Lungu1_math453 / ТФКП Питер[Aleksandrova_E.B.,_Svencickaya_T.A.,_Timofeeva_L.(BookFi.org)

Решение. Из примера 1 получим, полагая n = 0 , ln(− 1)= iπ .

ln(2 − 2i)= ln 2 2 −	π i .
	4

Если b - действительное число, a > 0 и a ≠ 1. То имеет место равенство

ab = eb ln a .

В комплексном анализе пользуются аналогичной формулой, но она уже

будет выполнять роль	определения.
Определение 2.	ab = eb Ln a , где a и b - комплексные числа.	(3)
Пример 3. Найти значение 1i .
Решение. По формуле (3) имеем:

1i = ei Ln 1 = ei(ln 1+i(arg 1+2kπ ))	= e−2kπ , k - целое.
Очевидно, что выражение 1i имеет бесконечно много различных зна-
чений. Главное значение равно 1.
Так как ln(rei ϕ )= ln r + iϕ ,	−π <ϕ ≤π , то при отображении, задавае-

мом логарифмической функцией w = ln z , комплексная плоскость, разрезанная вдоль отрицательной действительной полуоси, отображается в полосу

−π < Im w ≤π .

Пример 4. Найти образ фигуры 1 ≤ r ≤ e ,				− π		≤ϕ ≤		π при отображении
				4				2
w = ln z .
Решение. Так как ln(rei ϕ )= ln r + iϕ , то данная область отображается
на прямоугольник, определяемый неравенствами					ln 1 ≤ u ≤ ln e ,					− π	≤ v ≤ π
										4	2
(см. рис. 10).	y		ln z		v
					π
					2
	1				1
	0	1	e x		0				1	u
	-1		π	−	π
		−			4
			4

Рис. 10

81

ГЛАВА III. Интегрирование функций комплексного переменного

§ 1. Интеграл комплекснозначной функции вещественного аргумента по отрезку

Пусть на отрезке [a; b] задана функция вещественного аргумента, при-

нимающая комплексные значения:

w = f (t )= u(t )+ iv(t ),

причем функции u(t ) и v(t ) непрерывны на этом отрезке. Определим инте-

грал функции f (t ) на этом отрезке [a; b]формулой:

∫b f (t )dt = ∫b u(t )dt + i∫b v(t )dt .

a

a

a

Пример 1. Вычислить интеграл

π

∫2 eit dt .

0

Решение. По формуле Эйлера имеем eit = cost + i sint , тогда

π	π	π
∫2 eit dt = ∫2 cost dt + i∫2 sint dt = sint				π			π
				02	− i cost		02 = 1 + i .
0	0	0

Очевидно, что при таком определении сохраняются свойства определенных интегралов:

1)	∫b [f (t )± g(t )]dt = ∫b			f (t )dt ± ∫b g(t )dt ;
	a		a	a
2)	∫b	λ f (t )dt = λ ∫b	f (t )dt , λ − const ;
	a	a

82

3)	∫b		f (t )dt = ∫c			f (t )dt + ∫b					f (t )dt , где c - любое число, а интегралы,
		a			a					c
	стоящие в правой части равенства существуют;
4)	∫a		f (t )dt = 0 ;
		a
5)	∫b		f (t )dt = −∫a					f (t )dt ;
		a			b
6)		∫b	f (t )dt		≤ ∫b			f (t )		dt .
		a			a
Остается верной и формула подстановки:
								b			β
											′
								∫f (t )dt = ∫f [ϕ(q)]ϕ (q)dq ,
								a			α

если t =ϕ(q), значения q между α и β , ϕ(q) монотонная, дифференцируе-

мая функция и a =ϕ(α), b =ϕ(β).

§2. Интегрирование функции комплексного переменного по кривой Определение 1. Кривая на плоскости называется гладкой, если она

имеет непрерывно изменяющуюся касательную; и называется кусочногладкой, если она состоит из конечного числа гладких дуг.

Пусть w = f (z) - непрерывная функция комплексного аргумента z , оп-

ределенная в некоторой области D комплексной плоскости. Возьмем произвольную гладкую кривую L , лежащую в этой области, с началом в точке

	B	A(z0 ) и концом в точке B(zn ). Разобьем дугу AB
	zn	(рис.1) на n частичных дуг с помощью произволь-
	L
		но выбранных точек A = z0 , z1 , z2 , K, zn = B , но
	z1 z2
	A z0	расположенных последовательно в указанном по-
	D
	Рис. 1

83

ложительном направлении вдоль кривой L . Обозначим	∆zk = zk +1 − zk ,
k = 0, 2, K, n −1.
Составим сумму произведений вида
n −1
∑f (zk )∆zk .	(1)
k =0

Назовем величину λ = max{∆zk } рангом разбиения кривой L . Введем обо-

значения:

zk = x k + iyk , f (zk )= u(x k , yk )+ iv(x k , yk )= uk + vk i , ∆zk = ∆x k + i∆yk .

Подставим в сумму (1) и получим:

n −1	n −1	n −1
∑f (zk )∆zk = ∑(uk +vk i)(∆x k +i∆yk )= ∑(uk ∆x k −vk ∆yk )+
k =0	k =0	k =0
n −1
+i∑(vk ∆x k + uk ∆yk ).		(2)

k =0

Устремим λ → 0 . Тогда обе суммы правой части последнего равенства (2) стремятся соответственно к пределам:

∫udx − vdy и	∫vdx + udy ,
L	L

следовательно, левая часть равенства (2) стремится к определенному конечному пределу, когда длины всех частичных дуг по произвольному закону стремятся к нулю. Этот предел и назовем интегралом от функции f (z) по

кривой L и обозначим ∫f (z)dz .

L

Итак, имеем

∫f (z)dz = ∫udx − vdy + i∫vdx + udy ,			(3)
L	L	L

эта формула дает выражение интеграла по комплексному переменному через два действительных криволинейных интеграла II рода.

84

Что касается фактического вычисления интеграла по комплексному переменному, то, предполагая уравнение кривой L , заданным в виде z = z(t ), t [α, β], имеем:

β

β

∫f (z)dz = ∫(u[z(t )]x ′(t )− v[z(t )]y′(t ))dt + i∫(v[z(t )]x ′(t )+ u[z(t )]y′(t ))dt =

L

α

α

β

′
= ∫ f [z(t )]z (t )dt ,
α
или
	β	β
∫f (z)dz = ∫R(t )dt + i∫I (t )dt ,			(4)
L	α	α
где R(t ) и I (t ) - действительная и мнимая части выражения			′
			f (z(t ))z (t ). На

основании формулы (4) вопрос вычисления интеграла по комплексному переменному приводится к вычислению обыкновенных определенных интегралов.

Отметим простейшие свойства интеграла, вытекающие непосредственно из его определения:

1.	Зависимость от направления обхода кривой: ∫f (z)dz = − ∫f (z)dz ;
				AB	BA
2.	Однородность: ∫λ f (z)dz = λ ∫f (z)dz,			λ − const ;
	L		L
3.	Аддитивность по дуге:
	Пусть L - кусочно-гладкая кривая, то есть L = L1 L 2 K L k . То-
гда верно
	∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz +K+ ∫ f (z)dz .
	L	L 1	L 2		L k
4.	Аддитивность по функции:
	∫(f1 (z)+ f 2 (z)+K+ f k (z))dz = ∫f1 (z)dz + ∫f 2 (z)dz +K+ ∫f k (z)dz .
	L		L	L	L

85

5. Оценка модуля интеграла:

∫f (z)dz

≤M l,

(5)

L

где M :

f (z)

≤M ,

z L ;

l - длина кривой L .

Из неравенства (5) можно получить более точное неравенство:

∫f (z)dz

≤ ∫

f (z)

dz .

L

L

Пример 1. Вычислить ∫z 2 dz , где L - нижняя половина окружности

L

{z :

z

= 2}(направление обхода указано на рис.2).

y

Решение. Дугу L можно задать уравнени-

-2

0

2

x ем

z = 2eit , t [π, 2π]. Тогда z′ = 2ieit и

потому

	имеем:
-2	∫z 2 dz =	2∫π(2eit )2 2ieit dt = 8i	2∫πe3ti dt =
Рис. 2
	L	π	π

2π

= ∫(cos 3t + i sin 3t )dt = 83 isin 3t π2π + 83 i2 (− cos3t )π2π = 83 i(sin 6π − sin 3π )+

π

+ 83 (cos6π − cos3π )= 0 + 83 (1 − (− 1))= 163 .

Пример 2. Вычислить ∫L z dz− a , где L - окружность с центром в точке

a , радиуса R , пробегаемая против часовой стрелки.

Решение. Окружность L можно задать уравнением: z = a + R eit , где

t [0, 2π]. Тогда z′ = iR eit , и потому:

	dz	2π	it	2π
∫		= ∫	iR e	dt = i ∫dt = 2π i .
	z − a		R eit
L		0		0

86

Аналогично можно показать, что ∫(z − a)n dz , n ≠ −1 , всегда равен 0.

L

Итак, получили:

	2π i,	n = −1	.	(6).
∫(z − a)n dz =		n ≠ −1
L	0,
§3. Теорема Коши для односвязной области и ее обобщение на
		многосвязную область
Пусть f (z) - аналитическая в односвязной области D функция.
Теорема (Коши). Интеграл от аналитической функции f (z)				в одно-

связной области по любому замкнутому контуру, лежащему внутри этой области, равен 0, то есть

∫ f (z )dz = 0 .	(1)
L +

G

D L

Рис. 3

Доказательство. Обозначим через G область, границей которой

является замкнутый контур L , целиком лежащий в односвязной области D . По формуле (3) §2 данной главы имеем:

∫ f (z )dz = ∫udx		− vdy + i ∫vdx + udy .
L +	L +	L +

К каждому из криволинейных интегралов, стоящих в правой части этого равенства, применим формулу Грина, тогда получим:

∂v

∂u

∂u

∂v

∫

f (z )dz = ∫∫

−

−

dxdy

+ i∫∫

−

dxdy .

∂x

∂x

L +

G

∂y

G

∂y

Так как f (z) является аналитической в области D , то для ее мнимой и вещественной частей выполнены условия Коши-Римана, тот есть

∂∂xu = ∂∂yv ; ∂∂uy = −∂∂xv ,

87

значит, двойные интегралы равны 0, а, соответственно, ∫ f (z )dz = 0 . Тео-

L +

рема доказана.

Замечание. Роль контура L может исполнять и граница самой области D , если f (z) непрерывна на L ,

Пример 1. Вычислить интеграл ∫

dz

по окружности

z 2 − 1

L

L :

z − 2i

= 1 .

Решение. Функция f (z)=

1

является аналитической во всех

z2 −1

y

точках

комплексной плоскости, кроме точек

2i

z1 = 1 ,

z2 = −1 . Так как эти точки лежат вне ок-

L

ружности L , то подынтегральная функция f (z)

является аналитической в области, ограничен-

-1

0

1

x

ной контуром L , а в силу теоремы Коши, инте-

Рис. 4

грал от нее по контуру L равен 0.

Пример 2. Вычислить ∫z dz , где L - окружность с центром в 0, радиу-

L

са 2.

Решение.

Контур

L имеет уравнение z = 2eit , t [0; 2π]. Поэтому

z = 2e−it , z′ = 2ieit

и получим:

∫z dz = 2∫π2e−it 2ieit dt = 4i2∫πdt = 8π i .

L

0

0

Интеграл отличен от 0. Это не противоречит теореме Коши, так как

f (z)= z

не является аналитической функцией.

Следствие.

Пусть функция

f (z) является аналитической в односвяз-

ной области D и L1

и L2

- кривые, лежащие в этой области и имеющие об-

щие концы (рис. 5). Тогда интегралы по этим кривым равны:

88

y
	z	∫f (z)dz = ∫f (z)dz .
L1
		+	+
		L1	L2
		Доказательство непосредственно
0	L2	x вытекает из теоремы Коши.
z0

Рис. 5

Теорема. Пусть D - многосвязная область, граница L которой состоит

из внешнего контура L0 и внутренних контуров l1 ,		l2 , …, ln (см. рис. 6).
Справедлива формула:
∫ f (z )dz = ∫ f (z )dz +K+ ∫ f (z )dz .			(2)
+	+	+
L 0	ln	ln

D1

D

m1

mn

ℓ1

L0

D2

ℓn

Рис. 6

ℓ1

L0

ℓn

Рис. 7

В этом заключается обобщение теоремы Коши на случай многосвязной области.

Доказательство. Соединим все контуры L0 , l1 , …, ln гладкими непересе-

кающимися кривыми m1 , m2 , …, mn +1 . Тогда область D разобьется на две области D1 и

D2 , являющиеся односвязными и для них справедлива теорема Коши для функции f (z):

∫ f (z )dz + ∫ f (z )dz = 0 .

гр. D 1+ гр. D 2+

Выберем направление обхода внешней границы L0 , а затем с сохранением направле-

ния укажем обход границы областей D1 и D2 .

Заметим, что гладкие пути m1 , m2 , …, mn +1

будут обходится дважды в противоположных направлениях и интегралы по ним

89

будут отличаться знаком (см. рис.7). Воспользуемся свойством аддитивности интегралов по дуге и получим из равенства (3):

∫ f (z )dz + ∫ f (z )dz + ∫ f (z )dz +K+ ∫ f (z )dz = 0

L	+	+		+	+
	0	l1		l2	ln
или
				n	∫ f (z )dz .
		∫ f (z )dz = ∑
		L	+	k =1	+
			0		l k
Следствие. Пусть функция				f (z) аналитическая в области D и L , l -

лежащие в этой области контуры, ограничивающие кольцеобразную область D (см. рис. 8). Тогда интегралы по контурам L и l равны:

	∫ f (z )dz	= ∫ f (z )dz	(4)
ℓ	L +	l+

L

Рис. 8

Пример 3. В примере 2 §2 данной главы доказано, что для контура L ,

заданного уравнением z − a = R , выполняется равенство

∫L z dz− a = 2π i .

Из следствия вытекает, что это равенство верно для любого контура,

один раз охватывающего точку a , например, и

для такого, как на рисунке 9.

a

Рис. 9

90