4 + 4i).

2.x 2 + y 2 = 1; w = 2z + 1 .

26 вариант

1.(− i) 2 ; sh(4 + 4i).

2.D : Im z > 1 ; w = z z− i .

28 вариант

1.1 2 ; cos(4 + 4i).

2.D : z ≤ 21 ; w = izz +− i2 .

29 вариант

30 вариант

1.

(3 − 4i)1+i ; tg i .

1.

4i ; sin(4 + 4i).

z − 1

D : 0 <ϕ <

π

; w =

z

2.

D :

z

< 1

; w = i

.

2.

4

.

z − 1

z + i

Индивидуальная работа №4

Задание 1 . Вычислить интеграл по кривой. Задание 2 . Вычислить интеграл по формуле Коши.

Варианты заданий

1 вариант

1.

а) ∫Im z2 z dz , L :

z

= 1, −π ≤ arctg z ≤ 0 ,

L

б) ∫((y + 1)− xi )dz , отрезок [z1 ; z2 ], z1 = 1 , z2

= i .

C

а) ∫

3ez

− 5

6, б) ∫

5 cos z

− 3 sin 2z

dz , L :

π

1

2.

dz , L :

z

≤

5

z +

<

.

2

2

L

+ (z

+

36)

L

+

+

π

3

3

z

3

2 вариант

1.

а) ∫((3y − 1)+ 4xi )dz , C

- отрезок от z1 = i до z2

= 3 ,

С

б) ∫Re z dz , C : z −1 = 1.

C

151

∫

z −6

dz , L :

z

≤ 1.5,

б) ∫

8 sin 8z

dz , L :

z −

5π

<

1

2.

а)

6

4 .

2 +

( −

)

5

L +

(z

1)z

3

L

5π

+ z −

6

3 вариант

1.

а)

3∫+i dzz ,

2 −i

б) ∫Re z dz , L :

z −1

= 2 .

L +

2.

а)

∫

2ez − 3e−z

dz , L :

z

< 1.5, б)

∫

4 sin z − 3 cos z

dz , L :

z

≤π .

(z +i)7

(z +π )2 z 2

L

+

L

+

4 вариант

1. а) 3−∫2i dz ,

2 +i z

б) ∫Im z dz , L - отрезок от (0;0) до (2;1).

L

а) ∫

e6z −1

; б) ∫

z 3 + 1

2.

dz , L :

z

< 2

dz , L :

z

< 4.

(z −i)6

z 2 (z + 2)(z − 3)

L

+

L

+

5 вариант

1.

а)

1∫−i dzz ,

i

б) ∫Re z dz , L :

z −1

= 1 .

L +

а) ∫

2ez − 3e−z

1 ; б) ∫

cos6 z

dz , L :

π

1

2.

(z − 4)5 dz , L :

z − 4

<

z −

3

≤

2 .

π 4

L +

L +

z −

3

152

6 вариант

1.

а)

3∫+i dzz ,

3i

б) ∫Re z dz , C :

z −1

= 1.

C

2.

а) ∫+

sin 7z

dz , L :

z −π

< 3π , б) ∫+

ez + e−z

dz , L :

z

≤ 3 .

(z 2

−(2π )2 )3

(z −1)2 (z − 2)

L

L

7 вариант

1.

а)

∫

z

−1 dz , C - отрезок от z1 = 1 до z2

= −i ,

С

б) ∫z Im(z 2 )dz , C :

z

= 2 .

C

а) ∫+

ez

+ e−z

, L :

≤ 5,

б) ∫+

3 sin z + 5 cos z

:

2π

1

2.

dz

z

5

dz , L

z + 3

< 4 .

(z 2

+ 25)2

+

2π

L

L

z

3

8 вариант

1.

а)

∫i

ze z 2 dz ,

−i

б) ∫z dz , C :

z

= 2 , Im z ≤ 0 , от точки z1 = −2 до точки z2

= 2 .

C

∫+

dz

1

б) ∫+

cos z

2.

а)

z(z 2 −1),

L

:

z + 1

≤ 2 ,

dz ,

L :

треугольник с

(z 2

−π 2 )2

L

L

вершинами в точках 4 ; − 4 + i ; − 4 −i .

9 вариант

1.

а) ∫i

3z3ez 2 dz ,

−2i

б) ∫z z dz , C : z = 2 .

C

153

2. а) ∫

dz

, L :

≤ 3, б) ∫

cos 4z

:

π

< 1.

z

dz , L

z + 6

2

+

+

(

−

)

6

L

+

(z

2z

1)z

3

L

+

π

z +

6

10 вариант

1.

а) ∫

z

dz , L : [z1 , z2 ] - отрезок от z1 = 1 +i

до z2

= 2i ,

L

б)

∫z 3 dz ,

C :

z

= 1,

0 ≤ arg z ≤

π

3 .

C

2.

а) ∫+

dz

,

L :

z −1

=

20, б) ∫+

sin z

dz , L

:

z

≤ 1 .

(z 2

− 5z + 4)2

π 7

L

L

z −

6

11 вариант

1.

а) ∫

z

dz , L : [z1 , z2 ] - отрезок от z1 = 1 +i

до z2

= 2i ,

L

б)

∫z 3 dz ,

C :

z

1

0 ≤ arg z ≤

π

= 2 ,

6 .

C

2.

а) ∫+

ez dz

,

L :

z − 3

≤ 1,

б) ∫+

dz

,

L :

прямоугольник с

(z − 2)2 (z − 3)

z 2 + 4

L

L

вершинами в точках 1 ; 1 + 3i ; −1 + 3i ; −1 .

12 вариант

x

= R cost

π

1. а) ∫Im z dz , L :

= R sin t , 0 ≤ t ≤

,

y

3

L

б)

∫z 3 dz ,

C :

z

= 1,

0 ≤ arg z ≤

π

2 .

C

(ez

−e−z )dz

sin4 z

2. а) ∫+ 2(1 −z)3 z ,

L :

z − 1

≤ 1, б) ∫+

dz , L :

z

= 2 .

+

π

3

L

L

z

4

154